الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

دستور موافر

🔊 المعلّمة تقرأ لك

المطلوب حساب القوّة السادسة للعدد ⁦√3 + i⁩. بالنشر تحتاج إلى سبعة حدود، و في كل حدّ قوّة من i تحتاج بدورها إلى مناقشة، ثم تجمع الحدود المتشابهة و تأمل ألّا تكون قد أخطأت. و مع ذلك فالنتيجة عدد بسيط جدّا: عدد حقيقي. فهل توجد طريقة ترفع عددا مركّبا إلى قوّة نونية في سطرين، مهما كان الأسّ كبيرا؟

الجواب في جملة واحدة: ارفع الطويلة إلى الأسّ، و اضرب العمدة في الأسّ. هذا كلّ الدستور، و هو يحمل اسم عالم من القرن الثامن عشر. هذا الدرس يعطي الدستور، ثم يبرهن عليه بالتراجع، ثم يستعمله في نمطين: حساب قوّة عددية، و اشتقاق دساتير حساب المثلثات للزوايا المضاعفة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

كتابة دستور موافر بالشكل المثلثي و بالشكل الأسي، مع شرطه على الأسّ
البرهان على الدستور بالاستدلال بالتراجع انطلاقا من قاعدة جداء عددين
رفع عدد مركّب إلى قوّة نونية دون أي نشر جبري
استعمال الدستور لإيجاد دساتير حساب المثلثات للزوايا المضاعفة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الشكل المثلثي لعدد مركب غير معدوم، و الشكل الأسي
قاعدة جداء عددين على الشكل المثلثي: الطويلتان تُضربان و العمدتان تُجمعان
مبدأ الاستدلال بالتراجع: التحقّق، ثم الفرض، ثم الانتقال
قيم جيب التمام و الجيب عند الزوايا المألوفة

1. أبراهام دي موافر، و الدستور الذي حمل اسمه

أبراهام دي موافر عالم رياضيات وُلد سنة 1667 و توفّي سنة 1754، و كان من أصدقاء إسحاق نيوتن. أضاف إضافات هامّة في حساب المثلثات و في حساب الاحتمالات، و نشر مساهماته في الاحتمال ضمن كتاب في المصادفة. و ثلاث نظريات رياضية تحمل اسمه إلى اليوم، من بينها الدستور الذي يشتغل عليه هذا الدرس.

⭐ لاحظ أنّ الرجل اشتغل على حساب المثلثات. و ليس هذا صدفة: دستوره هو بالضبط الجسر بين الأعداد المركبة و حساب المثلثات، و سنعبره في المثالين الأخيرين من هذا الدرس حين نستخرج منه دساتير الزوايا المضاعفة.

2. الدستور، في ثلاث كتابات

نبدأ بالحالة الأبسط: عدد طويلته تساوي 1. صورته على دائرة الوحدة، و كل ما يميّزه هو عمدته.

دستور موافر

⭐ اقرأ الطرفين جيّدا: الأسّ في الطرف الأيسر يصير معاملا للزاوية في الطرف الأيمن. الرفع إلى قوّة صار ضربا بسيطا في الزاوية.

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(n θ) + i sin(n θ)

θعمدة العدد، عدد حقيقيnعدد طبيعي غير معدوم

الدستور بالترميز الأسي

هي الكتابة نفسها، مختصرة: الترميز الأسي يجعل الدستور يبدو كقاعدة قوى معروفة، و هذا هو سبب اختيار هذا الترميز أصلا.

(e^iθ)ⁿ = e^{i n θ}

و العدد الذي طويلته ليست 1 لا يخرج عن القاعدة: نُخرج طويلته من القوس أوّلا، فترتفع هي أيضا إلى الأسّ نفسه، ثم نطبّق الدستور على ما بقي.

