الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
الشكل المثلثي و العمليات: الجداء، القوة، المقلوب و القسمة
الجواب في جملة واحدة: عدد مركّب غير معدوم يُعرَّف تماما بعددين — طويلته و عمدة له — و العمليّات الأربع تفصل بينهما فصلا تامّا. في الجداء تُضرب الطويلتان و تُجمع العمدتان؛ و في القسمة تُقسم الطويلتان و تُطرح العمدتان؛ و في القوّة النونيّة تُرفع الطويلة إلى القوّة n و تُضرب العمدة في n. هذا الدرس يبني هذا الشكل، ثمّ يبرهن على الخواصّ الأربع واحدة واحدة.
- كتابة عدد مركّب غير معدوم على الشكل المثلثي انطلاقا من طويلته و عمدة له
- التعرّف على ما إذا كانت كتابة مقترحة كتابة مثلثيّة فعلا، بمراقبة إشارة المعامل
- حساب طويلة و عمدة جداء عددين مركّبين غير معدومين، و كتابة الجداء على الشكل المثلثي
- حساب طويلة و عمدة مقلوب عدد مركّب غير معدوم و حاصل قسمة عددين، و كتابتهما مثلثيّا
- حساب طويلة و عمدة القوّة النونيّة لعدد مركّب غير معدوم
- توظيف طويلة و عمدة حاصل قسمة لتعيين طبيعة مثلّث
- الشكل الجبري لعدد مركّب، و الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي
- حساب طويلة عدد مركّب بالدستور الذي يعطيها بدلالة الفاصلة و الترتيب
- تعريف عمدة عدد مركّب غير معدوم كقيس بالرديان لزاوية موجّهة
- دستورا الجمع في حساب المثلّثات: قيمة cos للمجموع و قيمة sin للمجموع
- الاستدلال بالتراجع على عدد طبيعي
1. تذكير: الطويلة و العمدة، العنصران اللذان يحدّدان العدد
طويلة العدد المركّب z هي المسافة بين المبدأ O و النقطة M التي لاحقتها z. و هي عدد حقيقي موجب دائما، مهما كانت إشارة x و إشارة y.
المجموع x² + y² مجموع مربّعين، فهو موجب أو معدوم دائما، و جذره موجود دائما. و هو ينعدم إذا و فقط إذا انعدم x و انعدم y معا، أي إذا كان z معدوما.
هذه هي الصّورة التي عليك أن تحملها معك: الطويلة ليست حسابا فحسب، بل هي طول قطعة.
و عمدة العدد المركّب z غير المعدوم هي قيس بالرديان للزاوية الموجّهة التي يصنعها الشعاع OM مع محور الفواصل. و هنا نقطة تُنسى كثيرا: العدد المركّب غير المعدوم له عدد غير منته من العمد، لأنّ إضافة دورة كاملة إلى الزاوية لا تغيّر الشعاع. لهذا لا نكتب المساواة بين العمد بمساواة عاديّة، بل نكتبها بترديد 2π.
⭐ اقرأ هذه الكتابة هكذا: « θ عمدة لـ z، و كذلك كلّ عدد من الشكل θ + 2kπ حيث k عدد صحيح ». و هذا ليس تفصيلا شكليّا: بدونه تصير الخواصّ الآتية خاطئة تماما.
2. الشكل المثلثي لعدد مركّب غير معدوم
لتكن M نقطة تختلف عن المبدأ، و لتكن r طويلة لاحقتها و θ عمدة لها. المرور من الإحداثيّتين الديكارتيّتين إلى الإحداثيّتين القطبيّتين يعطي فاصلة M و ترتيبها بدلالة r و θ.
عوّض هذين في الشكل الجبري z = x + iy، ثمّ اعزل r بالعامل المشترك: تحصل مباشرة على الشكل الذي يحمل اسم هذا الدرس.
⭐ لاحظ ما الذي يحمل المعلومة: الطويلة r أمام القوس، و العمدة θ داخل الجيب و جيب التمام. و كلّ ما يأتي في هذا الدرس ليس إلّا مراقبة هذين العنصرين.
و إن كان z معطى على الشكل الجبري فالطريق إلى θ يمرّ بمساواتين، لا بمساواة واحدة: جيب التمام وحده لا يكفي، و الجيب وحده لا يكفي. الأوّل يترك زاويتين متناظرتين، و الثاني يترك زاويتين تكميليّتين؛ و لا تُعيَّن العمدة إلّا بهما معا.
