مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الهندسة في الفضاء الجداء السلمي الهندسة في الفضاء

الجداء السلمي في الفضاء: التعريف و العبارة التحليلية

🔊 المعلّمة تقرأ لك
عندما تجرّ صندوقا بحبل مائل، لا يشتغل كامل ثقل الجهد الذي تبذله في تقديم الصندوق: جزء منه يرفع، و جزء منه يدفع. الفيزياء تقيس الجزء الدافع وحده بالجداء ⁦‖f‖ × ‖d‖⁩ × جتا الزاوية، و هذا المقدار هو نفسه الذي درسته في المستوي تحت اسم الجداء السلّمي. لكنّ الحبل و الأرض لا يقعان في مستو واحد مرسوم على الورق: هما في الفضاء. فكيف نعرّف الجداء السلّمي لشعاعين من الفضاء، و كيف نحسبه من الإحداثيات وحدها؟

الجواب أبسط ممّا يبدو: شعاعان من الفضاء يوجد دائما مستو يشملهما معا، فنحسب جداءهما السلّمي داخل هذا المستوي بما تعرفه من السنة الماضية. و ما سنبرهن عليه هو أنّ العدد المتحصّل عليه لا يتغيّر إذا غيّرنا المستوي، فيكون التعريف سليما. بعدها يصير كلّ شيء حسابا: ثلاث إحداثيات مضروبة في ثلاث، و مجموع.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف الجداء السلّمي لشعاعين من الفضاء و تبرير استقلاله عن المستوي المختار
  • استعمال خواصّه: التناظر، و الضرب في عدد، و التوزيع، و نشر مربّع مجموع شعاعين
  • ترجمة تعامد شعاعين إلى انعدام جدائهما السلّمي
  • حساب جداء سلّمي بالإحداثيات في معلم متعامد و متجانس
  • حساب المسافة بين نقطتين من الفضاء بدلالة إحداثياتهما
  • إثبات أنّ مستقيما عمودي على مستو باستعمال الجداء السلّمي
  • تبسيط جداء سلّمي بالإسقاط العمودي على مستو أو على مستقيم
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الجداء السلّمي في المستوي، و متطابقة الاستقطاب
  • المعلم المتعامد و المتجانس في الفضاء، و إحداثيات شعاع
  • التعامد في الفضاء: مستقيم عمودي على مستو، و مستويان متعامدان
  • خواص المكعّب و المربّع، و تعامد قطري المربّع

1. التعريف: ننقل الحساب إلى مستو يشمل الشعاعين

ليكن u و v شعاعين من الفضاء. نختار نقطة A و نمثّل الشعاعين انطلاقا منها، فنحصل على نقطتين B و C. النقط الثلاث A و B و C يشملها مستو واحد على الأقلّ، و في هذا المستوي نعرف الجداء السلّمي منذ السنة الثانية. هذا هو التعريف كلّه.

النقطة A هي كلّ ما نحتاج إليه: بمجرّد أن نمثّل الشعاعين انطلاقا منها، صار الحساب حسابا في المستوي.
تعريف الجداء السلّمي في الفضاء

الطرف الأيمن جداء سلّمي في المستوي الذي يشمل النقط الثلاث، و هو معلوم لديك. التعريف لا يخترع عملية جديدة، بل ينقل عملية قديمة إلى وضع جديد.

u = AB ; v = AC ⟹ u.v = AB.AC
uالشعاع الأوّل من الفضاءvالشعاع الثاني من الفضاءAنقطة كيفية من الفضاء نمثّل انطلاقا منها الشعاعين

يبقى سؤال واحد مشروع: لو اخترنا نقطة أخرى، أو مستويا آخر، هل نجد نفس العدد؟ الجواب نعم، و السبب هو العبارة الموالية، التي تكتب الجداء السلّمي بالأطوال وحدها.

عبارة الجداء السلّمي بالأطوال

لاحظ الطرف الأيمن: لا تظهر فيه إلّا ثلاثة أطوال. و الطول لا يتغيّر إذا غيّرنا المستوي أو النقطة، لأنّه مسافة بين نقطتين في الفضاء.

u.v=(12)(‖u‖² + ‖v‖² − ‖u − v‖²)
ما دام الجداء السلّمي يُكتب بأطوال ثلاثة أشعة فقط، فهو لا يتعلّق لا بالنقطة A و لا بالمستوي المختار. التعريف سليم، و هذا هو المبرّر الوحيد الذي كان ينقصنا.

