الأعداد والحساب (تابع) › مبرهنة بيزو - مبرهنة غوص
مبرهنة غوص
الجواب نعم، و ليس لأنّ 3 × 4 = 12 — هذه الحجّة وحدها خاطئة. الجواب نعم لأنّ 3 و 4 أوّليان فيما بينهما، و هذا الشرط بالذات هو ما تضيفه مبرهنة غوص. و ستكتشف في هذا الدرس مثالا مضادّا يهدم الحجّة الأولى في سطر واحد: العدد 12 مضاعف للعدد 4 و مضاعف للعدد 6، و مع ذلك ليس مضاعفا للعدد 24.
- استعمال مبرهنة غوص للانتقال من قسمة جداء إلى قسمة أحد عامليه
- توظيف الخاصية التي تقول إنّ عددا أوّليا يقسم جداء يقسم أحد عامليه
- البرهان على أنّ عددا مضاعف لعددين أوّليين فيما بينهما هو مضاعف لجدائهما
- تعيين مجموعة حلول معادلة ذات مجهولين في ℤ² باستعمال مبرهنة غوص
- البرهان على قابلية عبارة حرفية للقسمة بدراسة كلّ البواقي الممكنة
- القسمة الإقليدية في ℤ، و حصر الباقي بين 0 و القاسم
- القاسم المشترك الأكبر، و معنى أن يكون عددان أوّليين فيما بينهما
- مبرهنة بيزو: العددان أوّليان فيما بينهما إذا و فقط إذا وجد u و v حيث المجموع يساوي 1
- الموافقات في ℤ و خواصّها، و معايير قابلية القسمة على 2 و 3 و 4
1. مبرهنة غوص
عندما تعلم أنّ عددا يقسم جداء، لا يمكنك عموما أن تقول أيّ عامل من العاملين يقسمه. المثال أوضح من كلّ شرح: العدد 6 يقسم الجداء 4 × 3 = 12، و مع ذلك لا يقسم 4 و لا يقسم 3. فالانتقال من الجداء إلى أحد عامليه ممنوع… إلّا بشرط واحد، و هو موضوع المبرهنة الموالية.
⭐ اقرأها هكذا: القاسم يتخلّى عن العامل الذي هو أوّلي معه، و يمرّ إلى الآخر. الشرط ليس تفصيلا: بدونه المبرهنة خاطئة، كما يبيّنه المثال 6 و 4 × 3 أعلاه.
البرهان. الأداة الوحيدة المستعملة هي مبرهنة بيزو، و هي في متناولك من الدرس السابق.
هذا هو نصّ مبرهنة بيزو بالضبط: عددان أوّليان فيما بينهما إذا و فقط إذا وجد معاملان صحيحان يحقّقان هذه المساواة.
⭐ هذه هي الحركة كلّها: ظهر في الطرف الأيسر حدّان، و سنبرهن أنّ a يقسم كلّا منهما، فيقسم مجموعهما الذي هو c.
الحدّ acu يكتب a × (cu)، فهو مضاعف صريح للعدد a.
نعلم من المعطى أنّ a يقسم bc. و مضاعف مضاعفٍ مضاعف: إن قسم a العدد bc قسم كذلك bcv مهما كان v صحيحا.
القاسم المشترك لعددين يقسم مجموعهما — و هذه خاصية القسمة التي تعرفها منذ المحور الأوّل.
المجموع الذي يقسمه a هو c نفسه بحكم الخطوة 3، إذن a يقسم c.
نعلم أنّ 5 × 91 = 455، و أنّ 455 = 7 × 65، إذن العدد 7 يقسم هذا الجداء.
🎯المطلوب: بيّن أنّ العدد 7 يقسم أحد العاملين، و عيّن أيّهما.
نبدأ بما هو معطى: العدد 7 يقسم الجداء، و لا نعرف بعدُ أيّ عامل يقسمه.
نتحقّق من الشرط قبل كلّ شيء: قواسم العدد 7 الموجبة هي 1 و 7، و العدد 7 لا يقسم 5.
الشرطان مجتمعان، فمبرهنة غوص تنطبق و تسمح بالمرور إلى العامل الثاني.
نتحقّق بالحساب المباشر، و التحقّق العكسي عادة تُنقّط في الامتحان.
2. الخاصية الأولى: عدد أوّلي يقسم جداء
الحالة التي تصادفها أكثر من غيرها هي أن يكون القاسم عددا أوّليا. عندئذ يصير الشرط تلقائيّا تقريبا، و تأخذ المبرهنة صيغة أخفّ.
⚠️ اقرأ الفاصلة المنقوطة في الطرف الأيمن على أنّها «أو»: القسمة تقع على أحد العاملين على الأقلّ، و قد تقع عليهما معا.
البرهان. نميّز حالتين، و هما تغطّيان كلّ الاحتمالات.
لا شيء نبرهنه: الخاصية محقّقة كما هي، لأنّ الخلاصة المطلوبة تقول «يقسم a أو يقسم b».
