الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
توظيف الطويلة و العمدة: العمليات على الشكل المثلثي و مجموعات النقط
الجواب في جملة واحدة: الطويلة و العمدة تحوّلان الضرب إلى جمع. الطويلات تُضرب فيما بينها، و العمد تُجمع، و كلّ منهما يشتغل وحده دون أن يعترض الآخر. هذا الدرس يعطي الخواص، ثم يبرهن عليها، ثم يستعملها في نمطين من الأسئلة: حساب طويلة عبارة معقّدة، و تعيين مجموعة النقط التي تحقّق شرطا على الطويلة.
- استعمال خواص الطويلة في الجداء و القسمة و القوى دون المرور بالشكل الجبري
- استعمال خواص العمدة، و كتابتها دائما بترديد دورة كاملة
- ضرب عددين و قسمتهما مباشرة على الشكل المثلثي
- البرهان على قاعدتي الضرب و القسمة انطلاقا من دساتير الجمع في حساب المثلثات
- ترجمة شرط على الطويلة إلى مجموعة نقط من المستوي، و التعرّف على الدائرة
- طويلة عدد مركب و عمدته، و الشكل المثلثي لعدد مركب غير معدوم
- مرافق عدد مركب، و أنّ جداء عدد في مرافقه عدد حقيقي موجب
- دستورا الجمع في حساب المثلثات: جيب التمام و جيب مجموع زاويتين
- المعادلة الديكارتية لدائرة، و طريقة إتمام المربّع
1. خواص الطويلة: ما الذي تحترمه من العمليات
الطويلة تحترم الضرب و القسمة و القوى احتراما تامّا، و لا تحترم الجمع. هذا هو ملخّص القائمة الآتية، و هو ما ينبغي أن يبقى في ذهنك قبل أي حساب.
طويلة الجداء هي جداء الطويلتين. هذه هي الخاصية التي تفكّك أي عبارة مضروبة.
بشرط أن يكون المقام غير معدوم، و إلّا لم تكن القسمة معرّفة أصلا.
⭐ هي نتيجة مباشرة لخاصية الجداء مطبّقة n مرة. و لاحظ الشرط على n: نكتبه صراحة لأنّ العبارة بدونه غير تامّة، و من أجل أسّ سالب يجب زيادة شرط أن يكون العدد غير معدوم.
المرافق صورته نظيرة صورة العدد بالنسبة إلى محور الفواصل، و التناظر يحفظ المسافات.
نظير العدد صورته نظيرة صورته بالنسبة إلى المبدأ، و بعده عن المبدأ هو نفسه.
⛔ الجمع لا يحترم الطويلة: طويلة المجموع أصغر من أو تساوي مجموع الطويلتين، و لا تساويه إلّا في حالة خاصة. هذه متباينة، لا مساواة، و الخلط بينهما هو الخطأ الأكثر تكرارا في هذا الباب.
⭐ هذه الصيغة هي جسر: كلّما رأيت جداء عبارة في مرافقها، استبدله بمربّع طويلتها. ستراها تعمل في آخر أمثلة هذا الدرس.
2. خواص العمدة: الضرب يصير جمعا
ما تفعله الطويلة بالضرب، تفعله العمدة بالجمع: عمدة الجداء هي مجموع العمدتين. و هذا هو السبب العميق الذي يجعل الشكل المثلثي أنفع من الشكل الجبري في كل ما يتعلّق بالضرب.
العددان غير معدومين، و إلّا لم تكن للعمدة معنى.
القسمة تطرح العمدتين، تماما كما تقسم الطويلتين.
⭐ هي خاصية الجداء مطبّقة n مرة. و هذه الصيغة بالذات هي التي ستفتح دستور موافر في الدرس الموالي.
| العملية | ما يحدث للطويلة | ما يحدث للعمدة |
|---|---|---|
| الضرب | تُضرب الطويلتان | تُجمع العمدتان |
| القسمة | تُقسم الطويلتان | تُطرح العمدتان |
| القوّة النونية | تُرفع الطويلة إلى القوّة نفسها | تُضرب العمدة في الأسّ |
| المرافق | لا تتغيّر | تتبدّل إشارتها |
| الجمع | لا قاعدة: نرجع إلى التعريف | لا قاعدة: نرجع إلى التعريف |
3. البرهان: من أين تأتي هاتان القاعدتان
القاعدتان ليستا اصطلاحا: تُبرهنان في ثلاثة أسطر، شرط أن نتذكّر دستوري الجمع في حساب المثلثات. نبدأ بكتابة العددين على الشكل المثلثي.
لاحظ الإشارة السالبة في الوسط: هي مصدر أخطاء كثيرة، و هي بالضبط ما سيعطي الجزء الحقيقي للجداء.
هنا الإشارة موجبة، و هذا الدستور سيعطي الجزء التخيلي للجداء.
ننشر الجداء كما ننشر أي جداء، ثم نعوّض i² بـ −1: الحدّ الذي يحمله ينتقل إلى الجزء الحقيقي بإشارة معاكسة، و هذا هو سبب الإشارة السالبة في القوس الأول.
القوس الأول هو بالضبط جيب تمام المجموع، و الثاني هو جيب المجموع. و هكذا ظهر الشكل المثلثي لعدد طويلته جداء الطويلتين و عمدته مجموع العمدتين.
و للقسمة نسلك الطريق المعتاد: نضرب البسط و المقام في مرافق المقام. و انتبه إلى أنّ المرافق المستعمل هو مرافق العدد الثاني وحده، فالمقام الناتج لا يحمل إلّا زاويته هو.