2. الخواص: كلّ ما كان صحيحا في المستوي يبقى صحيحا

ما دام الحساب يجري داخل مستو، فكلّ خواصّ الجداء السلّمي في المستوي تنتقل كما هي إلى الفضاء. نجمعها هنا لأنّها أدوات الحساب في كلّ تمارين هذا الباب.

الخاصية 1: مربّع الطول

جداء الشعاع في نفسه هو مربّع طوله بالضبط، بدون أيّ معامل. تحقّق منها بنفسك على شعاع طوله 1: الجداء يساوي 1، و مربّع الطول يساوي 1 كذلك.

u.u = ‖u‖²
الخاصية 2: التناظر

ترتيب الشعاعين لا يغيّر شيئا، لأنّ الترتيب لا يغيّر شيئا في المستوي أصلا.

u.v = v.u
الخاصية 3: الضرب في عدد حقيقي
(k u).v=u.(k v)=k(u.v)
الخاصية 4: التوزيع على الجمع

⭐ هذه هي الخاصية الأكثر استعمالا في الفضاء: هي التي تسمح بتقطيع شعاع طويل إلى شعاعين قصيرين نعرف جداءهما، كما سنفعل مع قطر المكعّب.

u.(v + w) = u.v + u.w
الخاصية 5: نشر مربّع المجموع
‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u.v + ‖v‖²
⭐ كيف تتأكّد من الخاصية 1 بنفسك، في سطر واحد؟ خذ مكعّبا طول ضلعه a، و احسب AB.AB: الشعاعان متطابقان، و طول كلّ منهما a، فالجداء a². سترى هذا الحساب مطبوعا في مثالين من هذا الدرس. ⚖️ اجعل من هذه العادة قاعدة: كلّ خاصية تُختبر على مثال بسيط قبل أن تُستعمل في تمرين.

3. التعامد: المعيار الذي يحوّل الهندسة إلى حساب

الجداء السلّمي في المستوي ينعدم لمّا يكون الشعاعان متعامدين. و ما دام الحساب في الفضاء يجري داخل مستو، فالمعيار نفسه يبقى صالحا. و هو أهمّ ما في الباب: به تصير كلّ مسألة تعامد مسألة حساب.

معيار التعامد
u ⊥ v ⟺ u.v = 0
حالة الشعاع المعدوم

الشعاع المعدوم عمودي على كلّ شعاع من الفضاء، و هذا اصطلاح مريح: يجنّبنا استثناء في كلّ عبارة.

0.u = 0
⛔ لا تخلط بين تعامد شعاعين و تقاطع مستقيمين. في الفضاء يمكن لمستقيمين أن يكونا غير متقاطعين و مع ذلك شعاعا توجيههما متعامدان: نقول عندئذ إنّ المستقيمين متعامدان لا قائمان. الجداء السلّمي يحكم على الاتّجاهات، لا على المواضع.

4. العبارة التحليلية: من الهندسة إلى الأرقام

نضع أنفسنا الآن في معلم متعامد و متجانس من الفضاء. كلّ شعاع يُعطى بثلاث إحداثيات، و الجداء السلّمي يصير عملية حسابية محضة: ثلاثة جداءات و مجموع.

العبارة التحليلية

لا شيء ينقص و لا شيء يزيد: نضرب الإحداثيات المتقابلة الواحدة في الأخرى ثمّ نجمع. و هذه العبارة صالحة فقط في معلم متعامد و متجانس.

u.v = x x' + y y' + z z'
xالفاصلة للشعاع الأوّلyالترتيب للشعاع الأوّلzالارتفاع للشعاع الأوّل
طويلة شعاع

نطبّق الخاصية 1 على الشعاع نفسه: الجداء يعطي ⁦x² + y² + z²⁩، و هو مربّع الطول.

‖u‖ = √(x² + y² + z²)
المسافة بين نقطتين

إحداثيات الشعاع AB هي فروق الإحداثيات، فالمسافة ليست إلّا طويلة هذا الشعاع.

AB=√((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²)
⭐ الإحداثيات تُحسب دائما بالفرق «نهاية ناقص بداية»: إحداثيات AB هي إحداثيات B ناقص إحداثيات A. الخطأ الأكثر تكرارا في هذا الباب ليس في الجداء، بل في هذا الطرح: تكتب الفرق مقلوبا فتنقلب الإشارة، و يصير كلّ الحساب خاطئا.
مثال 1: هل المستقيمان متعامدان؟

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و لدينا أربع نقط معلومة الإحداثيات.

🎯المطلوب: بيّن هل المستقيم الحامل للنقطتين A و B عمودي على المستقيم الحامل للنقطتين C و D.

📌المعطى: النقط الأربع

نبدأ بحساب إحداثيات الشعاعين، كلّ واحد بالفرق «نهاية ناقص بداية».