قوّة عدد مركّب غير معدوم

⭐ هذه هي الصيغة التي تستعملها فعليا في التمارين: الطويلة تُرفع إلى الأسّ، و العمدة تُضرب في الأسّ. سطر واحد يغني عن نشر كامل.

zⁿ = rⁿ(cos(n θ) + i sin(n θ))

rطويلة العدد zθعمدة للعدد z

⛔ خطآن يقعان هنا بالذات. ① لا تكتب أبدا أنّ الطرف الأيمن هو جيب تمام مرفوع إلى القوّة النونية: الأسّ ينتقل إلى داخل الزاوية، لا فوق جيب التمام. ② الدستور مكتوب هنا من أجل عدد طبيعي غير معدوم؛ من أجل أسّ سالب يجب أوّلا أن يكون العدد غير معدوم، لأنّك تقسم عليه.

3. البرهان بالاستدلال بالتراجع

الدستور ليس قاعدة نحفظها، بل نتيجة تُبرهن في أربعة أسطر. و البرهان لا يستعمل شيئا جديدا: قاعدة جداء عددين على الشكل المثلثي وحدها تكفي، مطبّقة مرّة واحدة في كل مرحلة.

🔹المرحلة 1: التحقّق من أجل الأسّ 1

الطرفان متطابقان حرفيا، فالخاصية صحيحة عند الرتبة الأولى. لا شيء يُحسب هنا.

(cos θ + i sin θ)¹ = cos(1 θ) + i sin(1 θ)

🔹المرحلة 2: الفرض عند الرتبة n

نفرض الخاصية صحيحة عند رتبة n مّا، و هذا هو فرض التراجع. لا نبرهن عليه، بل ننطلق منه.

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(n θ) + i sin(n θ)

🔹المرحلة 3: تفكيك القوّة الموالية

قاعدة القوى: القوّة الموالية هي القوّة الحالية مضروبة في الأساس مرّة واحدة.

(cos θ + i sin θ)ⁿ⁺¹=(cos θ + i sin θ)ⁿ × (cos θ + i sin θ)

🔹المرحلة 4: تعويض فرض التراجع

نعوّض العامل الأول بما يعطيه الفرض. صار عندنا جداء عددين طويلة كلّ منهما 1.

(cos θ + i sin θ)ⁿ⁺¹ = (cos(n θ) + i sin(n θ))(cos θ + i sin θ)

🔹المرحلة 5: تطبيق قاعدة الجداء

⭐ هنا وحدها يشتغل الدرس السابق: عمدة الجداء هي مجموع العمدتين، و الطويلتان تساويان 1 فطويلة الجداء تساوي 1 أيضا.

(cos θ + i sin θ)ⁿ⁺¹=cos(n θ + θ) + i sin(n θ + θ)

🔹المرحلة 6: التعميل في الزاوية

نعمّل θ في الزاوية: مجموع n مرّة و مرّة واحدة هو n زائد واحد مرّة. و هذه هي الخاصية نفسها عند الرتبة الموالية، فينتهي البرهان.

(cos θ + i sin θ)ⁿ⁺¹=cos((n+1)θ) + i sin((n+1)θ)

إذن الخاصية صحيحة عند الرتبة 1، و انتقالها من رتبة إلى التي تليها مضمون: فهي صحيحة من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم. و لاحظ أنّ البرهان لم يستعمل إلّا قاعدة الجداء — الدستور ليس قانونا جديدا، بل هو قاعدة الجداء مكرّرة n مرّة.

4. الطريقة، في أربع خطوات

اكتب الأساس على شكله المثلثي: احسب طويلته، ثم عيّن عمدته من جيب تمامها و جيبها
ارفع الطويلة إلى الأسّ المطلوب
اضرب العمدة في الأسّ نفسه، ثم أرجع الزاوية إلى مجالها إن شئت بطرح دورات كاملة
أرجع إلى الشكل الجبري إن طلب منك ذلك: عوّض جيب تمام الزاوية النهائية و جيبها

⭐ تحقّق مجّاني و فوري: قارن الطويلتين. طويلة النتيجة يجب أن تساوي طويلة الأساس مرفوعة إلى الأسّ. إن رفعت عددا طويلته 2 إلى القوّة السادسة، فطويلة الجواب 64 حتما. إن لم تجدها، فالخطأ في الطويلة لا في الزاوية، و العكس بالعكس.

مثال 1: قوّة ثامنة في سطرين

الأساس عدد بسيط، لكنّ الأسّ يجعل النشر الجبري مستحيلا عمليا.

