مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الحساب التكاملي

حساب حجم لمجسمات بسيطة

🔊 المعلّمة تقرأ لك
حجم الكرة أربعة أثلاث π نصف القطر مكعّبا. تحفظ هذا الدستور منذ المتوسّط، و لم يبرهنه لك أحد قطّ. و السبب أنّ برهانه يحتاج أداة لم تكن بين يديك: التكامل. و ثابت بن قرة، قبل ألف عام، حسب حجم مجسّم دوراني بالطريقة نفسها. فكيف نحسب حجم مجسّم من مساحات مقاطعه؟

الفكرة هي فكرة المستطيلات نفسها، مرفوعة درجة: بدل أن نغطّي مساحة بمستطيلات رفيعة، نملأ حجما بشرائح رقيقة. الشريحة عند الراقم z أسطوانة سمكها dz و قاعدتها المقطع، فحجمها ⁦S(z)dz⁩. و جمع الشرائح تكامل.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • قبول العلاقة التي تعطي الحجم بتكامل مساحة المقطع
  • حساب حجم مجسّم مولّد بالدوران حول محور الفواصل
  • إعادة إيجاد حجمَي الكرة و المخروط بالتكامل
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف التكامل و حساب دالة أصلية
  • مساحة القرص و مبرهنة فيثاغورس

1. الحجم بتكامل المقاطع

العلاقة الأساسية

المجسّم محدّد بمستويين معادلتاهما ⁦z = a⁩ و ⁦z = b⁩. و وحدة الحجوم هي حجم متوازي المستطيلات المبني على وحدات المحاور الثلاثة.

V = ∫ab S(z) dz
Vحجم المجسّم، بوحدة الحجومSمساحة مقطع المجسّم بمستو مواز، دالة في الراقم zzراقم المستوي القاطع، عدد بين a و b
لاحظ الجمال في العلاقة: لا يهمّ شكل المقاطع إطلاقا، بل مساحتها فقط. مجسّمان مقاطعهما المتقابلة متساوية المساحة لهما الحجم نفسه، و لو اختلفت أشكالهما تماما.

2. المجسّم الدوراني

أهمّ حالة خاصّة، و هي التي تُطلب في الباكالوريا: منحنى دالة موجبة يدور حول محور الفواصل فيولّد مجسّما. المقطع عند الفاصلة x قرص نصف قطره ⁦f(x)⁩ بالضبط، فمساحته ⁦π[f(x)]²⁩:

مجسّم دوراني

بشرط أن تكون f مستمرّة و موجبة على ⁦[a ; b]⁩. و انتبه إلى المربّع: نصف القطر هو ⁦f(x)⁩، و مساحة القرص تحتاج مربّعه. نسيان المربّع هو الخطأ الأوّل في هذا الدرس.

V = ∫ab π [f(x)]² dx
حجم المجسّم هو تكامل مساحة هذا القرص: كلّ ما يلزم معرفته هو نصف قطره عند كلّ فاصلة.
مثال 1: برهان حجم الكرة

نعتبر الكرة التي مركزها O و نصف قطرها R، منسوبة إلى معلم متعامد.

🎯المطلوب: برهن أنّ حجم هذه الكرة يساوي أربعة أثلاث π نصف القطر مكعّبا.

🔹الخطوة 1: نصف قطر المقطع

نقطع الكرة بمستو أفقي على ارتفاع z. المقطع قرص، و مثلّث قائم يربط نصف قطره بنصف قطر الكرة.

r² + z² = R² ⟹ r² = R² - z²
🔹الخطوة 2: مساحة المقطع

فمساحة القرص تُكتب بدلالة الراقم وحده.

S(z)=π r²=π (R² - z²)
🔹الخطوة 3: دالة أصلية

الكرة محدّدة بالمستويين ⁦z = -R⁩ و ⁦z = R⁩، و دالة أصلية للمقطع بسيطة.

G(z) = π (R² z - z³3)
🔹الخطوة 4: القيمة عند R

عند الراقم الأعلى: ⁦R³ - R³/3 = 2R³/3⁩.

G(R)=π (R² × R - R³3)=π (3R³3 - R³3)=2πR³3
🔹الخطوة 5: القيمة عند -R

و عند الراقم الأدنى، بالتناظر، النتيجة هي الناقض.

G(-R)=π (-R³ + R³3)=π (-3R³3 + R³3)=-2πR³3
✅النّتيجة

الفرق: ثلثان زائد ثلثان يساوي أربعة أثلاث.

