الدوال الأصلية › المعادلات التفاضلية
حل معادلات تفاضلية من الشكل y″ = f(x)
المبدأ هو نفسه، مطبّقا مرّتين. نصعد من y″ إلى y′، ثمّ من y′ إلى y. و في كلّ صعود يظهر ثابت، فيحمل الجواب ثابتين لا واحدا.
- حلّ معادلة تفاضلية من الشكل y″ = f(x) بصعودين متتاليين
- ذكر حلول المعادلة التفاضلية y″ = -ω²y
- تعيين الحلّ الوحيد الذي يحقّق شرطين
- ربط المعادلة التفاضلية بالحركة الاهتزازية
- حلّ معادلة تفاضلية من الشكل y′ = f(x)
- اشتقاق الدالتين cos و sin و الدوال المركّبة معهما
1. المعادلة y″ = f(x)
⚠️ لاحظ أنّ ثابت الصعود الأوّل يظهر مضروبا في x، لا وحده: لأنّه أُدمج في الصعود الثاني، و دالة أصلية للثابت c₁ هي c₁ x.
و البرهان يُكتب في سطرين، و هو نموذج لما يُنتظر في الباكالوريا:
لتكن f دالة مستمرّة على مجال I، و F دالة أصلية لها على I، و G دالة أصلية للدالة F.
🎯المطلوب: بيّن أنّ حلول المعادلة التفاضلية y″ = f(x) هي الدوال y = G(x) + c₁ x + c₂.
المشتقّة الثانية هي مشتقّة المشتقّة الأولى.
فالمشتقّة الأولى دالة أصلية للدالة f: صعود أوّل، ثابت أوّل.
قبل الصعود الثاني نتأكّد أنّه مشروع: F قابلة للاشتقاق، إذن مستمرّة، إذن تقبل دوالا أصلية. الدالة G موجودة فعلا.
نصعد إذن مرّة ثانية: دالة أصلية للطرف الأيمن، و دالة أصلية للثابت c₁ هي c₁ x.
2. المعادلة y″ = −ω²y — معادلة الاهتزاز
هذه المعادلة مختلفة عن السابقة اختلافا جذريا: الطرف الأيمن لا يحتوي x، بل الدالة المجهولة نفسها. لا نستطيع الصعود مباشرة، و الجواب ليس كثير حدود بل دالة دورية:
ثابتان هنا أيضا، لأنّ الرتبة اثنان. و يمكنك التحقّق بنفسك: اشتقّ الطرف الأيمن مرّتين، فتجد ناقص مربّع ω مضروبا في العبارة نفسها.
هنا مربّع ω يساوي 2 إذن ω يساوي جذر اثنين. ⛔ انتبه: ما يظهر في المعادلة هو مربّع النبض، فلا تكتب جذر اثنين مكان اثنين.
و منحنى الحلّ جيبي: نفس الشكل مهما كان الثابتان، و هما لا يغيّران سوى السعة و الطور — أي ارتفاع الموجة و موضع انطلاقها، كما يُقرأ على الرسم المقابل:
نعتبر المعادلة التفاضلية y″ = 2cos(2x + π/4).
🎯المطلوب: حلّ المعادلة التفاضلية.
نصعد أوّلا: دالة أصلية لضِعف جيب التمام هي الجيب نفسه، لأنّ المعامل الداخلي 2 يبسّط الضِعف.
نصعد ثانية: دالة أصلية للجيب هي ناقص جيب التمام، على المعامل الداخلي.
و دالة أصلية للثابت c₁ هي c₁ مضروبا في x.
نجمع القطعتين و نضيف ثابت الصعود الثاني.
نعتبر المعادلة التفاضلية y″ + π²y = 0.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة التفاضلية، ثمّ عيّن الحلّ F الذي يحقّق الشرطين F(1/2) = 2/3 و F′(2/3) = 0.
ننقل الحدّ الثاني لنتعرّف على صيغة الاهتزاز.
مربّع النبض هو مربّع π، فالنبض هو π.
عند نصف الواحد ينعدم جيب التمام و يساوي الجيب واحدا.
نشتقّ ثمّ نعوّض بثلثين: هذا هو الشرط الثاني.
نعوّض القيمتين المثلّثيتين عند ثلثي π.
فتصير المعادلة الثانية علاقة بين الثابتين.
نعوّض بقيمة الثابت الثاني المعروفة.
الصفحة 1/6
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net