الأعداد والحساب (تابع)
المضاعف المشترك الأصغر و علاقته بالقاسم المشترك الأكبر
نعم يلتقيان، و اللحظة الأولى ليست حاصل ضرب العددين. المضاعفات المشتركة للعددين 90 و 95 ليست عشوائية: هي مضاعفات عدد واحد، أصغرها غير المعدوم، و نسمّيه المضاعف المشترك الأصغر. و في هذا الدرس نتعلّم كيف نحسبه بثلاث طرق، ثمّ نكتشف أنّه مربوط بالقاسم المشترك الأكبر بعلاقة واحدة بسيطة تجعل حساب أحدهما يعطي الآخر مجّانا.
- تعيين مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين
- حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين بالسرد و بالتحليل إلى جداء عوامل أولية
- توظيف الخاصية المتعلّقة بضرب العددين في عدد صحيح غير معدوم
- استعمال العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم المشترك الأكبر لحساب أحدهما انطلاقا من الآخر
- تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية و قراءة قواسمه من أسسه
- خوارزمية إقليدس لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين
1. مضاعفات عدد، ثمّ المضاعفات المشتركة
ليكن a عددا طبيعيا غير معدوم. نرمز بالرمز الموالي إلى مجموعة مضاعفات العدد a، أي مجموعة الأعداد التي تُكتب جداء a في عدد طبيعي.
⭐ انتبه إلى أنّ k يبدأ من 0: العدد 0 مضاعف لكلّ عدد، لأنّ 0 = 0 × a. و هذه الملاحظة الصغيرة هي التي ستُنقذك بعد قليل، عند كتابة التقاطع.
و المضاعفات المشتركة للعددين هي العناصر التي تظهر في المجموعتين معا، أي عناصر التقاطع. هنا نقرأ 0 ثمّ 24 ثمّ 48، و هكذا من 24 إلى 24.
⛔ العدد 0 عنصر من هذا التقاطع، و لا يجوز حذفه: هو مضاعف للعدد 6 و مضاعف للعدد 8 في آن واحد، و قد كتبناه في المجموعتين قبل سطرين. و لهذا بالضبط سيقول التعريف « أصغر عنصر غير معدوم »: الاستبعاد يقع في التعريف، لا في التقاطع.
2. تعريف المضاعف المشترك الأصغر
ليكن a و b عددين طبيعيين غير معدومين. تقاطع مجموعتي مضاعفاتهما ليس خاليا أبدا، لأنّه يحوي 0 و يحوي الجداء a × b. المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر عنصر غير معدوم من هذا التقاطع.
⭐ الرمز يقرأ حرفيا ما قالته العبارة: نأخذ التقاطع، نُخرج منه 0، ثمّ نأخذ أصغر ما بقي. و لولا إخراج 0 لكان الجواب 0 دائما، و لما دلّ على شيء.
و من التعريف تُقرأ حالتان بديهيتان: مضاعفات عدد مع نفسه هي مضاعفاته، و مضاعفات 1 هي كلّ الأعداد الطبيعية.
و الخاصية الأهمّ في هذه الفقرة هي الموالية: المضاعفات المشتركة ليست قائمة متفرّقة، بل هي بالضبط مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر.
⭐ هذه الخاصية تحوّل سؤالا لا نهائيا إلى سؤال واحد. بدلا من البحث عن كلّ اللحظات التي يلتقي فيها الضوءان، يكفي إيجاد الأولى ثمّ الجمع إليها من دورة إلى دورة. و في مثال الضوءين: 90 = 2 × 3² × 5 و 95 = 5 × 19، فالمضاعف المشترك الأصغر هو 2 × 3² × 5 × 19 = 1710 ثانية، أي 28 دقيقة و 30 ثانية.
3. تمديد إلى الأعداد الصحيحة
المفهوم يمتدّ إلى عددين صحيحين غير معدومين دون أيّ تعقيد: الإشارة لا تغيّر شيئا في المضاعفات، فنعمل على القيمتين المطلقتين. و المضاعف المشترك الأصغر يبقى، بالتعريف، عددا طبيعيا موجبا تماما.