المساواتان معا تحدّدان θ بترديد 2π، لأنّ نقطة واحدة من الدائرة المثلثيّة هي التي لها هذان الإحداثيّان.
عددان مكتوبان على الشكل المثلثي متساويان إذا و فقط إذا كانت لهما نفس الطويلة و كانت عمدتاهما متوافقتين بترديد 2π.
المعامل −2 سالب، فلا يمكن أن يكون طويلة. و مع ذلك فالعدد المكتوب هنا موجود و طويلته 2: ما ينقص هو الكتابة، لا العدد.
لأنّ جيب تمام الزاوية المزادة بـ π هو مقابل جيب تمامها، و كذلك جيبها. و بهذا يصير المعامل λ موجبا و تصير الكتابة مثلثيّة فعلا.
العدد z معطى على الشكل الجبري في المستوي المركّب المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس مباشر.
🎯المطلوب: احسب طويلة العدد z و عيّن عمدة له، ثمّ أكتبه على الشكل المثلثي.
نحسب أوّلا الطويلة، لأنّها هي التي ستقسم x و y فيما بعد.
نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة. و نُنطق المقام كي نتعرّف على قيمة مألوفة.
و نقسم الجزء التخيلي على الطويلة نفسها.
الزاوية التي جيب تمامها و جيبها معا يساويان هذه القيمة الموجبة هي زاوية الرّبع الأوّل.
العدد z معطى بجزء حقيقي موجب و جزء تخيلي سالب.
🎯المطلوب: اكتب العدد z على الشكل المثلثي، و تحقّق من المعامل الذي تكتبه أمام القوس.
نحسب مربّعي الجزأين ثمّ نجمعهما تحت الجذر.
و نبسّط الجذر إلى آخره: 8 = 4 × 2، و جذر 4 هو 2.
نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة 2√2 التي وجدناها للتوّ.
و نقسم الجزء التخيلي، و هو سالب هنا، على الطويلة نفسها.
جيب التمام موجب و الجيب سالب: النقطة في الرّبع الرابع، و الزاوية سالبة.
3. الجداء: تُضرب الطويلتان و تُجمع العمدتان
نأخذ عددين مركّبين غير معدومين z و z'، مكتوبين على الشكل المثلثي بطويلتين r و r' و عمدتين θ و θ'. البرهان يقوم على دستوري الجمع في حساب المثلّثات، و هما دستوران من السنة الماضية نُذكّر بهما هنا لأنّ كلّ الحساب يمرّ بهما.
⭐ هذان الدستوران هما كلّ سرّ هذا الدرس: هما اللذان يحوّلان ضرب كتابتين مثلثيّتين إلى جمع زاويتيهما.
و الآن ننشر الجداء. الطويلتان عددان حقيقيّان فيخرجان من القوس بالضرب، و يبقى نشر القوسين.
ننشر القوسين حدّا حدّا، ثمّ نعوّض i² بـ −1 في الحدّ الذي يحمله، و نجمع الحدود الحقيقيّة معا و الحدود التخيليّة معا.
المقدار الأوّل داخل القوس هو بالضبط الطرف الأيمن من دستور جيب التمام، و المقدار الثاني هو بالضبط الطرف الأيمن من دستور الجيب.
و الطرف الأيمن كتابة مثلثيّة صحيحة لأنّ الجداء r r' موجب تماما. فنقرأ عليه مباشرة طويلة الجداء و عمدة له.
⛔ الترديد 2π ضروري هنا: مجموع عمدتين قد يخرج من المجال الذي اخترناه للعمد، و مع ذلك يبقى عمدة صحيحة للجداء.
العددان z₁ و z₂ معطيان على الشكل الجبري.
🎯المطلوب: احسب طويلة الجداء z₁ z₂ و عمدة له، ثمّ اكتب هذا الجداء على الشكل المثلثي.
نكتب العامل الأوّل مثلثيّا؛ و قد حسبناه في المثال 1.
طويلة العامل الثاني: مربّع 1 زائد مربّع الجذر 3، أي 1 + 3 = 4، و جذره 2.