⭐ هذه هي الخطوة الحاسمة: قواسم العدد الأوّلي p الموجبة هما 1 و p لا غير، و بما أنّ p لا يقسم a فلا يبقى قاسما مشتركا إلّا 1.
في الحالة الأولى يقسم a، و في الثانية يقسم b، و لا حالة ثالثة. إذن الخاصية محقّقة دائما.
لدينا 26 × 45 = 1170، و 1170 = 13 × 90، فالجداء يقبل القسمة على 13.
🎯المطلوب: عيّن العامل الذي يقبل القسمة على 13، و برّر بالخاصية المستعملة.
نعاين أنّ الجداء يقبل القسمة على 13.
العدد 13 أوّلي، فالخاصية 1 تنطبق: القسمة تقع على أحد العاملين على الأقلّ.
نفحص العامل الأوّل بالقسمة المباشرة.
نفحص العامل الثاني: باقي القسمة ليس معدوما.
العامل الذي يقبل القسمة هو 26 وحده، و هذا يكفي لصحّة الخاصية.
3. الخاصية الثانية: مضاعف لعددين أوّليين فيما بينهما
هذه هي الخاصية التي تجيب على سؤال الافتتاح، و هي أكثر ما ستستعمله عمليّا: هي التي تسمح بـ ضمّ معيارين للقسمة في معيار واحد.
⭐ بالعبارة: عدد مضاعف للعددين b و c، و العددان أوّليان فيما بينهما، فهو مضاعف لجدائهما bc.
البرهان. نترجم كلّ فرضية إلى مساواة، ثمّ نستعمل غوص مرّة واحدة.
الطرفان يساويان a نفسه، فهما متساويان.
العددان db و d'c هما العدد نفسه بحكم الخطوة 3، فما يقسم أحدهما يقسم الآخر.
⭐ هنا يشتغل الشرط: العدد c يقسم الجداء db و هو أوّلي مع b، إذن يمرّ إلى d.
العدد a صار مكتوبا جداءً فيه العامل bc، فهو مضاعف له.
نعتبر العدد 116916، و نستعمل معياري القسمة على 3 و على 4 اللذين تعرفهما.
🎯المطلوب: برهن أنّ العدد 116916 يقبل القسمة على 12.
نطبّق معيار القسمة على 3: نجمع أرقام العدد.
العدد 24 مضاعف للعدد 3، و معيار القسمة على 3 يقول إنّ العدد يقبل القسمة على 3.
نطبّق معيار القسمة على 4: ننظر في العدد المكوّن من رقمي الآحاد و العشرات.
⭐ لا نضرب 3 في 4 لمجرّد أنّهما نجحا: نتحقّق أوّلا من الشرط.
الشروط الثلاثة مجتمعة، فالخاصية 2 تعطي القسمة على الجداء.
نتحقّق بالقسمة المباشرة، و هي تحقّق عكسيّ يُنقّط.
| الاختزال | العددان | أوّليان فيما بينهما؟ | الاختزال صالح؟ |
|---|---|---|---|
| القسمة على 6 | 2 و 3 | نعم | نعم |
| القسمة على 12 | 3 و 4 | نعم | نعم |
| القسمة على 12 | 2 و 6 | لا، القاسم المشترك الأكبر يساوي 2 | لا |
| القسمة على 15 | 3 و 5 | نعم | نعم |
| القسمة على 24 | 4 و 6 | لا، القاسم المشترك الأكبر يساوي 2 | لا |
4. تطبيق أوّل: معادلة ذات مجهولين في ℤ²
نمرّ الآن إلى الطرائق. أوّل تطبيق لمبرهنة غوص هو حلّ معادلة بمجهولين اثنين في مجموعة الأعداد الصحيحة، و الطريقة تمرّ دائما بمرحلتين: نحلّ أوّلا المعادلة المتجانسة التي طرفها الثاني معدوم، ثمّ ننقل الحلّ إلى المعادلة العامّة بحلّ خاصّ واحد.
⚖️ هذا التطبيق يُستأنف و يُعمّم في درس حلّ مسائل في الحساب: المعادلة ax + by = c، حيث ستجد شرط وجود الحلول و طريقة إيجاد الحلّ الخاصّ بخوارزمية إقليدس. هنا نبقى على ما تعطيه غوص وحدها.
نعمل في المجموعة ℤ²، أي أنّ x و y عددان صحيحان لا غير.
🎯المطلوب: عيّن في ℤ² مجموعة حلول المعادلة ذات المجهول الثنائي المكتوبة أعلاه.
نبدأ بنقل أحد الحدّين إلى الطرف الآخر، فتصير المعادلة مساواة بين جداءين.
هذه هي الصيغة التي تُقرأ فيها القسمة.
العدد 16 يقسم الطرف الأيمن بداهة، إذن يقسم الطرف الأيسر الذي يساويه.
نفحص الشرط: 16 = 2⁴ و 9 = 3²، و ليس لهما أيّ عامل أوّلي مشترك.
