مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الحساب التكاملي

حساب مساحات سطوح مستوية: الحالات الثلاث و حيز محدد بمنحنيين

🔊 المعلّمة تقرأ لك
رأينا أنّ مساحة الحيّز تحت منحنى دالة موجبة هي تكاملها. لكنّ الدوال ليست كلّها موجبة: منحنى الجيب ينزل تحت محور الفواصل نصف الوقت، و مع ذلك للحيّز الذي يحدّه مساحة، و هي عدد موجب قطعا. فماذا يقيس التكامل حين تكون الدالة سالبة، أو حين تغيّر إشارتها؟

الجواب في كلمة واحدة: التكامل يقيس مساحة جبرية، أي مساحة تحمل إشارة. و المساحة الهندسية، تلك التي تُقاس بالمتر المربّع و لا تكون إلاّ موجبة، تُستخرج منها بقاعدة واحدة تُطبَّق ثلاث مرّات.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • حساب مساحة حيّز تحت منحنى دالة موجبة، بوحدة المساحة و بالسنتيمتر المربّع
  • معالجة حالة الدالة السالبة بقلب الإشارة
  • تقطيع المجال حسب الإشارة في حالة دالة تغيّر إشارتها
  • حساب مساحة حيّز محدّد بمنحنيين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف التكامل و خواصه الثلاث
  • دراسة إشارة دالة و حلّ معادلة ⁦f(x) = g(x)⁩

1. الحالة الأولى: دالة موجبة

دالة موجبة

الحيّز هنا هو المحدّد بالمنحنى، محور الفواصل، و المستقيمين اللذين معادلتاهما ⁦x = a⁩ و ⁦x = b⁩. و لأنّ الدالة موجبة، التكامل موجب، فالمساحتان الجبرية و الهندسية واحدة.

(∀ x ∈ [a ; b]) f(x) ≥ 0 ⟹ A = ∫ab f(x) dx
Aمساحة الحيّز، بوحدة المساحة
⛔ وحدة المساحة ليست السنتيمتر المربّع. وحدة المساحة هي مساحة المستطيل المبني على وحدتَي المحورين. إذا كانت الوحدة 2 سنتيمترات على محور الفواصل و 1,5 سنتيمتر على محور التراتيب، فوحدة المساحة تساوي 3 سنتيمترات مربّعة، و كلّ نتيجة تُضرب في 3.

2. الحالة الثانية: دالة سالبة

إذا كانت f سالبة على ⁦[a ; b]⁩ فإنّ ⁦−f⁩ موجبة عليه، و منحناهما متناظران بالنسبة إلى محور الفواصل. و التناظر يحفظ المساحات:

دالة سالبة

التكامل نفسه سالب، و المساحة ناقضه. عمليا: احسب التكامل كما هو، ثمّ خذ القيمة المطلقة للنتيجة. لكن اكتب الإشارة السالبة في السطر، لأنّها هي ما يُنقَّط.

(∀ x ∈ [a ; b]) f(x) ≤ 0 ⟹ A = -∫ab f(x) dx

3. الحالة الثالثة: دالة تغيّر إشارتها

هنا لا توجد قاعدة جديدة، بل تُطبَّق الحالتان السابقتان على كلّ قطعة. المنهج ثابت في ثلاث خطوات، و هو الذي يُطلب في الامتحان:

  1. دراسة إشارة f على ⁦[a ; b]⁩، أي حلّ المعادلة ⁦f(x) = 0⁩.
  2. تقطيع المجال عند جذورها إلى مجالات تحتفظ فيها الدالة بإشارة ثابتة.
  3. جمع مساحات القطع، كلّ واحدة بالقاعدة التي تخصّ إشارتها.
ما يتغيّر من حالة إلى أخرى ليس الدالة الأصلية، بل الإشارة التي نضعها أمام كلّ فرق.
مثال 1: من وحدة المساحة إلى السنتيمتر المربّع

نعتبر الدالة x ↦ 2 - x² على المجال ⁦[-1 ; 1]⁩، ممثّلة في معلم وحدته 2 سنتيمترين على محور الفواصل و 1,5 سنتيمتر على محور التراتيب.

🎯المطلوب: احسب مساحة الحيّز تحت المنحنى بين ⁦−1⁩ و 1، بوحدة المساحة ثمّ بالسنتيمتر المربّع.

🔹الخطوة 1: الإشارة

الدالة موجبة على المجال لأنّ ⁦x² ≤ 1⁩ فيه، فالمساحة هي التكامل مباشرة.

x ∈ [-1 ; 1] ⟹ x² ≤ 1 ⟹ 2 - x² ≥ 1 > 0
🔹الخطوة 2: دالة أصلية

نبحث عن دالة أصلية.