⭐ الزاوية في هذا السطر هي زاوية المقام وحدها، لأنّ المرافق الذي ضربنا فيه هو مرافق المقام. و المجموع يساوي 1 مهما كانت الزاوية.
بعد أن صار المقام يساوي 1، يبقى البسط وحده، و دستورا الطرح يعطيان فرق الزاويتين.
العدد المركب المعطى هو جداء عاملين. لا داعي لنشر الجداء: الطويلة تحترم الضرب.
🎯المطلوب: احسب طويلة العدد المركب المعطى دون أن تنشر الجداء.
نفكّك أوّلا بخاصية طويلة الجداء.
ثم نحسب كل طويلة على حدة بالتعريف: جذر مجموع مربّعي الجزأين.
جداء جذرين هو جذر الجداء.
العدد المعطى حاصل قسمة، و الطويلة تحترم القسمة كما تحترم الضرب.
🎯المطلوب: احسب طويلة حاصل القسمة المعطى.
العدد المعطى قوّة رابعة. نشرها بالشكل الجبري يأخذ صفحة، و خاصية الطويلة تختصرها.
🎯المطلوب: احسب طويلة القوّة الرابعة المعطاة.
نرفع إلى القوّة الرابعة على مرحلتين حتى لا نخطئ.
نأخذ عاملين نعرف شكلهما المثلثي، و نضربهما دون أن ننشر شيئا.
🎯المطلوب: اكتب جداء العددين المعطيين على الشكل المثلثي.
نبدأ بالشكل المثلثي لكل عامل. الطويلة أوّلا.
ثم العمدة: نقسم الجزأين على الطويلة فيظهر جيب التمام و الجيب.
الجزءان سالبان معا: الصورة في الربع الثالث، و الزاوية المختارة هنا أربعة أثلاث π.
الآن نطبّق القاعدتين: الطويلتان تُضربان.
و العمدتان تُجمعان. نوحّد المقامين قبل الجمع: 12 هو المضاعف المشترك الأصغر لـ 4 و 3.
و للتحقّق ننشر الجداء بالشكل الجبري، مع تعويض i² بـ −1.
نبقى مع العددين السابقين، و نقسم الأول على الثاني. الشكلان المثلثيان محسوبان في المثال السابق، فلا نعيدهما.
🎯المطلوب: اكتب حاصل قسمة العدد الأول على الثاني على الشكل المثلثي.
الطويلتان تُقسمان: طويلة البسط على طويلة المقام.
و العمدتان تُطرحان، بالمقام الموحّد نفسه.
و بالشكل الجبري، بضرب البسط و المقام في مرافق المقام، نجد الكتابة نفسها.
4. مجموعات النقط: حين يصف شرط على الطويلة شكلا كاملا
إلى هنا كانت الطويلة تعطي عددا. و الآن نقلب السؤال: نفرض شرطا على الطويلة، و نبحث عن كل النقط التي تحقّقه. الجواب لا يكون نقطة، بل مجموعة نقط: مستقيما أو دائرة.
هي الصيغة نفسها التي رأيناها في التفسير الهندسي: طويلة فرق لاحقتين هي المسافة بين النقطتين. هنا الأولى متغيّرة و الثانية ثابتة.
⭐ « بعد M عن A ثابت » هو تعريف الدائرة نفسه. لهذا كل شرط يُكتب على هذا الشكل يعطي دائرة مركزها A و نصف قطرها R، دون أي حساب إضافي.
- نعوّض لاحقة النقطة المتغيّرة بكتابتها الجبرية
- نحسب الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي للعبارة الموجودة داخل الطويلة
- نطبّق تعريف الطويلة، ثم نربّع الطرفين للتخلّص من الجذر
- نقسم على معامل المربّعات إن وُجد، ثم نُتمّ المربّعين
- نقرأ المركز و نصف القطر على الشكل الذي نحصل عليه
المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و M نقطة متغيّرة لاحقتها z تُكتب بجزأين حقيقيين. نضع العدد الحقيقي الموجب المعرّف أدناه.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M من المستوي التي تحقّق الشرط المعطى.
نعوّض، ثم ننشر الجداء داخل الطويلة.
و هنا نعوّض i² بـ −1، فينتقل الحدّ الأخير إلى الجزء الحقيقي بإشارة موجبة.
نطرح 2i، فيتغيّر الجزء التخيلي وحده.
نطبّق تعريف الطويلة.
ننشر المربّعين. لاحظ أنّ حدّي المستطيل يتقابلان: 2xy موجب في الأول و سالب في الثاني.
الطرفان موجبان، فالتربيع تكافؤ.
نطرح 4 من الطرفين، ثم نقسم على 2: هذه الخطوة هي التي تجعل معامل المربّعات يساوي 1.
نُتمّ المربّع في x: نضيف 1 و نطرحه. و كذلك في y.
نصف القطر هو جذر الطرف الأيمن.
نفس النمط، لكن الشرط مكتوب هذه المرة بجداء عبارة في مرافقها. النقطة A لاحقتها ثابتة، و M نقطة متغيّرة لاحقتها z.
🎯المطلوب: تحقّق أنّ مبدأ المعلم ينتمي إلى المجموعة، ثم عيّن هذه المجموعة.
نستعمل الجسر الذي رأيناه في أول الدرس: جداء عدد في مرافقه هو مربّع طويلته.
الطويلة موجبة، فالجذر التربيعي للطرفين مسموح دون مناقشة.
و طويلة الفرق هي المسافة بين النقطتين.
نتحقّق الآن من المبدأ: نعوّض z بـ 0.
الصفحة 1/12
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net