مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

حل في ℂ معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية

🔊 المعلّمة تقرأ لك
منذ السنة الثانية و أنت تحلّ المعادلات من الدرجة الثانية بالمميّز، و تعرف الحالات الثلاث. و في الحالة الثالثة، حين يكون المميّز سالبا، كنت تكتب دائما الجملة نفسها: « المعادلة لا تقبل حلولا في ℝ » ثمّ تغلق السؤال. و الآن بعد أن صار لكلّ عدد سالب جذران تربيعيان في ℂ ، ماذا يبقى من تلك الجملة، و ما هي الحلول التي كنّا نفوّتها؟

لا يبقى من تلك الجملة شيء. كلّ معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية تقبل حلولا في ℂ ، مهما كانت إشارة مميّزها. و الحساب هو الحساب نفسه الذي تتقنه، بتغيير واحد: حين يكون المميّز سالبا لم نعد نتوقّف، بل نكتب جذريه التربيعيين — و هما تخيليّان صرفان — و نواصل بالدستور المعتاد. و ستكتشف أنّ الحلّين في هذه الحالة ليسا أيّ عددين: هما مترافقان، أي أنّ أحدهما يعطي الآخر بمجرّد قلب إشارة الجزء التخيلي.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • كتابة الشكل القانوني لثلاثي حدود من الدرجة الثانية و استخراج مميّزه
  • حلّ معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية في ℂ في الحالات الثلاث
  • كتابة حلّي المعادلة على الشكل الجبري لمّا يكون المميّز سالبا
  • إثبات أنّ الحلّين مترافقان لمّا تكون المعاملات حقيقية و المميّز سالبا
  • استعمال مجموع الحلّين و جدائهما، و تعميل الثلاثي بدلالة حلّيه
  • البرهان على أنّ مرافق جذر لكثير حدود ذي معاملات حقيقية هو جذر له كذلك
  • حلّ معادلة من درجة أعلى يؤول حلّها إلى معادلة من الدرجة الثانية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • حلّ معادلة من الدرجة الثانية في ℝ بالمميّز، و الحالات الثلاث
  • الشكل الجبري لعدد مركب، و جمع عددين مركبين و ضربهما
  • الجذران التربيعيان لعدد حقيقي سالب، و أنّهما تخيليّان صرفان
  • مرافق عدد مركب و خواصّه مع الجمع و الجداء و القوى
  • تعميل كثير حدود بمعرفة أحد جذوره، و القسمة على عبارة من الدرجة الأولى

1. الشكل القانوني و المميّز

نبدأ من حيث بدأت في السنة الثانية: نحوّل الثلاثي إلى مربّع ناقص عدد. هذا التحويل لا يتعلّق بمجموعة الأعداد التي نعمل فيها، فهو صالح في ℂ كما هو صالح في ℝ.

المعادلة المدروسة

⚠️ الشرط الأساسي: المعامل الأوّل غير معدوم، و إلا لم تعد المعادلة من الدرجة الثانية. و في هذا الدرس المعاملات الثلاثة حقيقية، و هذا ما سيعطينا خاصّية إضافية لا توجد في الحالة العامّة.

a z² + b z + c = 0
aمعامل الحدّ من الدرجة الثانية، عدد حقيقي غير معدومbمعامل الحدّ من الدرجة الأولى، عدد حقيقيcالحدّ الثابت، عدد حقيقي
الشكل القانوني

نعمل بالعامل المشترك ثمّ نكمل المربّع، تماما كما تعلّمت. و التحقّق يتمّ بنشر الطرف الأيمن: تجد الطرف الأيسر حدّا بحدّ.

a z² + b z + c=a((z + b2a)² − Δ4a²)
المميّز

⭐ هو العدد الوحيد الذي يقرّر شكل الحلول. و ما دامت المعاملات حقيقية، فالمميّز عدد حقيقي — و هذا بالضبط ما يجعل هذا الدرس أبسط من الحالة العامّة.

