الأعداد والحساب (تابع) › مبرهنة بيزو - مبرهنة غوص
مبرهنة بيزو
الشرط هو أن يكون العدد a أوّليا مع 28، و الأداة التي تعطيه و تعطي مفتاح الفكّ معه هي مبرهنة بيزو. هي أهمّ مبرهنة في هذا الباب، لأنّها تحوّل جملة يصعب التحقّق منها — « ليس للعددين قاسم مشترك سوى 1 » — إلى مساواة عددية يكفي أن نُظهرها: عددان صحيحان u و v يحقّقان au + bv = 1.
- كتابة مبرهنة بيزو في اتّجاهيها و استعمالها للبرهان على أنّ عددين أوليان فيما بينهما
- تعيين معاملي بيزو لعددين بخوارزمية إقليدس ثمّ الصعود فيها
- توظيف خواص بيزو الثلاث، و خاصّة الخاصية المتعلّقة بالجداء
- البرهان على أوّلية عبارتين حرفيتين فيما بينهما بتركيب خطّي معاملاه مناسبان
- القسمة الإقليدية في ℤ و خوارزمية إقليدس
- خواص قابلية القسمة، و خاصّة التركيب الخطّي
1. المبرهنة
ليكن a و b عددين صحيحين. نقول إنّهما أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. و مبرهنة بيزو تعطي لهذه الجملة صيغة مكافئة، حسابية بحتة.
⭐ لاحظ قوّة الاتّجاه من اليسار إلى اليمين: لتُثبت أنّ عددين أوليان فيما بينهما لا تحتاج إلى سرد قواسمهما و لا إلى تحليلهما — يكفي أن تجد تركيبا خطّيا لهما يساوي 1، و لو بالحدس. سطر واحد ينهي السؤال.
البرهان، الاتّجاه المباشر. نفرض العددين أوليين فيما بينهما، و نبني المجموعة E التي عناصرها كلّ الأعداد الصحيحة التي تُكتب au + bv حيث u و v عددان صحيحان. هذه المجموعة ليست خالية: العدد a عنصر منها، و العدد المقابل له عنصر منها كذلك، و أحدهما موجب تماما. فلنسمّ m أصغر عنصر موجب تماما من E، و ليكن u₀ و v₀ العددين الصحيحين اللذين يعطيانه.
نجري الآن القسمة الإقليدية للعدد a على العدد m، ثمّ نُظهر أنّ الباقي عنصر من E هو أيضا.
نعوّض m بقيمتها في r = a − mq فنجد r = a − (a u₀ + b v₀)q، ثمّ نجمع حدود a معا و حدود b معا. فالباقي مكتوب فعلا على صيغة عناصر E، بالمعاملين المكتوبين.
و لكنّ r أصغر تماما من m، و m أصغر عنصر موجب تماما من E. فلا يبقى للباقي إلّا أن ينعدم، و منه m يقسم a. و بإعادة العملية نفسها مع b نجد أنّ m يقسم b كذلك.
إذن m قاسم مشترك للعددين، و هما أوليان فيما بينهما، فقاسمهما المشترك الوحيد الموجب هو 1. و منه m = 1، أي أنّ العددين u₀ و v₀ يحقّقان المطلوب.
و الاتّجاه العكسي أقصر بكثير. نفرض وجود عددين صحيحين u و v حيث au + bv = 1، و نضع d قاسمهما المشترك الأكبر. بما أنّ d يقسم a و يقسم b، فهو يقسم كلّ تركيب خطّي لهما، و منه يقسم 1، فلا يكون إلّا 1.
2. ثلاث خواص تُستعمل أكثر من المبرهنة نفسها
البرهان يردّ الحالة العامّة إلى المبرهنة: نكتب a = d a' و b = d b' حيث العددان a' و b' أوليان فيما بينهما — و هذه خاصية القاسم المشترك الأكبر. فحسب بيزو يوجد عددان صحيحان يحقّقان a'u + b'v = 1، و بضرب الطرفين في d نجد au + bv = d.