⭐ هنا تشتغل مبرهنة غوص: العدد 16 يقسم الجداء 9x و هو أوّلي مع 9، فيمرّ إلى x.
نترجم القسمة إلى كتابة، و العدد k يمسح كلّ الأعداد الصحيحة.
نعوّض في مساواة الخطوة 1 لنستخرج الترتيبة.
نقسم الطرفين على 16، و هو غير معدوم.
و عكسيّا كلّ ثنائية من هذا الشكل حلّ: نعوّض و نتحقّق.
مجموعة الحلول تامّة: كلّ حلّ من هذا الشكل، و كلّ ثنائية من هذا الشكل حلّ.
نعتبر المعادلة ذات المجهول الثنائي 9x − 16y = 4 في ℤ²، و نلاحظ أنّ الثنائية (4;2) تبدو حلّا لها.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الثنائية (4;2) حلّ، ثمّ استنتج مجموعة الحلول كاملة.
نتحقّق أوّلا من أنّ الثنائية المقترحة حلّ، بالحساب المباشر.
عندنا الآن مساواتان لهما نفس الطرف الثاني، فنطرحهما طرفا بطرف.
نعوّض العدد 4 بكتابته المستخرجة من الحلّ الخاصّ.
نجمع حدود x معا و حدود y معا: هذه هي الحركة الأساسية للطريقة.
عدنا إلى الوضعية نفسها: العدد 16 يقسم الطرف الأيمن، إذن يقسم الطرف الأيسر.
الشرط محقّق كما في المثال السابق، فمبرهنة غوص تنطبق.
نترجم القسمة إلى كتابة.
نضيف 4 إلى الطرفين.
نعوّض في مساواة الخطوة 3.
نقسم على 16 ثمّ نضيف 2.
التحقّق العكسي: ننشر و نبسّط، فنجد الطرف الثاني مهما كان k.
الحدّان اللذان فيهما k يتلاشيان، و يبقى العدد 4.
5. تطبيق ثان: البرهان على قابلية القسمة بدراسة البواقي
التطبيق الثاني هو الأكثر حضورا في البكالوريا: يُعطى لك عدد مكتوب بعبارة حرفية في n، و يُطلب منك البرهان على أنّه يقبل القسمة على عدد معيّن مهما كان n. و الطريقة هي بالضبط خاصية 2 التي برهنّا عليها: نفكّك العدد المطلوب إلى عاملين أوّليين فيما بينهما، و نبرهن على القسمة على كلّ واحد منهما على حدة.
ليكن n عددا طبيعيّا كيفيّا، و نعتبر العدد A المكتوب أعلاه.
🎯المطلوب: أثبت أنّ العدد A يقبل القسمة على 6 مهما كان العدد الطبيعي n.
نفكّك القاسم المطلوب إلى عاملين أوّليين فيما بينهما، و هذا هو التخطيط كلّه.
الشرط الذي يسمح بالتفكيك، و لا يُهمل أبدا.
نبدأ بالقسمة على 2. البواقي الممكنة اثنان لا غير.
في الحالة الثانية ننظر في العامل الأوسط: نعوّض n بباقيه.
العدد 6 مضاعف للعدد 2، فالعامل الأوسط ينعدم بترديد 2، و الجداء معه.
الحالتان تغطّيان كلّ الأعداد الطبيعية، فالقسمة على 2 مضمونة.
ننتقل إلى القسمة على 3. البواقي الممكنة ثلاثة.
الحالة الثانية: العامل الأوسط مرّة أخرى.
و 6 مضاعف للعدد 3.
⭐ الحالة الثالثة تستعمل العامل الأخير، لا الأوسط: هذا هو الانتباه المطلوب.
و 27 = 3 × 9 مضاعف للعدد 3.
الحالات الثلاث تغطّي كلّ الأعداد الطبيعية، فالقسمة على 3 مضمونة كذلك.
نضمّ القسمتين بالخاصية 2، بعد أن تحقّقنا من الشرط في الخطوة 1.
العدد 6 ليس فقط قاسما للعدد A، بل هو أكبر عدد يقسم كلّ قيم A مهما كان n. الدليل مثالان يكفيان: عند n = 1 نجد A = 84، و عند n = 2 نجد A = 594، و القاسم المشترك الأكبر لهذين العددين هو 6 بالضبط. فلا فائدة من البحث عن قاسم أكبر: لا وجود له.
كلّ قاسم مشترك لكلّ قيم A هو بالخصوص قاسم مشترك للعددين 84 و 594، و قاسمهما المشترك الأكبر هو 6.
6. من هو غوص؟
مبرهنة غوص تحمل اسم عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس (1777 − 1855). و هي عنده جزء من بناء أوسع هو حساب الموافقات، الذي يعود إليه في كتابه المشهور في نظرية الأعداد. و ما يهمّك في البكالوريا هو أنّ اسمه صار علامة على حركة واحدة و محدّدة: المرور من قسمة جداء إلى قسمة أحد عامليه، بشرط الأوّلية فيما بينهما.
الصفحة 1/13
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net