الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التحويلات النقطية المألوفة: الانسحاب، التحاكي و الدوران
الجواب في جملة واحدة: كلّ واحد من هذه التحويلات الثلاثة يُعرَّف بعنصر واحد يميّزه — شعاع للانسحاب، مركز و نسبة للتحاكي، مركز و زاوية للدوران. و لكلّ واحد منها خاصية مميّزة تربط ثنائية النقط بصورتها، و هي المفتاح الذي نتعرّف به على التحويل حين لا يُعطى لنا اسمه. هذا الدرس يجمع الثلاثة في مكان واحد، ثمّ يعلّمك القراءة العكسية: من العبارة في معلم إلى اسم التحويل و عناصره.
- تعريف الانسحاب و التحاكي و الدوران، و معرفة العنصر المميّز لكلّ واحد منها
- استعمال الخاصية المميّزة لكلّ تحويل للانتقال من ثنائية نقط إلى صورتها
- التعرّف على انسحاب و تعيين شعاعه انطلاقا من عبارته في معلم
- تعيين مركز تحاكٍ و نسبته انطلاقا من عبارته في معلم
- التعرّف على دوران و تعيين زاويته، مع تحديد اتجاه هذه الزاوية
- الشعاع و تساوي شعاعين، و إحداثيات شعاع في معلم متعامد و متجانس
- الزاوية الموجهة لشعاعين، و أنّ الزوايا الموجهة تُحسب بترديد 2π
- المسافة بين نقطتين و الجداء السلّمي لشعاعين بالإحداثيات
- أنّ التحويل النقطي تقابل من المستوي نحو المستوي
1. الانسحاب: شعاع واحد يكفي
الانسحاب هو أبسط التحويلات الثلاثة: تعطيه شعاعا واحدا، فيدفع كلّ نقطة من المستوي بهذا الشعاع نفسه، لا أكثر و لا أقلّ.
اقرأ المساواة على أنّها أمر: انطلق من M، و ارسم شعاعا يساوي u، فتصل إلى M′. و لأنّ الشعاع نفسه يُستعمل لكلّ نقاط المستوي، فالمستوي كلّه ينتقل دفعة واحدة.
و أهمّ ما في الانسحاب أنّه يحفظ الأشكال و الأبعاد و الاتجاهات جميعا: صورة قطعة مستقيم قطعة مستقيم توازيها و تساويها طولا، و صورة زاوية زاوية تساويها. لهذا يقال إنّ الانسحاب تقايس، أي تحويل يحفظ المسافات.
هذه هي العلامة التي نتعرّف بها على انسحاب: إذا كانت صورة كلّ ثنائية نقط (A ; B) ثنائية (A′ ; B′) يبقى فيها الشعاع نفسه، فالتحويل انسحاب. لاحظ أنّ الشعاع u لا يظهر في هذه المساواة: هو الفرق MM' و ليس الفرق AB.
- الانسحاب تحويل تقابلي، و تحويله العكسي هو الانسحاب الذي شعاعه −u.
- إذا كان الشعاع u غير معدوم فليس للانسحاب أيّة نقطة صامدة: كلّ نقطة تتحرّك.
- إذا كان الشعاع u معدوما فكلّ نقطة صامدة، و التحويل هو التحويل المطابق.
2. التحاكي: مركز و نسبة
التحاكي يحتاج معطيين: نقطة ثابتة نسمّيها المركز، و عددا حقيقيا نسمّيه النسبة. المركز هو الوحيد الذي لا يتحرّك، و النسبة هي معامل التكبير أو التصغير.
النقطة M′ على المستقيم المارّ بـ Ω و M، و بعدها عن Ω يساوي بعد M مضروبا في k. و إشارة k هي التي تقرّر الجهة: إذا كانت موجبة بقيت M′ في جهة M، و إذا كانت سالبة انتقلت إلى الجهة المقابلة من Ω.
- إذا اختلفت M عن Ω اختلفت صورتها M′ عن Ω، و النقط Ω و M و M′ على استقامة واحدة.
- التحاكي تحويل تقابلي، و تحويله العكسي هو التحاكي الذي مركزه Ω نفسه و نسبته 1/k.
- المركز Ω هو النقطة الصامدة الوحيدة كلّما كانت النسبة تخالف 1.
هنا تظهر النسبة k في المساواة نفسها، بخلاف الانسحاب. و منها نستنتج مباشرة العلاقة بين الطولين: كلّ الأطوال تُضرب في القيمة المطلقة للنسبة.
نأخذ الطويلة في الطرفين: طول الصورة يساوي الطول الأصلي مضروبا في |k|، و ليس في k، لأنّ الطول عدد موجب.
3. الدوران: مركز و زاوية
الدوران أيضا يحتاج معطيين: مركزا و زاوية. المركز يبقى في مكانه، و كلّ نقطة أخرى تدور حوله على دائرة، فتحتفظ ببعدها عنه و تتغيّر جهتها بالزاوية المعطاة.
النقطة M′ تنتمي إلى الدائرة التي مركزها Ω و نصف قطرها ΩM: هذا الشرط وحده لا يكفي لتعيينها، فالدائرة تحمل عددا غير منته من النقط.
الشرط الثاني هو الذي يعيّن M′ على تلك الدائرة تعيينا وحيدا. و لأنّ الزاوية موجهة، فإنّ إشارتها تحمل الاتجاه: موجبة يعني عكس اتجاه عقارب الساعة.
و المركز Ω نفسه له حكم خاصّ: الدوران يرفقه بنفسه، مهما كانت الزاوية.
- الدوران تحويل تقابلي، و تحويله العكسي هو الدوران الذي مركزه Ω نفسه و زاويته −θ.