🎯المطلوب: احسب القوّة الثامنة للعدد المعطى، و أعط النتيجة على الشكل الجبري.

📌المعطى

z = (1 − i)⁸

🔹الخطوة 1: طويلة الأساس

نبدأ بالشكل المثلثي للأساس: الطويلة أوّلا.

|1 − i|=√(1² + (−1)²)=√(1 + 1)=√2

🔹الخطوة 2: عمدة الأساس

ثم العمدة: نقسم الجزأين على الطويلة. الجزء الحقيقي موجب و التخيلي سالب، فالصورة في الربع الرابع.

cos θ = 1√2 = √22 ; sin θ = −√22 ⟹ θ ≡ −π4 [2π]

🔹الخطوة 3: الشكل المثلثي للأساس

1 − i=√2(cos(−π4) + i sin(−π4))

🔹الخطوة 4: طويلة النتيجة

نطبّق الدستور: الطويلة ترتفع إلى القوّة الثامنة.

(√2)⁸=(2¹²)⁸=2⁴=16

🔹الخطوة 5: عمدة النتيجة

و العمدة تُضرب في 8.

8 × (−π4)=−8π4=−2π

🔹الخطوة 6: الشكل المثلثي للنتيجة

z = 16(cos(−2π) + i sin(−2π))

🔹الخطوة 7: تعويض القيمتين

ناقص دورتين كاملتين يعيدنا إلى نقطة الانطلاق: جيب التمام يساوي 1 و الجيب يساوي 0.

cos(−2π) = 1 ; sin(−2π) = 0

✅النّتيجة

z = 16

⭐ الجواب عدد حقيقي، و هذا هو مغزى التمرين: حين تكون العمدة النهائية مضاعفا لدورة كاملة، تسقط النقطة على محور الفواصل. لا تترك جوابك مكتوبا بجيب تمام دورتين و جيبهما: أنهِ الحساب.

مثال 2: القوّة السادسة التي فتحت الدرس

نعود إلى السؤال الذي طُرح في المقدّمة.

🎯المطلوب: احسب القوّة السادسة للعدد المعطى، و أعط النتيجة على الشكل الجبري.

📌المعطى

z = (√3 + i)⁶

🔹الخطوة 1: طويلة الأساس

|√3 + i|=√((√3)² + 1²)=√(3 + 1)=√4=2

🔹الخطوة 2: عمدة الأساس

الجزءان موجبان: الصورة في الربع الأول، و القيمتان تدلّان على سدس π.

cos θ = √32 ; sin θ = 12 ⟹ θ ≡ π6 [2π]

🔹الخطوة 3: الشكل المثلثي للأساس

√3 + i=2(cos(π6) + i sin(π6))

🔹الخطوة 4: طويلة النتيجة

2⁶ = 64

🔹الخطوة 5: عمدة النتيجة

6 × (π6)=6π6=π

🔹الخطوة 6: الشكل المثلثي للنتيجة

z = 64(cos π + i sin π)

🔹الخطوة 7: تعويض القيمتين

عند π تكون الصورة على النصف السالب من محور الفواصل.

cos π = −1 ; sin π = 0

✅النّتيجة

z = −64

قارن مع النشر الجبري: سبعة حدود، و ستّ قوى للوحدة التخيلية، و جمع حدود متشابهة. هنا سبعة أسطر قصيرة لا خطأ فيها. هذا هو الفرق الذي يصنعه الشكل المثلثي.

مثال 3: مكعّب، مع تحقّق بالنشر

الأسّ صغير هذه المرّة، فيمكن التحقّق من الجواب بالنشر الجبري. نستعمل ذلك للتأكّد من أنّ الدستور يعطي فعلا ما يعطيه الحساب المباشر.

🎯المطلوب: احسب مكعّب العدد المعطى بالدستور، ثم تحقّق من النتيجة بالنشر الجبري.