A(−1 ; −2 ; 0) ; B(3 ; 1 ; −2) ; C(−2 ; 0 ; 1) ; D(2 ; −1 ; 0)
🔹الخطوة 1: إحداثيات الشعاع الأوّل
AB = (3 − (−1) ; 1 − (−2) ; −2 − 0)
🔹الخطوة 2: تبسيط الشعاع الأوّل
AB = (4 ; 3 ; −2)
🔹الخطوة 3: إحداثيات الشعاع الثاني
CD = (2 − (−2) ; −1 − 0 ; 0 − 1)
🔹الخطوة 4: تبسيط الشعاع الثاني
CD = (4 ; −1 ; −1)
🔹الخطوة 5: الجداء السلّمي

نطبّق العبارة التحليلية: ثلاثة جداءات ثمّ مجموع.

AB.CD=4 × 4 + 3 × (−1) + (−2) × (−1)
🔹الخطوة 6: الحساب
AB.CD = 16 − 3 + 2
✅النّتيجة

العدد غير معدوم، فالمعيار يقول إنّ الشعاعين ليسا متعامدين.

AB.CD = 15 ≠ 0
⭐ لا تحكم بالنظر إلى الإحداثيات: أربعة و أربعة في البداية توحي بالتشابه، و الجداء يساوي 15. المعيار الوحيد هو العدد الأخير، لا شكل الأعداد.
مثال 2: نفس النقط، و هذه المرّة التعامد محقّق

نبقى مع نفس النقط الأربع، و نغيّر المستقيم الثاني فقط.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيمين الحاملين للشعاعين المذكورين متعامدان.

📌المعطى: الشعاع الأوّل

نحتفظ بالشعاع الأوّل من المثال السابق، و نحسب الشعاع الجديد.

AB = (4 ; 3 ; −2)
🔹الخطوة 1: إحداثيات الشعاع الثاني
AC = (−2 − (−1) ; 0 − (−2) ; 1 − 0)
🔹الخطوة 2: تبسيط الشعاع الثاني
AC = (−1 ; 2 ; 1)
🔹الخطوة 3: الجداء السلّمي
AB.AC=4 × (−1) + 3 × 2 + (−2) × 1
🔹الخطوة 4: الحساب
AB.AC = −4 + 6 − 2
✅النّتيجة

الجداء منعدم، و المعيار يعطي التعامد مباشرة.

AB.AC = 0 ⟹ AB ⊥ AC
⭐ لاحظ أنّ النقطة A مشتركة بين الشعاعين هنا: التعامد ليس تعامد اتّجاهين فقط، بل زاوية قائمة حقيقية عند A. حين لا تكون النقطة مشتركة، يبقى التعامد صحيحا لكنّه لا يعني وجود زاوية مرسومة.
مثال 3: المسافة بين نقطتين

نأخذ النقطتين A و B من المثال الأوّل، في نفس المعلم المتعامد و المتجانس.

🎯المطلوب: احسب المسافة بين النقطتين A و B.

📌المعطى: الشعاع

نستعمل الشعاع الذي حسبناه في المثالين السابقين.

AB = (4 ; 3 ; −2)
🔹الخطوة 1: مربّع المسافة
AB² = 4² + 3² + (−2)²
🔹الخطوة 2: الحساب
AB² = 16 + 9 + 4
🔹الخطوة 3: القيمة
AB² = 29
✅النّتيجة

العدد 29 ليس مربّعا كاملا، فنترك الجذر كما هو: هذه هي القيمة المضبوطة.

AB = √29
⭐ لا تُعط قيمة عشرية إلّا إذا طُلبت منك. الجواب المضبوط هو الجذر، و هو أدقّ من أيّ تقريب. و إن أردت التقدير الذهني: ⁦5² = 25⁩ و ⁦6² = 36⁩، إذن الجواب بين 5 و 6.

5. الإسقاط العمودي: كيف نستبدل شعاعا بآخر أقصر

قبل الأمثلة الكبيرة، نحتاج إلى أداة تختصر الحساب. فكرتها واحدة: في الجداء السلّمي، يمكن استبدال أحد الشعاعين بمسقطه العمودي دون أن يتغيّر الناتج. نبدأ بتعريف المسقط.

في الحالتين المسقط وحيد: هذا ما يجعل الكلام عن «المسقط العمودي» كلاما عن نقطة معيّنة، لا عن نقطة من بين عدّة.
المسقط العمودي على مستو

المستقيم العمودي على المستوي و الذي يشمل النقطة يقطع المستوي في نقطة وحيدة، و هي المسقط. الوحدانية هي كلّ ما في التعريف.