لأنّ العدد m مضاعف للعدد a إذا و فقط إذا كان مضاعفا للعدد (−a): المضاعفات الموجبة للعددين هي نفسها بالضبط، فلا معنى للتمييز بينهما هنا.
4. خاصية الضرب في عدد
الخاصية الموالية هي أداة العمل على العبارات الحرفية: إذا ضُرب العددان في عامل مشترك، خرج هذا العامل من المضاعف المشترك الأصغر كما هو.
⭐ البرهان بحصرين متقابلين. نضع m = PPCM(a ; b)؛ بما أنّ m مضاعف لـ a و لـ b فإنّ |k|m مضاعف مشترك موجب تماما للعددين ka و kb، و منه المضاعف المشترك الأصغر لهما لا يتجاوز |k|m. و عكسيا، نضع M = PPCM(ka ; kb)؛ بما أنّ ka يقسم M فإنّ M مضاعف لـ k، و العدد M مقسوما على |k| هو عدد طبيعي موجب تماما، و هو مضاعف مشترك للعددين a و b، فلا يقلّ عن m. و بضرب هذا الحصر الثاني في |k| نجد الحصر المعاكس، فيتساوى الطرفان.
نبدأ بالطريقة الأولى، و هي الأبطأ لكنّها التي تُظهر المعنى: السرد.
🎯المطلوب: عيّن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و 18.
نسرد مضاعفات العدد الأوّل، بادئين بالصفر.
ثمّ مضاعفات العدد الثاني، إلى الحدّ نفسه تقريبا.
نأخذ العناصر المشتركة بين القائمتين.
و نُخرج 0، لأنّ التعريف يطلب أصغر عنصر غير معدوم.
فنقرأ أصغر ما بقي.
ليكن a عددا طبيعيا غير معدوم يحقّق المساواة PPCM(56 ; a) = 280.
🎯المطلوب: عيّن كلّ القيم الممكنة للعدد الطبيعي غير المعدوم a.
نحلّل العددين المعلومين.
ثمّ العدد الثاني.
كلّ مضاعف مشترك للعددين يقبل القسمة على المضاعف المشترك الأصغر، و العدد المجهول يقسم المضاعف المشترك الأصغر لأنّه أحد العددين المولّدين له.
و منه تحليله يستعمل عوامل 280 وحدها، بأسس لا تتجاوز أسسها. نسمّي الأسس بأحرف يونانية حتّى لا يشتبه أسّ العدد 2 بالعدد نفسه.
و الحصر على كلّ أسّ يُقرأ من تحليل 280.
ثمّ الثاني.
ثمّ الثالث.
لو كان الأسّ الثاني معدوما لقسم العدد المجهول العددَ 56، فكان المضاعف المشترك الأصغر 56 لا 280. إذن العامل 5 حاضر حتما.
نتحقّق بأكبر الأسّين مع تحليل 56: أسّ العدد 2 في المضاعف يبقى 3 مهما كان α.
و أسّ العدد 7 يبقى 1 مهما كان γ.
فالأسّ الأوّل يأخذ أربع قيم و الأسّ الثالث يأخذ قيمتين، أي ثماني تركيبات.
و نحسب التركيبات الثماني واحدة واحدة.
| الأسّ γ | α = 0 | α = 1 | α = 2 | α = 3 |
|---|---|---|---|---|
| γ = 0 | 5 | 10 | 20 | 40 |
| γ = 1 | 35 | 70 | 140 | 280 |
ليكن n عددا طبيعيا غير معدوم، و ليكن العددان الطبيعيان a و b حيث a = 3n(11n⁺² − 11n) و b = 11n(3n⁺¹ − 3n).
🎯المطلوب: عيّن المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b.
لا نجرّب قيما: نُخرج العامل المشترك من كلّ عبارة أوّلا. في العبارة الأولى نُخرج قوّة العدد 11 الصغرى.
و نحسب ما بقي بين القوسين.
فتُكتب العبارة الأولى جداء عامل مشترك في عدد ثابت.
و بالطريقة نفسها في العبارة الثانية نُخرج قوّة العدد 3 الصغرى.
فتُكتب العبارة الثانية على الشكل نفسه، بنفس العامل المشترك.
و الآن تعمل خاصية الضرب في عدد: العامل المشترك يخرج من المضاعف كما هو.