Δ = b² − 4 a c
Δمميّز المعادلة
⭐ لماذا نمرّ بالشكل القانوني أصلا؟ لأنّه يحوّل المعادلة إلى الشكل: مربّع يساوي عددا. و « مربّع يساوي عددا » هو بالضبط موضوع الدرس السابق. ⟸ حلّ معادلة من الدرجة الثانية يعود إلى البحث عن جذرين تربيعيين، لا أكثر. الدرسان درس واحد.

2. المبرهنة: الحالات الثلاث

بما أنّ المميّز حقيقي، فحالاته ثلاث لا رابع لها: موجب تماما، معدوم، أو سالب تماما. و في الحالتين الأوليين لا شيء يتغيّر عمّا تعرفه؛ الجديد كلّه في الثالثة.

📌المعطى: حلول المعادلة حسب إشارة المميّز، و المعاملات حقيقية
حالة المميّزالجذران التربيعيان للمميّزحلّا المعادلةطبيعتهما
⁦Δ > 0⁩± ⁦√Δ⁩ , حقيقيان⁦(−b ± √Δ)2a⁩حلاّن حقيقيان متمايزان
⁦Δ = 0⁩0 , جذر واحد⁦−b2a⁩حلّ مضاعف حقيقي
⁦Δ < 0⁩± ⁦i√(−Δ)⁩ , تخيليان صرفان⁦(−b ± i√(−Δ))2a⁩حلاّن مركبان مترافقان
الحالتان الأوليان هما ما تعرفه منذ السنة الثانية. الحالة الثالثة هي الإضافة الوحيدة، و هي لا تغيّر الدستور: تغيّر فقط طبيعة جذري المميّز.

و السطر الحاسم في الحالة الثالثة هو هذا: المميّز سالب، فهو يكتب على شكل ناقص عدد موجب، و جذراه التربيعيان تخيليّان صرفان.

جذرا مميّز سالب

⭐ العدد تحت الجذر هو معاكس المميّز، و هو موجب لأنّ المميّز سالب. و التحقّق مباشر: مربّع هذا العدد هو مربّع i مضروبا في معاكس المميّز، أي المميّز نفسه.

Δ < 0 ⟹ ω = i√(−Δ)
ωأحد الجذرين التربيعيين للمميّز
الحلّ الأوّل

هو الدستور المعتاد، و الجديد فيه أنّ ما نضعه مكان الجذر التربيعي عدد مركب.

z1=−b − ω2a
الحلّ الثاني

⚠️ ترتيب الحلّين لا معنى له: لو أخذت معاكس ω لتبادل الحلاّن اسميهما و بقيت المجموعة نفسها. فلا تضيّع وقتك في السؤال « أيّهما الأوّل »؛ المهمّ أن تكتب الاثنين، و أن تستعمل الجذر نفسه في السطرين.

z2=−b + ω2a
⛔ لا تكتب أبدا الرمز √ فوق المميّز حين يكون سالبا. الكتابة الصحيحة هي: نعيّن جذرا تربيعيا للمميّز، نسمّيه بحرف، ثمّ نستعمله. هذا ليس تشدّدا في الشكل: الرمز √ يفترض اختيارا بين الجذرين، و لا يوجد في ℂ ما يبرّر هذا الاختيار.
مثال 1: مميّز سالب، أوّل حلّ في ℂ

المعادلة التي كنت تغلق السؤال عندها في السنة الثانية. نحلّها الآن إلى آخرها.

🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المجهول z.

📌المعطى
z² − z + 1 = 0
🔹الخطوة 1: قراءة المعاملات

نقرأ المعاملات الثلاثة قبل أيّ حساب، مع إشاراتها.

a = 1 ; b = −1 ; c = 1
🔹الخطوة 2: حساب المميّز

نحسب المميّز بالدستور.

Δ=(−1)² − 4 × 1 × 1=1 − 4=−3
🔹الخطوة 3: كتابة المميّز

المميّز سالب، فنكتبه على شكل ناقص عدد موجب لنستخرج جذريه.

Δ = −3
🔹الخطوة 4: جذر تربيعي للمميّز

⭐ جذرا عدد حقيقي سالب تخيليّان صرفان: نضرب جذر المعاكس في i.

ω = i√3
🔹الخطوة 5: التحقّق من الجذر

نتحقّق من الجذر بالتربيع قبل أن نبني عليه.