M ↦ M′
Mنقطة كيفية من الفضاءM′نقطة تقاطع المستقيم العمودي على المستوي و الشامل للنقطة مع المستوي

و بنفس الطريقة نعرّف المسقط العمودي على مستقيم: هذه المرّة نستعمل المستوي العمودي على المستقيم و الشامل للنقطة، فيقطع المستقيم في نقطة وحيدة.

✅النّتيجة 1: الإسقاط على مستو لا يغيّر الجداء

النقطتان A و B من المستوي، و ⁦C′⁩ هو مسقط C عليه. البرهان في سطر: ⁦AC = AC′ + C′C⁩، و الشعاع ⁦C′C⁩ عمودي على المستوي إذن على AB، فجداؤه منعدم.

AB.AC = AB.AC′
✅النّتيجة 2: الإسقاط على مستقيم لا يغيّر الجداء

هنا ⁦C′⁩ و ⁦D′⁩ مسقطا C و D على المستقيم الحامل للنقطتين A و B. الفكرة هي نفسها: ما يُهمل في الحساب هو دائما شعاع عمودي على الشعاع الأوّل.

AB.CD = AB.C′D′
⭐ متى تستعمل الإسقاط؟ حين يكون أحد الشعاعين «مائلا» و يصعب حسابه مباشرة. تستبدله بمسقطه، فيصير محمولا على حرف من المكعّب أو على محور من المعلم، و الحساب يصير في سطر. المثالان المواليان يفعلان ذلك بالضبط.
مثال 4: ثلاثة جداءات متساوية في المكعّب

المكعّب هو أفضل ميدان لتجريب الجداء السلّمي: كلّ أطواله معلومة، و كلّ تعامداته ظاهرة.

🎯المطلوب: احسب الجداء السلّمي للشعاع AB في قطر الوجه العلوي EG.

📌المعطى: طول الضلع

نعتبر مكعّبا طول ضلعه a، رؤوس وجهه السفلي A و B و C و D، و رؤوس وجهه العلوي E و F و G و H، حيث E فوق A و F فوق B و G فوق C و H فوق D.

AB = a
🔹الخطوة 1: نستبدل قطر الوجه بحرف

الشعاع EG قطر للوجه العلوي: نكتبه ⁦EG = EF + FG⁩، و ⁦FG⁩ عمودي على ⁦AB⁩ فلا يدخل في الجداء السلّمي، فيبقى ⁦AB.EG = AB.EF⁩.

AB.EG = AB.EF
🔹الخطوة 2: نستبدل الحرف العلوي بالحرف السفلي

الشعاعان AB و EF متساويان: نفس الاتّجاه و نفس الطول، لأنّ الوجهين متقابلان.

AB.EF = AB.AB
🔹الخطوة 3: مربّع الطول

نطبّق الخاصية 1: جداء الشعاع في نفسه هو مربّع طوله.

AB.AB = ‖AB‖²
✅النّتيجة
AB.EG = a²
⭐ هذا المثال هو أيضا اختبار للخاصية 1: الطرف الأخير a² هو مربّع الطول تماما، بدون أيّ معامل آخر. احتفظ به: هو المرجع الذي تعود إليه كلّما شككت في كتابة جداء شعاع في نفسه.
مثال 5: جداء سلّمي سالب

نطلب هذه المرّة جداء شعاعين لا يشتركان في أيّ رأس، و ليسا محمولين على نفس الاتّجاه.

🎯المطلوب: احسب الجداء السلّمي للشعاع AE في الشعاع HC.

📌المعطى: طول الضلع

نبقى في نفس المكعّب و بنفس تسمية الرؤوس.

AE = a
🔹الخطوة 1: نُسقط النقطة على المستوي

النقطة D هي مسقط C العمودي على المستوي الذي يشمل A و E و H: نستبدل إذن HC بـ HD دون أن يتغيّر الجداء.

AE.HC = AE.HD
🔹الخطوة 2: نتعرّف على الشعاع

الشعاع HD ينزل من الوجه العلوي إلى الوجه السفلي: هو معاكس تماما للشعاع AE الذي يصعد.

HD = −AE
🔹الخطوة 3: نُخرج العامل ناقص واحد
AE.HD = −AE.AE
🔹الخطوة 4: مربّع الطول
AE.AE = a²
✅النّتيجة

الإشارة السالبة ليست خطأ: هي تقول إنّ الزاوية بين الشعاعين منفرجة.