⭐ تُقرأ: العدد الأوّلي p أوّلي مع كلّ عدد لا يقسمه. و البرهان في سطرين: قواسم p الموجبة هما 1 و p لا غير، فقاسمهما المشترك الأكبر إمّا 1 و إمّا p؛ و لو كان p لكان p يقسم a، و هذا يناقض الفرض. إذن هو 1.
⭐ البرهان تطبيق مباشر و أنيق للمبرهنة في اتّجاهيها. حسب بيزو يوجد u و v حيث au + bv = 1، و يوجد u' و v' حيث au' + cv' = 1. نضرب المساواتين طرفا بطرف، ثمّ نجمع كلّ الحدود التي تحمل a في قوس واحد، فيبقى الحدّ الأخير وحده يحمل الجداء bc. فنحصل على تركيب خطّي للعددين a و bc يساوي 1، و بيزو في اتّجاهه العكسي يعطي المطلوب.
ليكن n عددا طبيعيا، و ليكن العددان A = 4n − 3 و B = 5n − 4.
🎯المطلوب: أثبت أنّ العددين A و B أوليان فيما بينهما.
نبحث عن معاملين يحذفان n. معامل n في العبارة الأولى 4 و في الثانية 5، فنضرب الأولى في 5 و الثانية في 4 ثمّ نطرح.
نعوّض العبارتين.
ننشر الطرفين.
فيختفي الحدّ الذي يحمل n و يبقى عدد ثابت.
و قد وجدنا تركيبا خطّيا للعددين يساوي 1، فبيزو ينهي السؤال.
نبحث عن ثنائية من الأعداد الصحيحة تحقّق المساواة 135u + 55v = 5.
🎯المطلوب: عيّن عددين صحيحين u و v حيث 135u + 55v = 5.
ننزل أوّلا بخوارزمية إقليدس: قسمة أولى.
نقسم القاسم على الباقي.
و القسمة الموالية باقيها معدوم، فآخر باق غير معدوم هو 5.
فنقرأ القاسم المشترك الأكبر.
و الآن نصعد: نعزل الباقي الأخير من القسمة التي أنتجته.
و نعزل الباقي الذي قبله من قسمته هو.
نعوّض الثاني في الأوّل، فيختفي العدد 25 و لا يبقى إلّا العددان المعطيان.
ننشر و نجمع حدود كلّ عدد على حدة.
و نتحقّق عدديا.
فنقرأ الثنائية بترتيب السؤال.
ليكن n عددا صحيحا.
🎯المطلوب: أثبت أنّ العددين n + 1 و 2n + 3 أوليان فيما بينهما.
نبحث عن تركيب يحذف n: معامل n في العبارة الأولى 1 و في الثانية 2، فنضرب الأولى في 2 و نطرحها من الثانية.
ننشر.
فيختفي المجهول.
و التركيب يساوي 1، فبيزو ينهي السؤال.
نبقى مع n عددا صحيحا، و نبدّل العبارة الثانية.
🎯المطلوب: أثبت أنّ العددين n + 1 و 3n + 4 أوليان فيما بينهما.
نعيد الحركة نفسها: معامل n في العبارة الثانية 3، فنضرب الأولى في 3.
ننشر.
فيختفي المجهول مرّة أخرى.
فالنتيجة من بيزو مباشرة.
ليكن n عددا صحيحا. نستعمل نتيجتي المثالين 3 و 4.
🎯المطلوب: استنتج أنّ العددين n + 1 و 6n² + 17n + 12 أوليان فيما بينهما.
نلاحظ أنّ ثلاثي الحدود ليس عبارة جديدة: هو جداء العبارتين السابقتين. نتحقّق بالنشر.
نجمع الحدّين المتشابهين.
و لدينا من المثالين السابقين نتيجتان جاهزتان.
و الثانية.
فالعدد الأوّل أوّلي مع كلّ من العاملين، و حسب الخاصية 3 يكون أوّليا مع جدائهما.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net