الجزآن سالبان معا، فالنقطة في الرّبع الثالث؛ و جيب التمام يساوي −1/2 و الجيب −√3/2.
نضرب الطويلتين.
و نجمع العمدتين، بعد توحيد المقامات على 12.
4. المقلوب: تُقلب الطويلة و تُعاكَس العمدة
كلّ عدد مركّب غير معدوم z له مقلوب وحيد في مجموعة الأعداد المركّبة، نرمز له بالكتابة 1/z. و على الشكل الجبري يُحسب هذا المقلوب بضرب البسط و المقام في مرافق المقام.
⛔ و هنا الخطوة التي يقفز عليها كثير من الكتب و لا يجب أن نقفز عليها: هذه الكتابة معرّفة لأنّ x² + y² لا ينعدم، و هو لا ينعدم إذا و فقط إذا كان z غير معدوم. الشرط « z غير معدوم » ليس زينة، بل هو ما يجعل القسمة ممكنة.
أمّا على الشكل المثلثي فالنتيجة أبسط بكثير، و تُقرأ من خاصّيتي الجداء إذا طبّقناهما على العدد z و مقلوبه، لأنّ جداءهما يساوي 1، و العدد 1 طويلته 1 و عمدته معدومة.
لأنّ مجموع عمدة العدد و عمدة مقلوبه هو عمدة الجداء، أي عمدة العدد 1، و هي معدومة بترديد 2π.
⭐ هندسيّا: المقلوب يقلب الطول و يعكس الزاوية. فإن كانت النقطة خارج الدائرة المثلثيّة دخلت صورتها إليها، و العكس بالعكس.
العدد z هو نفسه عدد المثال 1، كي نتمكّن من مقارنة الطريقين على حالة واحدة.
🎯المطلوب: احسب مقلوب العدد z على الشكل الجبري ثمّ على الشكل المثلثي، و تحقّق من توافق النتيجتين.
الطريق الأوّل، على الشكل الجبري: نضرب البسط و المقام في مرافق المقام.
ننشر المقام: هو من الشكل مجموع في فرق، فيساوي 1 − i²، أي 1 + 1.
الطريق الثاني، على الشكل المثلثي: طويلة المقلوب هي مقلوب الطويلة √2.
و عمدة المقلوب هي مقابل عمدة العدد، و قد وجدنا عمدته π/4 في المثال 1.
5. القسمة: تُقسم الطويلتان و تُطرح العمدتان
القسمة ليست عمليّة جديدة: قسمة z على z' هي ضرب z في مقلوب z'. لذلك تُستنتج خاصّيّتاها من خاصّيتي الجداء و المقلوب مباشرة. و مع ذلك نعيد البرهان المباشر، لأنّه هو الذي يُطلب في الامتحان.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام، أي في العدد الذي عمدته مقابلة لعمدة z'. المقام الناتج جداء كتابة مثلثيّة في مرافقها، فلا يمكن أن يحمل إلّا الزاوية θ' وحدها.
⛔ انتبه إلى أنّ الزاوية هنا هي θ' و ليست θ: نحن ضربنا في مرافق المقام، و المقام هو الذي يحمل θ'. و لهذا يساوي المقام الناتج 1 بالضبط، لأنّ مجموع مربّعي جيب التمام و الجيب لزاوية واحدة يساوي 1.
و هذا البسط هو بالضبط الطرف الأيمن لدستوري الفرق: جيب تمام الفرق في الجزء الحقيقي، و جيب الفرق في الجزء التخيلي.
العددان في البسط و في المقام هما عددا المثال 3 نفسهما.
🎯المطلوب: اكتب حاصل القسمة z₃ على الشكل المثلثي دون المرور بالشكل الجبري.
نستعمل الشكلين المثلثيّين اللذين وجدناهما في المثال 3، و نبدأ بطويلة البسط.
ثمّ طويلة المقام.
نقسم الطويلتين.
و نطرح العمدتين، بعد توحيد المقامات على 12.
6. القوّة النونيّة: تُرفع الطويلة و تُضرب العمدة في n
خاصّيّة القوّة ليست خاصّيّة جديدة: هي الجداء مطبّقا n مرّة على العدد نفسه. و البرهان عليها يكون بالاستدلال بالتراجع على n، و هذا الاستدلال يُطلب أحيانا في الامتحان، فلنقُمْ به.