(i√3)²=i² × 3=−3
🔹الخطوة 6: الحلّ الأوّل

نطبّق الدستور بالحلّ الأوّل.

z1 = 1 − i√32
🔹الخطوة 7: الحلّ الثاني

ثمّ بالحلّ الثاني، بالجذر نفسه و بالإشارة الأخرى.

z2 = 1 + i√32
✅النّتيجة
S = {1 − i√32 ; 1 + i√32}
⭐ انظر إلى الحلّين جنبا إلى جنب: لهما الجزء الحقيقي نفسه، و جزآهما التخيليّان متعاكسان. أي إنّ كلّا منهما مرافق الآخر. هذه ليست صدفة، و الفقرة الموالية تبرهن أنّها قاعدة.
مثال 2: مميّز سالب، حلاّن بجزأين صحيحين

مثال ثان تكون فيه القسمة على المعامل الأوّل تامّة، فيخرج الحلاّن بأعداد صحيحة.

🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المجهول z.

📌المعطى
z² + 2z + 2 = 0
🔹الخطوة 1: قراءة المعاملات

نقرأ المعاملات.

a = 1 ; b = 2 ; c = 2
🔹الخطوة 2: حساب المميّز

نحسب المميّز.

Δ=2² − 4 × 1 × 2=4 − 8=−4
🔹الخطوة 3: جذر تربيعي للمميّز

المميّز سالب، و معاكسه مربّع تامّ: الجذر يخرج عددا صحيحا مضروبا في i.

ω = 2i
🔹الخطوة 4: التحقّق من الجذر

نتحقّق بالتربيع.

(2i)²=4i²=−4
🔹الخطوة 5: الحلّ الأوّل

نطبّق الدستور بالحلّ الأوّل، ثمّ نبسّط الكسر.

z1=−2 − 2i2=−1 − i
🔹الخطوة 6: الحلّ الثاني

ثمّ بالحلّ الثاني.

z2=−2 + 2i2=−1 + i
🔹الخطوة 7: التحقّق بالتعويض

⭐ نتحقّق بالتعويض في المعادلة الأصلية، لا في الدستور.

(−1 + i)² + 2(−1 + i) + 2=−2i + 2i=0
✅النّتيجة
S = {−1 − i ; −1 + i}
⛔ لا تترك الكسر دون تبسيط: الجواب الصحيح هو ناقص واحد ناقص i ، لا الكسر الذي بسطه ناقص اثنين ناقص اثنين i. الجواب النهائي يُكتب دائما على الشكل الجبري و في أبسط صورة.
مثال 3: معادلة ناقصة، بلا حدّ من الدرجة الأولى

حالة تظهر كثيرا، و فيها لا داعي للمرور بالمميّز أصلا — لكنّنا نمرّ به مرّة واحدة لنرى أنّ الطريقين يعطيان الجواب نفسه.

🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة، بالمميّز ثمّ بالطريق المباشر.

📌المعطى
z² + 9 = 0
🔹الخطوة 1: قراءة المعاملات

نقرأ المعاملات: معامل الحدّ من الدرجة الأولى معدوم.

a = 1 ; b = 0 ; c = 9
🔹الخطوة 2: حساب المميّز

نحسب المميّز.

Δ=0² − 4 × 1 × 9=−36
🔹الخطوة 3: جذر تربيعي للمميّز

جذر تربيعي للمميّز.

ω = 6i
🔹الخطوة 4: تطبيق الدستور

نطبّق الدستور، و المعامل الأوسط معدوم فيبقى الجذر وحده مقسوما على اثنين.

z = 0 ± 6i2
🔹الخطوة 5: التبسيط

نبسّط.

z = 3i ; z = −3i
🔹الخطوة 6: الطريق المباشر

⭐ الطريق المباشر: نعزل المربّع، فنعود إلى معادلة الدرس السابق تماما.

z² = −9
✅النّتيجة
S = {3i ; −3i}
⭐ متى يكون المعامل الأوسط معدوما، اعزل المربّع مباشرة: توفّر على نفسك المميّز كلّه. المعادلة تصير « مربّع يساوي عددا »، و أنت تعرف حلّها من الدرس السابق.