📌المعطى

z = (−1 − i√3)³

🔹الخطوة 1: طويلة الأساس

|−1 − i√3|=√((−1)² + (−√3)²)=√(1 + 3)=√4=2

🔹الخطوة 2: عمدة الأساس

الجزءان سالبان: الصورة في الربع الثالث.

cos θ = −12 ; sin θ = −√32 ⟹ θ ≡ 4π3 [2π]

🔹الخطوة 3: طويلة النتيجة

2³ = 8

🔹الخطوة 4: عمدة النتيجة

3 × (4π3)=12π3=4π

🔹الخطوة 5: تعويض القيمتين

أربعة π هي دورتان كاملتان: نعود إلى الزاوية المعدومة.

cos(4π) = 1 ; sin(4π) = 0

✅النّتيجة: بالدستور

z = 8

🔹الخطوة 6: المربّع

نتحقّق بالنشر. نبدأ بالمربّع، مع تعويض i² بـ ⁦−1⁩.

(−1 − i√3)²=1 + 2i√3 + i²×3=1 + 2i√3 − 3=−2 + 2i√3

🔹الخطوة 7: الضرب في الأساس

ثم نضرب في الأساس مرّة أخرى، دائما مع تعويض i².

(−2 + 2i√3)(−1 − i√3)=2 + 2i√3 − 2i√3 − 2i²×3

🔹الخطوة 8: تبسيط

2 + 6 = 8

✅النّتيجة: بالنشر

z = 8

الطريقان يعطيان العدد نفسه، و هذا هو أفضل تحقّق ممكن. اعتد أن تتحقّق بالنشر كلّما كان الأسّ صغيرا: دقيقة واحدة تشتري لك يقينا كاملا.

مثال 4: من الدستور إلى دستوري الزاوية المضاعفة

نغيّر وجهة الاستعمال: بدل أن نحسب عددا، نستعمل الدستور لاستخراج علاقات في حساب المثلثات. الفكرة واحدة: نحسب الطرف الأيسر بالنشر، و الأيمن بالدستور، ثم نطابق.

🎯المطلوب: برهن على دستوري جيب تمام الزاوية المضاعفة و جيبها انطلاقا من دستور موافر.

📌المعطى

(cos θ + i sin θ)²

🔹الخطوة 1: النشر

نحسب الطرف بالنشر أوّلا: مربّع مجموع.

(cos θ + i sin θ)² = cos²θ + 2i cos θ sin θ + i² sin²θ

🔹الخطوة 2: تعويض مربّع الوحدة التخيلية

نعوّض i² بـ ⁦−1⁩، فينتقل الحدّ الأخير إلى الجزء الحقيقي بإشارة سالبة.

= (cos²θ − sin²θ) + i(2 sin θ cos θ)

🔹الخطوة 3: بالدستور

و الآن نحسب الطرف نفسه بالدستور.

(cos θ + i sin θ)² = cos(2θ) + i sin(2θ)

✅النّتيجة: جيب تمام الزاوية المضاعفة

العددان متساويان، فجزآهما الحقيقيان متساويان و جزآهما التخيليان متساويان.

cos(2θ) = cos²θ − sin²θ

✅النّتيجة: جيب الزاوية المضاعفة

sin(2θ) = 2 sin θ cos θ

⭐ تذكّر المبدأ: تساوي عددين مركّبين يعطي مساواتين حقيقيتين، واحدة على الجزء الحقيقي و واحدة على الجزء التخيلي. هذه هي الآلة التي تنتج دساتير حساب المثلثات كلّها انطلاقا من دستور موافر.

مثال 5: دستورا الزاوية الثلاثية

الطريقة نفسها، لكن بأسّ 3. النشر يستعمل مطابقة مكعّب المجموع.

🎯المطلوب: استنتج دستوري جيب تمام ثلاثة أمثال الزاوية و جيبها بالطريقة نفسها.

📌المعطى

(cos θ + i sin θ)³

🔹الخطوة 1: النشر

ننشر مكعّب المجموع: أربعة حدود، بمعاملات 1 و 3 و 3 و 1.

=cos³θ + 3cos²θ(i sin θ) + 3cos θ(i sin θ)² + (i sin θ)³

🔹الخطوة 2: قوى الوحدة التخيلية

نحسب قوى الوحدة التخيلية: مربّعها ناقص واحد، و مكعّبها ناقص الوحدة التخيلية.

i² = −1 ; i³ = −i

🔹الخطوة 3: بعد التعويض

نعوّض، فيتغيّر الحدّ الثالث و الرابع إشارة.