- التحقّق من أجل الأسّ 1: الطرفان يساويان العدد نفسه، لأنّ الطويلة مرفوعة إلى القوّة 1 هي الطويلة، و العمدة مضروبة في 1 هي العمدة.
- الفرضيّة: نفترض أنّ الخاصّيّة صحيحة من أجل عدد طبيعي k غير معدوم، أي أنّ العدد مرفوعا إلى القوّة k طويلته r مرفوعة إلى القوّة k و عمدته k مضروبة في θ.
- الانتقال إلى k + 1: نكتب العدد مرفوعا إلى القوّة k + 1 على أنّه جداء العدد مرفوعا إلى القوّة k في العدد نفسه، ثمّ نطبّق خاصّيّة الجداء: تُضرب الطويلتان فتُعطي r مرفوعة إلى القوّة k + 1، و تُجمع العمدتان فتُعطي k مضروبة في θ ثمّ مزادة بـ θ، أي k + 1 مضروبة في θ.
- الخلاصة: الخاصّيّة صحيحة من أجل 1، و تنتقل من k إلى k + 1، فهي صحيحة من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم.
⛔ الترديد 2π لا يُستغنى عنه هنا أكثر من أيّ مكان آخر: العدد n arg(z) يكبر مع n و يخرج بسرعة من أيّ مجال نختاره، بينما تبقى العمدة صحيحة.
⭐ و هذه الكتابة هي التي تحمل، من دون أن تسمّيه بعد، دستور موافر: خذ عددا طويلته 1 و ستقرأ الدستور كما هو.
العدد z هو عدد المثال 1، و المطلوب قوّته الرابعة.
🎯المطلوب: احسب القوّة الرابعة للعدد z بالمرور إلى الشكل المثلثي، ثمّ تحقّق من النتيجة بالحساب الجبري.
نأخذ الشكل المثلثي المحسوب في المثال 1.
نرفع الطويلة إلى القوّة 4: مربّع الجذر 2 هو 2، و مربّع 2 هو 4.
و نضرب العمدة في 4.
جيب تمام π يساوي −1 و جيب π يساوي 0، فالنتيجة عدد حقيقي.
| العمليّة | الطويلة | العمدة بترديد 2π |
|---|---|---|
| الجداء z z' | |z| × |z'| | arg(z) + arg(z') |
| المقلوب 1/z | 1|z| | - arg(z) |
| القسمة z/z' | |z||z'| | arg(z) - arg(z') |
| القوّة zn | |z|n | n arg(z) |
7. تطبيق هندسي: طبيعة مثلّث تُقرأ على حاصل قسمة
الفائدة الكبرى لهاتين الخاصّيّتين في الهندسة أنّ حاصل القسمة يحمل المعلومتين معا: طويلته نسبة طولين، و عمدة له قيس للزاوية الموجّهة بين شعاعين. فبحساب واحد نحصل على نسبة الأضلاع و على الزاوية.
لأنّ طويلة فرق لاحقتين هي المسافة بين النقطتين، و طويلة حاصل قسمة هي حاصل قسمة الطويلتين.
لأنّ عمدة حاصل القسمة هي فرق العمدتين، و فرق الزاويتين اللتين يصنعهما الشعاعان مع محور الفواصل هو الزاوية الموجّهة بينهما.
في المستوي المركّب المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس، النقط A و B و C معطاة بلواحقها.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة المثلّث الذي رؤوسه هي هذه النقط الثلاث.
نحسب لاحقة الشعاع الأوّل بطرح لاحقة المبدأ من لاحقة النهاية.
و كذلك لاحقة الشعاع الثاني.
نحسب الطول الأوّل: مربّع 3 هو 9، و مربّع 3√3 هو 27، و مجموعهما 36.
و بالحساب نفسه، لأنّ تربيع −3 يعطي 9 كذلك.
و نحسب الضلع الثالث مباشرة: الفرق بين اللاحقتين عدد حقيقي، فطويلته قيمته المطلقة.
الرؤوس الثلاثة في المعلم هي إذن A ذات الفاصلة 0 و الترتيب −√3، و B ذات الفاصلة 3 و الترتيب 2√3، و C ذات الفاصلة −3 و الترتيب 2√3. و طول كلّ ضلع 6.
الصفحة 1/15
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net