F(x) = 2x - x³3
🔹الخطوة 3: القيمة عند 1

عند الحدّ الأعلى.

F(1)=2 - 13=63 - 13=53
🔹الخطوة 4: القيمة عند ⁦−1⁩

و عند الحدّ الأدنى؛ الدالة فردية فالقيمة ناقض السابقة.

F(-1)=-2 + 13=-63 + 13=-53
🔹الخطوة 5: المساحة بوحدة المساحة

الفرق يعطي المساحة بوحدة المساحة.

A=53 - (-53)=103
✅النّتيجة

وحدة المساحة هي جداء الوحدتين، ثمّ نضرب.

1 u.a = 2 cm × 1,5 cm = 3 cm² ⟹ A = (103) × 3 = 10 cm²
⛔ السؤال الذي يقول « بـ cm² » يطلب خطوة إضافية. من توقّف عند ⁦10/3⁩ أجاب عن سؤال آخر. اقرأ الوحدة المطلوبة قبل أن تكتب النتيجة.
مثال 2: دالة تغيّر إشارتها

نعتبر الدالة ⁦x ↦ 1/2 + cos x⁩ على المجال ⁦[0 ; π]⁩.

🎯المطلوب: احسب مساحة الحيّز المحدّد بالمنحنى، محور الفواصل و المستقيمين ⁦x = 0⁩ و ⁦x = π⁩.

🔹الخطوة 1: طرفا المجال

الدالة لها اتّجاه تغيّر جيب التمام، فهي متناقصة تماما على المجال؛ و طرفاها من إشارتين مختلفتين.

f(0) = 12 + 1 = 32 ; f(π) = 12 - 1 = -12
🔹الخطوة 2: موضع الانعدام

إذن تنعدم مرّة واحدة، و نحلّ المعادلة لنعرف أين.

f(x) = 0 ⟺ cos x = -12 ⟺ x = 2π3
🔹الخطوة 3: الإشارة

فتنقسم إشارتها إلى قطعتين.

f ≥ 0 (x ∈ [0 ; 2π3]) ; f ≤ 0 (x ∈ [2π3 ; π])
🔹الخطوة 4: دالة أصلية

دالة أصلية واحدة تكفي للقطعتين.

F(x) = x2 + sin x
🔹الخطوة 5: القيمة عند ⁦2π/3⁩

نحسب أوّلا قيمة الدالة الأصلية عند نقطة الانعدام. و ⁦sin(2π/3) = √3/2⁩.

F(2π3)=2π32 + sin(2π3)=π3 + √32
🔹الخطوة 6: المساحة الأولى

القطعة الأولى: الدالة موجبة، فالمساحة هي التكامل. و ⁦F(0) = 0⁩.

A₁=F(2π3) - F(0)=(π3 + √32) - 0=π3 + √32
🔹الخطوة 7: القيمة عند π

و عند π: الجيب معدوم.

F(π)=π2 + sin π=π2
🔹الخطوة 8: المساحة الثانية

القطعة الثانية: الدالة سالبة، فالمساحة ناقض التكامل. و ⁦π/2 - π/3 = π/6⁩.

A₂=-[F(π) - F(2π3)]=-(π6 - √32)=-π6 + √32
✅النّتيجة

نجمع: ⁦π/3 - π/6 = π/6⁩، و نصفا الجذر يعطيان جذرا كاملا.

A=(π3 + √32) + (-π6 + √32)=π6 + √3
⭐ لاحظ أنّ دالة أصلية واحدة خدمت القطعتين: لا داعي لإعادة البحث عنها في كلّ قطعة. ما يتغيّر هو الإشارة أمام الفرق، لا الدالة الأصلية.

4. حيّز محدّد بمنحنيين

إذا كان منحنيان أحدهما فوق الآخر على مجال، فالحيّز بينهما هو الفرق بين حيّزين تحت منحنيين. و الفرق بين تكاملين هو، بالخطّية، تكامل الفرق:

مساحة بين منحنيين

⛔ الشرط ⁦f ≥ g⁩ هو كلّ المسألة: تحته المنحنى الأعلى ناقص الأدنى، لا العكس. و لاحظ أنّ القاعدة لا تشترط أن يكون المنحنيان فوق محور الفواصل: لو أنزلناهما معا بانسحاب، لتغيّر كلّ من التكاملين و لبقي فرقهما كما هو.