و العدد 2 يقسم 120، فمضاعفهما المشترك الأصغر هو 120.
فنعوّض.
و يبقى أن نكتب الجواب بالتحليل إلى عوامل أولية، فنحلّل العدد 120.
فنضمّ العامل 3 إلى قوّته.
5. م.م.أ و ق.م.أ من التحليلين: تذكير قصير
رأينا في الدرس السابق أنّ التحليل إلى جداء عوامل أولية يعطي العددين معا: نكتب العددين بنفس قائمة العوامل الأولية، و نسمح بالأسّ 0 لعامل غائب. عندئذ يُقرأ القاسم المشترك الأكبر بأخذ أصغر الأسّين لكلّ عامل، و المضاعف المشترك الأصغر بأخذ أكبرهما.
6. العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم المشترك الأكبر
و هنا يظهر الرباط الذي يعطي هذا الدرس عنوانه. الكتابتان السابقتان متكاملتان: ما يأخذه أحدهما بالأسّ الأصغر يأخذه الآخر بالأسّ الأكبر. و مجموع الأصغر و الأكبر لعددين هو دائما مجموع العددين، مهما كان ترتيبهما.
⭐ هذه المتطابقة الصغيرة هي كلّ البرهان. أيّا كان الأكبر من العددين، المجموع لا يتغيّر: نحن نعيد ترتيب العددين لا غير.
فإذا ضربنا القاسم المشترك الأكبر في المضاعف المشترك الأصغر، جُمعت الأسس عاملا عاملا، و أعطى كلّ عامل أسّه في a زائد أسّه في b — و هذا بالضبط تحليل الجداء a × b.
بالتفصيل: العامل الأوّلي رقم i يظهر في الجداء بأسّ هو مجموع الأسّ الأصغر و الأسّ الأكبر، أي مجموع أسّيه في a و في b بالمتطابقة السابقة؛ و هذا هو أسّه في الجداء a × b. و بما أنّ ذلك يصحّ لكلّ عامل من العوامل، تساوى التحليلان، فتساوى العددان.
ليكن العددان الطبيعيان 4530 و 480. تحليلهما ممكن، لكنّ العلاقة أسرع.
🎯المطلوب: عيّن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4530 و 480 باستعمال العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر و القاسم المشترك الأكبر.
نبدأ بخوارزمية إقليدس على العددين: قسمة أولى.
ثمّ نقسم القاسم على الباقي.
و نعيد الكرّة.
و القسمة الموالية باقيها معدوم، فآخر باق غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر.
فنقرأ القاسم المشترك الأكبر.
و نكتب العلاقة التي تربط العددين المطلوبين.
نحسب الطرف الأيمن.
ثمّ نعزل المجهول بالقسمة على القاسم المشترك الأكبر.
فنجري القسمة.
نبحث عن كلّ ثنائية (a ; b) من الأعداد الطبيعية غير المعدومة يكون جداؤها 18000 و مضاعفها المشترك الأصغر 600.
🎯المطلوب: عيّن كلّ الثنائيات (a ; b) من الأعداد الطبيعية الحلول للجملة المعطاة.
نسمّي d القاسم المشترك الأكبر للعددين، ثمّ نكتب الأوّل بدلالته.
و الثاني بالطريقة نفسها.
و العددان الجديدان أوليان فيما بينهما، و هذا هو معنى أخذ القاسم المشترك الأكبر.
نكتب العلاقة على العددين a و b.
و نعوّض المعطيين، فنحصل على معادلة ذات مجهول واحد.
فنستنتج القاسم المشترك الأكبر.
نعوّض الآن في الجداء بدلالة العددين الجديدين.
و نقسم على مربّع القاسم المشترك الأكبر.
فنسرد ثنائيات الأعداد الطبيعية التي جداؤها 20، ثمّ نحتفظ بالأوليّة فيما بينها وحدها: الثنائية (2 ; 10) مرفوضة لأنّ قاسمهما المشترك الأكبر 2.
و نضرب كلّ ثنائية في القاسم المشترك الأكبر 30، حدّا بحدّ.
و كذلك للعدد الثاني.
فنقرأ الثنائيات الأربع.
الصفحة 1/12
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net