الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
ترميز أولر e^(iα): الشكل الأسي و قواعد الحساب
الجواب ليس مصادفة، و هو ما يبنيه هذا الدرس في ثلاث خطوات. أوّلا نُثبت أنّ الدالّة التي ترفق بكلّ زاوية العددَ الذي طويلته 1 و عمدته تلك الزاوية تحوّل المجموع إلى جداء، تماما كالدالّة الأسّية. ثمّ نصطلح، لهذا السبب وحده، على كتابتها كتابة أسّية. و أخيرا نجني ثمرة الاصطلاح: ثلاث قواعد حساب تختصر صفحات من دساتير الجمع في سطر واحد.
- كتابة عدد مركّب طويلته 1 بترميز أولر، و قراءة عمدته على الأسّ مباشرة
- كتابة أيّ عدد مركّب غير معدوم على الشكل الأسّي
- الانتقال من الشكل الأسّي إلى الشكل الجبري بالتعويض في الجيب و التجيب
- الانتقال من الشكل الجبري إلى الشكل الأسّي بحساب الطويلة ثمّ العمدة
- تطبيق قواعد الحساب الثلاث: الجداء، الحاصل، و المرافق
- الطويلة و العمدة لعدد مركّب غير معدوم، و أنّ العمدة تُعرَّف بترديد 2π
- الشكل المثلّثي لعدد مركّب غير معدوم، و قراءة الطويلة على معامله
- القيم المضبوطة للجيب و التجيب عند الزوايا المألوفة
- خاصية الدالّة الأسّية التي تحوّل المجموع إلى جداء
1. الدالّة التي تحوّل المجموع إلى جداء
نضع أنفسنا على دائرة الوحدة: كلّ نقطة منها لاحقتها عدد مركّب طويلته 1، و عمدته هي الزاوية التي تحدّد موضعها. و بما أنّ الطويلة 1، فالشكل المثلّثي يعطي هذه اللاحقة مباشرة.
بكلّ عدد حقيقي θ ترفق الدالّة العددَ المركّب الذي طويلته 1 و θ عمدة له. و هذا هو الشكل المثلّثي في الحالة الخاصّة التي تكون فيها الطويلة تساوي الواحد.
و السؤال الذي يفتح الدرس هو: ماذا يقع إذا ضربنا صورتي زاويتين؟ نحسب من الجهتين — مرّة بجمع الزاويتين ثمّ تطبيق الدالّة، و مرّة بتطبيق الدالّة على كلّ منهما ثمّ الضرب — ثمّ نقارن الحسابين.
نأخذ عددين حقيقيين، و نحسب صورة مجموعهما بالدالّة f، ثمّ جداء صورتيهما، و نقارن.
🎯المطلوب: بيّن أنّ صورة مجموع عددين حقيقيين بالدالّة f تساوي جداء صورتيهما.
نطبّق تعريف الدالّة على مجموع الزاويتين، حرفا بحرف.
⭐ لاحظ الحرف i أمام الجيب: هو جزء من التعريف، و إسقاطه يجعل الطرف الأيمن عددا حقيقيا و المساواة خاطئة.
ثمّ دستور جيب المجموع.
نعوّض الدستورين في الخطوة 1، فنحصل على الطرف الأوّل منشورا.
ننتقل الآن إلى الطرف الآخر: نكتب جداء الصورتين قبل أيّ نشر.
ننشر الجداء بالتوزيع: أربعة حدود، آخرها يحمل i².
⭐ نعوّض i² بالعدد −1: الحدّ الأخير يغيّر إشارته و ينضمّ إلى الحدّ الحقيقي الأوّل.
نقارن الخطوة 4 و الخطوة 7: الطرفان مكتوبان بالحروف نفسها، حدّا بحدّ.
2. ترميز أولر: التعريف
بما أنّ الدالّة f تتصرّف كالدالّة الأسّية، نصطلح على كتابتها كتابة أسّية. و هذا اصطلاح مبرَّر، لا تعريف اعتباطي: ما يبرّره هو المثال 1 نفسه، لا شيء آخر.
⭐ اقرأ الرمز كما يُقرأ: العدد المركّب الذي طويلته 1 و θ عمدة له. الأسّ يحمل العمدة، و لا يحمل شيئا آخر.
تُحسب مباشرة: مربّع التجيب زائد مربّع الجيب يساوي 1 مهما كانت الزاوية. فكلّ عدد من هذا الشكل صورته نقطة من دائرة الوحدة، بلا استثناء.
هي نتيجة المثال 1، مكتوبة بالترميز الجديد. و الآن صارت تُقرأ في سطرها: الأسّان يُجمعان كما تُجمع الأسس في أيّ قوّة تعرفها.
3. الشكل الأسّي لعدد مركّب غير معدوم
إلى هنا اشتغلنا على دائرة الوحدة وحدها. و العدد المركّب غير المعدوم العامّ ليست طويلته 1، لكنّه يُكتب على الشكل المثلّثي جداءَ طويلته في عدد طويلته 1 — و هذا الأخير هو بالضبط ما صرنا نكتبه بترميز أولر.
⭐ الشكل الأسّي ليس شيئا آخر غير الشكل المثلّثي: القوس نفسه، و الطويلة نفسها، و كتابة أخصر. الطويلة أمام الرمز، و العمدة في الأسّ.