V=2πR³3 - (-2πR³3)=4πR³3
⭐ الدستور الذي حفظته سنوات صار مبرهنا في ستّ خطوات. و لاحظ أنّ مبرهنة فيثاغورس هي كلّ ما لزم من هندسة: الباقي تكامل.
مثال 2: حجم المخروط

نعتبر مخروطا دورانيا ارتفاعه h و نصف قطر قاعدته R، رأسه في المبدأ و محوره محور الفواصل.

🎯المطلوب: أوجد حجم هذا المخروط بالتكامل.

🔹الخطوة 1: الدالة المولّدة

المخروط يولّده دوران قطعة مستقيمة تمرّ من المبدأ و ترتفع من 0 إلى R لمّا يمرّ x من 0 إلى h.

f(x) = R xh (x ∈ [0 ; h])
🔹الخطوة 2: الدستور

نكتب دستور المجسّم الدوراني.

V = ∫0h π [f(x)]² dx
🔹الخطوة 3: إخراج الثوابت

نربّع، فتخرج الثوابت من التكامل بالخطّية.

[f(x)]² = R² x²h² ⟹ V = (π R²h²) ∫0h x² dx
🔹الخطوة 4: التكامل الباقي

التكامل الباقي بسيط: دالة أصلية x مكعّبا على ثلاثة.

∫0h x² dx=[x³3]0h=h³3 - 0=h³3
✅النّتيجة

نضرب، فيبسّط h³ المقام h² و يبقى h.

V=(π R²h²) × h³3=π R² h³3h²=π R² h3
⭐ ثلث الأسطوانة التي لها القاعدة و الارتفاع نفسهما — و الثلث يأتي من مكاملة المربّع، لا من مكان آخر. كلّ مجسّم مدبّب يحمل هذا الثلث للسبب نفسه.
مثال 3: دوران منحنى جيب التمام

نعتبر منحنى الدالة x ↦ cos x على المجال ⁦[0 ; π/2]⁩، يدور حول محور الفواصل.

🎯المطلوب: احسب حجم المجسّم المولّد بهذا الدوران.

🔹الخطوة 1: الدستور

الدالة موجبة على المجال، فالدستور ينطبق.

V = ∫0π2 π (cos x)² dx
🔹الخطوة 2: تخفيض الدرجة

لا نعرف دالة أصلية للمربّع مباشرة، فنخفّض الدرجة بالعلاقة المثلّثية.

(cos x)² = 1 + cos(2x)2
🔹الخطوة 3: التكامل المكافئ

نكتب التكامل بالعبارة المبسّطة.

V=π ∫0π2 1 + cos(2x)2 dx
🔹الخطوة 4: دالة أصلية

فتظهر دالة أصلية فورا: نصف المتغيّر زائد ربع جيب الضِعف.

F(x)=x2 + sin(2x)4
🔹الخطوة 5: القيمة عند ⁦π/2⁩

عند الحدّ الأعلى: ⁦sin π = 0⁩.

F(π2)=π4 + sin(π)4=π4 + 0=π4
🔹الخطوة 6: القيمة عند 0

و عند الحدّ الأدنى كلّ شيء معدوم.

F(0) = 0
✅النّتيجة

نضرب الفرق في π الخارج عن التكامل.

V=π × (π4 - 0)=π²4
⛔ تخفيض الدرجة ليس اختياريا في هذا النوع: مربّع دالة مثلّثية لا دالة أصلية له في الجدول. احفظ العلاقتين: مربّع جيب التمام هو ⁦(1 + cos 2x)/2⁩، و مربّع الجيب هو ⁦(1 - cos 2x)/2⁩.
⛔ الخطأ الذي يكلّف تمرينا كاملا: نسيان المربّع أو نسيان π. اكتب الدستور كاملا في سطر مستقلّ قبل التعويض، حتّى إن بدا لك بديهيا. و تحقّق من الوحدة: النتيجة حجم، فوحدتها وحدة الحجوم.
الخلاصة: الحجم تكامل مساحة المقطع، ⁦V = ∫ₐb S(z)dz⁩. و في المجسّم الدوراني حول محور الفواصل، المقطع قرص نصف قطره ⁦f(x)⁩، فيصير الدستور ⁦V = ∫ₐb π[f(x)]²dx⁩. بهذا تُبرهَن دساتير الكرة و المخروط، لا تُحفظ.

الصفحة 1/6

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net