=cos³θ + 3i cos²θ sin θ − 3cos θ sin²θ − i sin³θ

🔹الخطوة 4: الترتيب

نرتّب: الحدود بلا i في الجزء الحقيقي، و الحدود التي تحمل i في الجزء التخيلي.

=(cos³θ − 3cos θ sin²θ) + i(3cos²θ sin θ − sin³θ)

🔹الخطوة 5: بالدستور

(cos θ + i sin θ)³ = cos(3θ) + i sin(3θ)

✅النّتيجة: جيب تمام الزاوية الثلاثية

cos(3θ) = cos³θ − 3cos θ sin²θ

✅النّتيجة: جيب الزاوية الثلاثية

sin(3θ) = 3cos²θ sin θ − sin³θ

يمكنك تبسيط الدستورين أكثر: في الأوّل عوّض مربّع الجيب بواحد ناقص مربّع جيب التمام، فيبقى جيب التمام وحده؛ و في الثاني عوّض مربّع جيب التمام بواحد ناقص مربّع الجيب، فيبقى الجيب وحده. جرّب: هي التمرين الطبيعي الذي يلي هذا المثال.

ست نقط في المستوي المركب تمثّل القوى المتتالية لعدد طويلته 2 و عمدته سدس π: في كل خطوة تتضاعف الطويلة و تزيد العمدة بالمقدار نفسه، حتى تسقط النقطة السادسة على محور الفواصل السالب. — الرفع إلى قوّة هو دوران متكرّر بالزاوية نفسها، مع تكبير متكرّر بالنسبة نفسها.

⛔ الفخّ الأخير، و هو فخّ لغوي أكثر منه حسابيا: الدستور يقول إنّ الأسّ يضرب الزاوية، لا أنّه يُطبَّق على جيب التمام و الجيب. ثلاثة أمثال الزاوية ليست ثلاثة أمثال جيب تمامها، و المثال الأخير يُظهر الفرق بوضوح: العلاقة بينهما ليست ضربا في 3، بل عبارة بثلاثة حدود.

دستور موافر يظهر في البكالوريا في ثلاثة مواضع: حساب قوّة نونية، البحث عن الأعداد التي تحقّق معادلة من الشكل قوّة نونية تساوي عددا معلوما، و استخراج دساتير حساب المثلثات. في الحالات الثلاث ابدأ دائما بكتابة الأساس على الشكل المثلثي — و لا تنس الترديد في العمدة: هو الذي يعطي كل الحلول بدل حلّ واحد.

الخلاصة: الطويلة تُرفع إلى الأسّ، و العمدة تُضرب في الأسّ. هذا هو دستور موافر، و برهانه ليس إلّا قاعدة جداء عددين مكرّرة بالاستدلال بالتراجع. يُستعمل في اتّجاهين: من المركّب إلى العدد، لحساب قوّة في سطرين؛ و من المركّب إلى حساب المثلثات، لاستخراج دساتير الزوايا المضاعفة بمطابقة الجزأين الحقيقي و التخيلي.

الصفحة 1/10

📍 خلال السنة

🟦 ف1 · 🟩 ف2 · 🟪 ف3 · 📝 امتحانات الأسابيع 14/27/36 · 🎓 بكالوريا

📌 لتتذكّر

الخلاصة: الطويلة تُرفع إلى الأسّ، و العمدة تُضرب في الأسّ. هذا هو دستور موافر، و برهانه ليس إلّا قاعدة جداء عددين مكرّرة بالاستدلال بالتراجع. يُستعمل في اتّجاهين: من المركّب إلى العدد، لحساب قوّة في سطرين؛ و من المركّب إلى حساب المثلثات، لاستخراج دساتير الزوايا المضاعفة بمطابقة الجزأين الحقيقي و التخيلي.

دستور موافر

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(n θ) + i sin(n θ)

θعمدة العدد، عدد حقيقيnعدد طبيعي غير معدوم

الدستور بالترميز الأسي

(e^iθ)ⁿ = e^{i n θ}

قوّة عدد مركّب غير معدوم

zⁿ = rⁿ(cos(n θ) + i sin(n θ))

rطويلة العدد zθعمدة للعدد z