4. قواعد الحساب الثلاث
الآن نجني الثمرة. ثلاث قواعد، كلّها تُقرأ كقواعد الأسس التي تعرفها منذ سنوات، و كلّها تختصر حسابا كان يتطلّب دساتير الجمع.
عند ضرب عددين طويلة كلّ منهما 1، تُجمع العمدتان. هي نتيجة المثال 1 بعينها.
عند القسمة تُطرح العمدتان. و هي تخرج من قاعدة الجداء: ما دام جداء العددين ذوي العمدتين المطروحتين يعطي العدد الأوّل، فالحاصل هو العدد ذو العمدة الفارق.
مرافق عدد من دائرة الوحدة هو العدد ذو العمدة المعاكسة: التجيب لا يتغيّر بتغيّر إشارة الزاوية، و الجيب يتغيّر. فالمرافقة تقلب اتّجاه الدوران، لا أكثر.
| العملية على الأعداد | الأثر على الطويلة | الأثر على العمدة |
|---|---|---|
| الجداء | الطويلتان تُضربان | العمدتان تُجمعان |
| الحاصل | الطويلتان تُقسمان | العمدتان تُطرحان |
| المرافق | الطويلة لا تتغيّر | العمدة تصير معاكستها |
نأخذ عددا معطى بشكله الأسّي و نطلب شكله الجبري.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب z على الشكل الجبري.
نفكّ الترميز: نكتب العدد على شكله المثلّثي، بالطويلة نفسها و العمدة نفسها.
نعوّض تجيب الزاوية بقيمته المضبوطة.
ثمّ جيبها.
نضع القيمتين في مكانهما.
ننشر: العدد 2 يضرب الحدّين، فيبسّط المقامين.
العدد نفسه، لكن بعمدة سالبة و بطويلة أكبر: نرى أثر إشارة العمدة على الجواب.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب z على الشكل الجبري، مع الانتباه إلى إشارة العمدة.
نعود إلى الشكل المثلّثي: العمدة سالبة، و تُنقل كما هي.
⭐ التجيب دالّة زوجية: تجيب الزاوية السالبة يساوي تجيب موجبها.
⭐ أمّا الجيب فدالّة فردية: جيب الزاوية السالبة هو معاكس جيب موجبها. هنا يقع أكثر الخطأ.
نضع القيمتين.
ننشر: العدد 8 مقسوما على 2 يساوي 4.
نعكس الاتّجاه: عدد معطى بشكله الجبري، و المطلوب شكله الأسّي.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب z على الشكل الأسّي.
نبدأ دائما بالطويلة: مجموع مربّعي الجزأين، تحت الجذر.
فمربّع الطويلة يساوي 18.
⭐ نبسّط الجذر بدل أن نتركه: 18 يساوي 9 في 2، و جذر 9 يساوي 3.
ننتقل إلى العمدة. نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة فنحصل على التجيب، ثمّ نبسّط بضرب البسط و المقام في جذر 2.
و نقسم الجزء التخيلي على الطويلة فنحصل على الجيب.
⭐ التجيب سالب و الجيب سالب معا: الزاوية إذن في الربع الثالث، و ليست في الأوّل. الزاوية الوحيدة من الربع الثالث التي تجيبها و جيبها يساويان ناقص نصف جذر 2 هي خمسة أرباع π.
نجمع الطويلة و العمدة في الكتابة الأسّية.
القوى هي الموضع الذي يظهر فيه الشكل الأسّي أفضل ما فيه: ثمانية نشرات جبرية تُستبدل بثلاث تربيعات.
🎯المطلوب: احسب القوّة الثامنة للعدد المركّب المعطى، ثمّ اكتب النتيجة على أبسط شكل.
نبدأ بكتابة العدد الذي بين القوسين على شكله الأسّي. مربّع طويلته هو مجموع مربّعي جزأيه.
فالطويلة هي جذر 2.
و التجيب موجب و الجيب سالب: الزاوية في الربع الرابع، و هي ناقص ربع π.
فالأساس مكتوب أسّيا.
⭐ نطبّق قاعدة الجداء على العدد في نفسه: العمدتان تتجمّعان.
نربّع من جديد: الطويلة تتربّع و العمدة تتضاعف.
و نربّع مرّة ثالثة، فنبلغ القوّة الثامنة.
⭐ و هنا لا نتوقّف: العمدة ناقص ضعف π توافق العمدة صفر بترديد 2π، و العدد ذو العمدة صفر هو العدد 1.
فالجواب عدد حقيقي.
مثال ثان على القوى، ينتهي هذه المرّة إلى عدد حقيقي سالب.
🎯المطلوب: احسب القوّة السادسة للعدد المركّب المعطى، ثمّ اكتب النتيجة على الشكل الجبري.
مربّع طويلة الأساس: 3 زائد 1.
فالطويلة تساوي 2 بالضبط.
التجيب و الجيب موجبان معا: الزاوية في الربع الأوّل، و هي سدس π.
فالأساس مكتوب أسّيا.
نربّع مرّة أولى بقاعدة الجداء.
⭐ و القوّة السادسة هي مكعّب المربّع. نضرب المربّع في نفسه ثلاث مرّات بقاعدة الجداء: الطويلات الثلاث تُضرب، و العمد الثلاث تُجمع.
⭐ نفكّ ترميز العدد ذي العمدة π: تجيبه ناقص واحد و جيبه معدوم.
فالجواب عدد حقيقي سالب.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net