AE.HC = −a²
⭐ الجداء السلّمي عدد، و العدد قد يكون سالبا. إشارته وحدها تقول لك إن كانت الزاوية حادّة (موجب) أو قائمة (معدوم) أو منفرجة (سالب). لا تصحّح إشارة سالبة ظنّا أنّها غلط.
مثال 6: قطر المكعّب عمودي على مستو

هذا هو التمرين النموذجي للباب كلّه: مسألة تعامد في الفضاء تُحلّ بجداءين سلّميين، بدون أيّ إحداثيات.

🎯المطلوب: بيّن أنّ القطر الكبير للمكعّب عمودي على المستوي الذي يشمل الرؤوس C و F و H.

📌المعطى: مستقيمان متقاطعان في المستوي المدروس

نبقى في نفس المكعّب. الطريقة معروفة: لإثبات أنّ مستقيما عمودي على مستو، يكفي إثبات أنّه عمودي على مستقيمين متقاطعين من هذا المستوي.

(FH) ∩ (FC) = {F}
🔹الخطوة 1: تقطيع القطر

نقطّع القطر إلى شعاعين نعرف كلاهما: صعود ثمّ قطر الوجه العلوي.

AG = AE + EG
🔹الخطوة 2: التوزيع

نوزّع الجداء السلّمي على المجموع بالخاصية 4.

AG.FH = AE.FH + EG.FH
🔹الخطوة 3: الحدّ الثاني منعدم

الوجه العلوي مربّع، و قطرا المربّع متعامدان.

EG.FH = 0
🔹الخطوة 4: الحدّ الأوّل منعدم

الحرف الصاعد عمودي على مستوي الوجه العلوي، إذن على كلّ شعاع منه.

AE.FH = 0
🔹الخطوة 5: التعامد الأوّل
AG.FH = 0
🔹الخطوة 6: تقطيع ثان للقطر

نعيد نفس العمل مع تقطيع آخر للقطر نفسه، يمرّ هذه المرّة بالوجه الجانبي.

AG = AB + BG
🔹الخطوة 7: التوزيع من جديد
AG.FC = AB.FC + BG.FC
🔹الخطوة 8: الحدّ الثاني منعدم

الوجه الجانبي مربّع كذلك، و قطراه متعامدان.

BG.FC = 0
🔹الخطوة 9: الحدّ الأوّل منعدم

الحرف AB عمودي على مستوي الوجه الذي يشمل B و C و F.

AB.FC = 0
🔹الخطوة 10: التعامد الثاني
AG.FC = 0
✅النّتيجة

القطر عمودي على مستقيمين متقاطعين من المستوي، و هذا هو الشرط الكافي.

(AG) ⊥ (CFH)
⭐ الحركة التي عليك حفظها هي التقطيع: القطر AG لا نعرف جداءه مباشرة، لكنّنا نعرف جداء كلّ حرف من حروف المكعّب. فنكتب القطر مجموع حرفين ثمّ نوزّع. ⛔ و انتبه: التقطيع يتغيّر حسب الشعاع الذي نضربه فيه — استعملنا هنا تقطيعين مختلفين لنفس القطر.
القطر مرسوم هنا لأنّ التمرين كلّه يدور عليه: من غيره لا يرى التلميذ ما يُبرهن عليه.
⛔ في البكالوريا، سؤال التعامد في الفضاء يُنقّط على التبرير، لا على النتيجة وحدها: اذكر صراحة المستقيمين المتقاطعين اللذين استعملتهما، و قل لماذا يتقاطعان، و سمّ الخاصية عند كلّ سطر (قطرا مربّع متعامدان، حرف عمودي على وجه). ⚖️ و إن أعطيت لك إحداثيات، فالطريق أقصر: احسب الجداء مباشرة و أعلن انعدامه. اختر الطريق حسب المعطى، لا حسب العادة.
الخلاصة: الجداء السلّمي لشعاعين من الفضاء هو جداؤهما في أيّ مستو يشملهما، و كتابته بالأطوال وحدها تضمن أنّه لا يتعلّق بذلك المستوي. خواصّه هي خواصّ المستوي نفسها: تناظر، و ضرب في عدد، و توزيع، و نشر مربّع المجموع، مع ⁦u.u = ‖u‖²⁩. منه يخرج معيار وحيد للتعامد — انعدام الجداء — و عبارة تحليلية في معلم متعامد و متجانس: مجموع جداءات الإحداثيات المتقابلة، و منها المسافة بين نقطتين. و في الحساب اليدوي، أداتان تختصران كلّ شيء: الإسقاط العمودي الذي يستبدل شعاعا بمسقطه، و التقطيع الذي يكتب شعاعا مائلا مجموع شعاعين معروفين.

الصفحة 1/12

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net