3. لماذا يكون الحلاّن مترافقين؟

الملاحظة التي تكرّرت في المثالين الأوّل و الثاني ليست صدفة، و برهانها في سطرين. المعاملات حقيقية، و المميّز سالب: عندئذ الحلاّن يشتركان في المقام و في البسط ما عدا إشارة الحدّ الذي يحمل i.

الحلاّن لمّا يكون المميّز سالبا

⭐ الجزء الحقيقي واحد في الحلّين، و هو ناقص المعامل الأوسط على ضعف الأوّل؛ و الجزآن التخيليّان متعاكسان. و هذا هو تعريف عددين مترافقين بالحرف.

z=−b ± i√(−Δ)2a
⭐ لمّا تكون معاملات المعادلة حقيقية و مميّزها سالبا، يكون حلاّها مركبين و مترافقين. و في المستوي المركب: صورتاهما متناظرتان بالنسبة إلى المحور الحقيقي، و تقعان على المستقيم العمودي الذي فاصلته هي الجزء الحقيقي المشترك.
ما يجب أن تحتفظ به: مميّز سالب و معاملات حقيقية ⟸⟹ حلاّن مترافقان. احسب واحدا فقط، و اكتب الثاني بقلب إشارة الجزء التخيلي.
⭐ ربح عملي فوري في الامتحان: بمجرّد أن تحسب حلاّ واحدا، اكتب الثاني دون أيّ حساب — هو مرافقه. ⛔ لكن انتبه إلى الشرط: المعاملات يجب أن تكون حقيقية. إذا كان أحد المعاملات مركبا سقطت الخاصّية كلّيا، و وجب حساب الحلّين واحدا واحدا.

4. مجموع الحلّين، جداؤهما، و تعميل الثلاثي

العلاقتان اللتان تعرفهما في ℝ تبقيان صحيحتين بحرفهما في ℂ ، لأنّ برهانهما لا يستعمل إلا الدستور نفسه.

مجموع الحلّين

نجمع الدستورين: يزول الجذر التربيعي لأنّه يظهر مرّة بالزائد و مرّة بالناقص، و يبقى ضعف ناقص المعامل الأوسط مقسوما على ضعف الأوّل.

z1 + z2 = −ba
جداء الحلّين

نضرب الدستورين: نجد فرق مربّعين في البسط، و مربّع الجذر التربيعي هو المميّز نفسه، فيتبسّط كلّ شيء.

z1 × z2 = ca
تعميل الثلاثي

⭐ هذه هي الصيغة الأنفع عمليا: متى عرفت حلّي معادلة، عرفت تعميل ثلاثيها. و ستستعملها في الفقرة الموالية لحلّ معادلات من درجة أعلى.

a z² + b z + c = a(z − z1)(z − z2)
متى عرفت حلّي المعادلة عرفت تعميل ثلاثيها؛ و حين يكون المميّز معدوما يتطابق الحلاّن، فيصير التعميل مربّعا.
⭐ استعمل المجموع و الجداء كتحقّق سريع: بعد أن تجد الحلّين، اجمعهما و اضربهما. يجب أن تجد ناقص المعامل الأوسط على الأوّل، و الحدّ الثابت على الأوّل. سطران يكشفان خطأ في الإشارة أسرع من إعادة الحساب كلّه.

5. معاملات حقيقية: مرافق الجذر جذر بدوره

الخاصّية التي رأيناها على الدرجة الثانية أعمّ من ذلك بكثير: هي صحيحة لكلّ كثير حدود معاملاته حقيقية، مهما كانت درجته. و برهانها لا يستعمل إلا خواصّ المرافق.