(∀ x ∈ [a ; b]) f(x) ≥ g(x) ⟹ A = ∫ab [f(x) - g(x)] dx
بين منحنيين، المساحة هي تكامل الأعلى ناقص الأدنى، سواء كان الحيّز فوق محور الفواصل أو تحته.
⛔ الخطوة التي يُنسى كتابتها فتضيع النقطة كاملة: تحديد أيّهما فوق الآخر. لا تحزرها من الرسم: عوّض بعدد واحد من داخل المجال في الدالتين و قارن. سطر واحد، و هو مطلوب صراحة في سلّم التصحيح.
مثال 3: بين قطعين مكافئين

نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على ⁦[0 ; 1]⁩ بـ ⁦f(x) = -x² + 2x⁩ و ⁦g(x) = x²⁩.

🎯المطلوب: احسب مساحة الحيّز المحصور بين المنحنيين.

🔹الخطوة 1: التقاطع

نبحث أوّلا عن نقطتَي التقاطع بحلّ المعادلة.

-x² + 2x = x² ⟺ 2x² - 2x = 0 ⟺ 2x(x - 1) = 0 ⟺ x = 0 ; x = 1
🔹الخطوة 2: أيّهما فوق الآخر

ثمّ نحدّد الأعلى بتعويض عدد من داخل المجال، و ليكن ⁦1/2⁩.

f(12) = -14 + 1 = 34 ; g(12) = 14 ⟹ f ≥ g
🔹الخطوة 3: العبارة

فنكتب المساحة تكاملا للفرق، بالترتيب الصحيح.

A=∫0¹ [(-x² + 2x) - x²] dx=∫0¹ (-2x² + 2x) dx
🔹الخطوة 4: دالة أصلية

دالة أصلية للفرق.

F(x) = -2x³3 + x²
🔹الخطوة 5: القيمتان

نعوّض بين الحدّين.

F(1) = -23 + 1 = 13 ; F(0) = 0
✅النّتيجة
A=13 - 0=13
القطع المكافئان يتقاطعان في نقطتين، و هما بالضبط حدّا التكامل. لا تُعطى الحدود دائما في النصّ: كثيرا ما يكون إيجادها هو السؤال الأوّل.
مثال 4: حين يكون الأعلى هو الثاني

نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على ℝ بـ ⁦f(x) = x² - 3⁩ و ⁦g(x) = -x² + 2x + 1⁩.

🎯المطلوب: عيّن فاصلتَي نقطتَي تقاطع المنحنيين ثمّ احسب مساحة الحيّز المحصور بينهما.

🔹الخطوة 1: المعادلة

نساوي بين العبارتين لإيجاد التقاطع.

x² - 3 = -x² + 2x + 1 ⟺ 2x² - 2x - 4 = 0 ⟺ x² - x - 2 = 0
🔹الخطوة 2: الجذران

مميّز المعادلة تامّ المربّع، فالجذران بسيطان.

Δ = 1 + 8 = 9 ⟹ x = 1 - 32 = -1 ; x = 1 + 32 = 2
🔹الخطوة 3: أيّهما فوق الآخر

نعوّض بـ 0، و هو من داخل المجال، فنرى أنّ g هي الأعلى هذه المرّة.

f(0) = -3 ; g(0) = 1 ⟹ g ≥ f
🔹الخطوة 4: العبارة

فالفرق يُكتب g ناقص f، لا العكس.

A=∫-1² [g(x) - f(x)] dx=∫-1² (-2x² + 2x + 4) dx
🔹الخطوة 5: دالة أصلية

دالة أصلية للفرق.

F(x)=-2x³3 + x² + 4x
🔹الخطوة 6: القيمة عند 2

عند الحدّ الأعلى: ⁦−16/3 + 4 + 8 = −16/3 + 12⁩.

F(2)=-2(8)3 + 4 + 8=-163 + 363=203
🔹الخطوة 7: القيمة عند ⁦−1⁩

و عند الحدّ الأدنى: ⁦2/3 + 1 - 4 = 2/3 - 3⁩.

F(-1)=23 + 1 - 4=23 - 93=-73
✅النّتيجة

الفرق، و ⁦27/3 = 9⁩.

A=203 - (-73)=273=9
⛔ هنا الأعلى هو g، لا f. لو كتبنا التكامل بالترتيب المعاكس لوجدنا ⁦−9⁩، و المساحة لا تكون سالبة أبدا. حين تجد نتيجة سالبة لمساحة، لا تضع قيمة مطلقة على عجل: ارجع إلى الخطوة 3، فالترتيب هو الذي انقلب.
الخلاصة: التكامل مساحة جبرية. للحصول على المساحة الهندسية: إن كانت الدالة موجبة فهي التكامل، و إن كانت سالبة فهي ناقضه، و إن غيّرت إشارتها فنقطّع المجال عند جذورها. و بين منحنيين، المساحة هي تكامل الأعلى ناقص الأدنى — و تحديد الأعلى خطوة تُكتب، لا تُحزر.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net