الطويلة و العمدة

كل عدد مركب غير معدوم يُمثَّل بنقطة في المستوي المركب. الكتابة الجبرية تجيب عن السؤال « أين تقع هذه النقطة بالنسبة إلى المحورين؟ »، بينما هذان العددان الجديدان يجيبان عن سؤال آخر: « كم تبعد النقطة عن المبدأ، و في أي اتجاه نراها؟ ». الأول هو الطويلة، و الثاني هو العمدة.

تكبير الصورة

نأخذ عددا مركبا مكتوبا على شكله الجبري، أي مجموع جزء حقيقي و جزء تخيلي. طويلة هذا العدد هي العدد الحقيقي الموجب الذي نحصل عليه بجمع مربعي الجزأين ثم أخذ الجذر التربيعي للمجموع.

الطويلة موجبة دائما لأنها جذر تربيعي لمجموع مربعين، و هي منعدمة في حالة واحدة فقط: عندما ينعدم الجزآن معا، أي عندما يكون العدد المركب نفسه معدوما.

الخواص الآتية هي التي تجعل الطويلة أداة حساب و ليست مجرد تعريف: فهي تسمح بحساب طويلة جداء أو حاصل قسمة أو قوة دون الحاجة إلى نشر العدد المركب و العودة إلى الشكل الجبري.

إذا كانت النقطة صورة العدد المركب في المستوي المركب، فإن المسافة بينها و بين المبدأ تساوي طويلة هذا العدد بالضبط. و من هنا نستنتج طريقة سريعة لحساب المسافة بين نقطتين: نحسب طويلة الفرق بين لاحقتيهما.

في التمارين، نادرا ما يُعطى العدد على شكله الجبري مباشرة: يُعطى غالبا على شكل جداء أو حاصل قسمة أو قوة. الخواص السابقة تسمح بتفكيك الطويلة قطعة قطعة، دون أي نشر.

الطويلة وحدها لا تكفي لتحديد النقطة: كل النقط التي تبعد المسافة نفسها عن المبدأ تقع على دائرة واحدة. ما ينقص هو الاتجاه، و هو ما تسميه العمدة. نشترط أن يكون العدد غير معدوم، لأن المبدأ نفسه لا يحدد أي اتجاه.

هذه الزاوية الموجهة ليست وحيدة: إذا درنا دورة كاملة عدنا إلى نصف المستقيم نفسه. لذلك يملك كل عدد مركب غير معدوم عددا غير منته من العمد، تختلف فيما بينها بمضاعفات الدورة الكاملة، و نكتب ذلك بالترديد.

تكبير الصورة

1. نحسب أولا طويلة العدد، لأنها هي التي سنقسم عليها.
2. نقسم الجزء الحقيقي على الطويلة، فنحصل على تجيب الزاوية المطلوبة.
3. نقسم الجزء التخيلي على الطويلة، فنحصل على جيب الزاوية المطلوبة.
4. نبحث عن الزاوية التي تحقق القيمتين معا: قيمة واحدة لا تكفي أبدا.