خاصّية كثير الحدود ذي المعاملات الحقيقية

⭐ البرهان يستعمل ثلاث خواصّ للمرافق: مرافق المجموع مجموع المرافقين، مرافق الجداء جداء المرافقين، و مرافق عدد حقيقي هو العدد نفسه — و هذه الأخيرة هي التي تستعمل فرضية أنّ المعاملات حقيقية.

u = P(z) ⟹ u = P( z )
Pكثير حدود معاملاته كلّها أعداد حقيقية
⭐ النتيجة التي تُستعمل في التمارين: إذا كان عدد مركب جذرا لكثير حدود ذي معاملات حقيقية، فإنّ مرافقه جذر له كذلك. ⛔ و مرّة أخرى: الشرط « معاملات حقيقية » ليس زخرفا، هو الفرضية التي يقوم عليها البرهان كلّه.
مثال 4: البرهان على أنّ مرافق الجذر جذر

نطبّق البرهان على كثير حدود من الدرجة الثالثة، بمعاملات حقيقية، و نستنتج منه جذرا ثالثا دون أيّ حساب جديد.

🎯المطلوب: أثبت أنّ مرافق كلّ جذر لكثير الحدود جذر له، ثمّ استنتج جذرا آخر علما أنّ ناقص واحد ناقص i جذر له.

📌المعطى
P(z) = z³ + z² − 2
🔹الخطوة 1: مرافق المجموع

نسمّي قيمة كثير الحدود بحرف حتّى نأخذ مرافقها، ثمّ نستعمل أنّ مرافق المجموع هو مجموع المرافقين.

u = P(z) ⟹ u = z³ + z² − 2
🔹الخطوة 2: مرافق القوّة

⭐ نستعمل خاصّية مرافق القوّة على الحدّين الأوّلين.

z³ = ( z )³
🔹الخطوة 3: مرافق العدد الحقيقي

⚠️ و هنا تدخل الفرضية الحاسمة: العدد 2 حقيقي، فمرافقه هو نفسه. لو كان معاملا مركبا لسقط البرهان.

2 = 2
🔹الخطوة 4: تجميع الخطوات

نجمع الخطوات الثلاث: العبارة الناتجة هي كثير الحدود نفسه مطبّقا على المرافق.

u = P( z )
🔹الخطوة 5: تطبيق على الجذر المعطى

نطبّق على الجذر المعطى: قيمة كثير الحدود عنده معدومة.

P(−1 − i) = 0
🔹الخطوة 6: كتابة مرافق الجذر

⭐ الطرف الأيسر معدوم، و مرافق الصفر هو الصفر: فبالخاصّية تكون قيمة كثير الحدود عند مرافق ذلك الجذر معدومة هي الأخرى. فلم يبق إلا أن نكتب المرافق صراحة.

−1 − i = −1 + i
✅النّتيجة
P(−1 + i) = 0
⭐ هذه الخاصّية توفّر عليك نصف التمرين: في مواضيع الباكالوريا، حين يُعطى لك جذر مركب لكثير حدود بمعاملات حقيقية، فأنت تملك جذرين لا واحدا. قلها صراحة في ورقتك، مع ذكر الشرط: « بما أنّ معاملات كثير الحدود حقيقية ».

6. معادلات يؤول حلّها إلى الدرجة الثانية

آخر ما في هذا الدرس هو أنفعه في الامتحان: معادلة من درجة أعلى من الثانية لا تُحلّ مباشرة، لكنّها تُعمَّل فتنقسم إلى معادلات أبسط. و الطريقة ثابتة: نبحث عن جذر ظاهر، نقسم عليه، ثمّ نحلّ الباقي بالمميّز.

  1. 1️⃣ نبحث عن جذر ظاهر بالتعويض بأعداد بسيطة: واحد، ناقص واحد، اثنان.
  2. 2️⃣ نعمّل كثير الحدود بقسمته على العبارة من الدرجة الأولى الموافقة لذلك الجذر.
  3. 3️⃣ نحلّ العامل الثاني، و هو من الدرجة الثانية، بالمميّز.
  4. 4️⃣ نجمع الحلول كلّها في مجموعة واحدة، دون أن ننسى الجذر الظاهر نفسه.
مثال 5: حلّ معادلة من الدرجة الثالثة

نأخذ كثير الحدود نفسه الذي برهنّا عليه في المثال السابق، و نحلّ المعادلة الموافقة له إلى آخرها.

🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المجهول z.

📌المعطى
z³ + z² − 2 = 0
🔹الخطوة 1: البحث عن جذر ظاهر

نجرّب العدد واحدا: مجموع الحدود عنده معدوم، فهو جذر ظاهر.