- إذا كانت الزاوية غير معدومة بترديد 2π فإنّ للدوران نقطة صامدة وحيدة هي المركز Ω.
- إذا كانت الزاوية معدومة بترديد 2π فالدوران هو التحويل المطابق: كلّ نقطة صامدة.
الدوران يحفظ المسافات: فهو إذن تقايس، تماما كالانسحاب و بخلاف التحاكي العامّ.
و هذه هي علامته المميّزة: كلّ شعاع يدور بالزاوية θ نفسها. لاحظ الفرق مع التعريف: هناك كانت الزاوية بين ΩM و ΩM′، و هنا بين شعاع و صورته، دون أن يتدخّل المركز.
| التحويل | العنصر المميّز | الخاصية المميّزة | النقطة الصامدة |
|---|---|---|---|
| الانسحاب | شعاع | A'B' = AB | لا توجد |
| التحاكي | مركز و نسبة | A'B' = k AB | المركز |
| الدوران | مركز و زاوية | (AB ; A'B') = θ | المركز |
و الآن إلى القراءة العكسية، و هي المطلوب في الامتحان: يُعطى لك تحويل بعبارته في معلم متعامد و متجانس، و يُطلب منك اسمه و عناصره. الطريقة واحدة في الحالات الثلاث: احسب ما تقوله الخاصية المميّزة، ثمّ اقرأ الجواب.
المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. التحويل النقطي f يرفق بكلّ نقطة M(x ; y) النقطة M'(x' ; y').
🎯المطلوب: أثبت أنّ التحويل f انسحاب، ثمّ عيّن شعاعه.
للتعرّف على انسحاب نحسب إحداثيَّي الشعاع MM'، فهو ما يجب أن يكون ثابتا.
نعوّض بعبارتَي x' و y'.
و نفعل الشيء نفسه مع الترتيبة.
العددان −1 و 2 لا يتعلّقان لا بـ x و لا بـ y: الشعاع MM' هو نفسه لكلّ نقطة M.
المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. التحويل النقطي g يرفق بكلّ نقطة M(x ; y) النقطة M'(x' ; y').
🎯المطلوب: أثبت أنّ التحويل g تحاكٍ، ثمّ عيّن مركزه و نسبته.
للتحاكي مركز، و المركز نقطة صامدة: نبحث عنه أوّلا بكتابة أنّ الصورة هي النقطة نفسها.
ننقل الحدّ الذي فيه x إلى الطرف الأيسر.
نضرب الطرفين في 2/3.
نعيد الحساب نفسه على الترتيبة.
النقطة الصامدة وحيدة، و هي المرشّح الوحيد ليكون مركزا.
بقي أن نتحقّق من الخاصية المميّزة. نطرح فاصلة المركز من الطرفين، أي نضيف 8/3.
نحسب العدد −4 + 8/3 = −4/3.
نعامل −1/2: لأنّ (−1/2) × (8/3) = −4/3، فالحدّ الثابت هو بالضبط ما نحتاجه.
نعيد الخطوتين على الترتيبة: 1 − 2/3 = 1/3، و (−1/2) × (−2/3) = 1/3.
المساواتان تقولان الشيء نفسه على الشعاعين ΩM و ΩM′.
نتحقّق عدديا قبل أن نسلّم: نأخذ نقطة فاصلتها معدومة و نقارن الطرفين.
و الطرف الأيمن عند القيمة نفسها.
نعود إلى التحاكي g من المثال السابق: مركزه Ω(−8/3 ; 2/3) و نسبته −1/2.
🎯المطلوب: عيّن التحويل العكسي للتحاكي g، ثمّ تحقّق من جوابك بالحساب.
الخاصية تقول إنّ التحويل العكسي تحاكٍ له المركز نفسه، و نسبته مقلوب النسبة.
نعوّض بـ k = −1/2 و نحسب المقلوب.
نكتب عبارة التحاكي الجديد من خاصيته المميّزة، بالمركز نفسه.
ننشر: −2x − 16/3 − 8/3 = −2x − 8.
و بالمثل على الترتيبة: −2y + 4/3 + 2/3 = −2y + 2.
نتحقّق بتركيب التحويلين: ننطلق من صورة x بالتحويل g و نطبّق عليها التحويل الجديد.
المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. التحويل النقطي h يرفق بكلّ نقطة M(x ; y) النقطة M'(x' ; y').
🎯المطلوب: بيّن أنّ OM' = OM و أنّ الشعاعين OM و OM' متعامدان، ثمّ حدّد طبيعة التحويل h.
نبدأ بالمسافة إلى المبدأ. و ننتبه: ما يُحسب بالإحداثيات هو مربّع الطول، لا الطول.
نعوّض x' = −y و y' = x في المربّع نفسه.
و (−y)² = y²، فنجد المجموع نفسه بترتيب مختلف.
مربّعان متساويان لعددين موجبين يعطيان عددين متساويين.
ننتقل إلى الزاوية: نحسب الجداء السلّمي للشعاعين OM و OM'.
جداء سلّمي معدوم لشعاعين غير معدومين يعني التعامد، أي زاوية قدرها π/2 قيمة مطلقة.
⚖️ هنا خطوة لا يجوز القفز عليها: التعامد يترك احتمالين، π/2 و −π/2. نفصل بينهما بحالة واحدة: نأخذ M على محور الفواصل و ننظر أين تقع صورتها.
الصورة على محور التراتيب في الجهة الموجبة: الدوران في الاتجاه الموجب.
و المركز هو النقطة الصامدة الوحيدة: x = −y و y = x يعطيان x = y = 0.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net