P(1)=1 + 1 − 2=0
🔹الخطوة 2: شكل التعميل

⭐ بما أنّ واحدا جذر، فإنّ كثير الحدود يقبل العبارة من الدرجة الأولى الموافقة له عاملا، و الحاصل من الدرجة الثانية.

z³ + z² − 2=(z − 1)(z² + 2z + 2)
🔹الخطوة 3: التحقّق بالنشر

نتحقّق من التعميل بالنشر: أربعة حدود تتلاشى اثنان منها.

(z − 1)(z² + 2z + 2)=z³ + 2z² + 2z − z² − 2z − 2
🔹الخطوة 4: تجميع الحدود

نجمع الحدود المتشابهة، فنجد كثير الحدود الأصلي.

z³ + 2z² − z² + 2z − 2z − 2=z³ + z² − 2
🔹الخطوة 5: العامل الأوّل

جداء معدوم يعني أنّ أحد عامليه معدوم: هذا يعطي معادلتين.

z − 1 = 0 ⟹ z = 1
🔹الخطوة 6: العامل الثاني

العامل الثاني من الدرجة الثانية بمعاملات حقيقية.

z² + 2z + 2 = 0
🔹الخطوة 7: حلّا العامل الثاني

و هذه هي بالضبط معادلة المثال 2 ، و قد وجدنا حلّيها المترافقين.

z = −1 − i ; z = −1 + i
✅النّتيجة
S = {1 ; −1 − i ; −1 + i}
⭐ عدد الحلول يساوي الدرجة: معادلة من الدرجة الثالثة لها ثلاثة حلول في ℂ ، من الدرجة الرابعة أربعة، و هكذا. ⛔ استعمل هذا كعدّاد: إن وجدت حلّين لمعادلة من الدرجة الثالثة، فأنت لم تنته بعد. و لاحظ أنّ الحلّين المركبين هنا مترافقان، كما تقتضي الفقرة 5 ما دامت المعاملات حقيقية.
⛔ هذا الدرس هو العمود الفقري لتمرين الأعداد المركبة في الباكالوريا، و السيناريو يكاد يكون واحدا كلّ سنة: ① يُعطى كثير حدود بمعاملات حقيقية و يُطلب التحقّق من أنّ عددا معيّنا جذر له ؛ ② يُطلب التعميل، و هنا لا ترتجل: اكتب الشكل المعمَّل ثمّ عيّن معاملاته بالمطابقة أو بالقسمة ؛ ③ يُطلب حلّ المعادلة كاملة، و العلامة تضيع عند من ينسى الجذر الظاهر في مجموعة الحلول ؛ ④ ثمّ تُستعمل الحلول كلواحق نقط في سؤال هندسي. ⭐ و في كلّ الحالات: اذكر صراحة الشرط « المعاملات حقيقية » حين تستعمل خاصّية المرافق، فهو مطلوب في سلّم التصحيح، و تحقّق من كلّ حلّ بالتعويض قبل أن تنتقل إلى الجزء الهندسي — لأنّ خطأ في حلّ واحد يُسقط بقيّة التمرين كلّه.
الخلاصة: في ℂ لم تعد هناك معادلة من الدرجة الثانية بلا حلّ. المميّز هو نفسه، و الدستور هو نفسه؛ الفرق الوحيد أنّه حين يكون المميّز سالبا نكتب جذريه التربيعيين — و هما تخيليّان صرفان — بدل أن نتوقّف. و عندئذ يكون الحلاّن مركبين و مترافقين، لهما الجزء الحقيقي نفسه و جزآن تخيليّان متعاكسان. مجموع الحلّين هو ناقص المعامل الأوسط على الأوّل، و جداؤهما هو الحدّ الثابت على الأوّل، و الثلاثي يتعمّل بدلالتهما. و الخاصّية تمتدّ إلى كلّ كثير حدود ذي معاملات حقيقية: مرافق الجذر جذر. و بها تُحلّ المعادلات من درجات أعلى: جذر ظاهر، ثمّ تعميل، ثمّ مميّز.

الصفحة 1/12

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net