مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

التحليل القانوني لتشابه مباشر و توظيفه

🔊 المعلّمة تقرأ لك
تشابه مباشر يُعطى لك بسطر واحد: كتابته المركبة، و فيها عددان لا غير. و مع ذلك هذا السطر يخفي حركتين بسيطتين تُنجَزان الواحدة إثر الأخرى حول نقطة واحدة لا تتحرّك: دوران يغيّر الاتجاه، ثمّ تكبير أو تصغير يغيّر البعد. فكيف نستخرج من هذين العددين النقطة الثابتة، و زاوية الدوران، و نسبة التكبير؟

الجواب في جملة واحدة: المعامل يحمل الشكل، و الحدّ الثابت يحمل الموضع. طويلة المعامل هي النسبة، و عمدته هي الزاوية؛ أمّا الحدّ الثابت فلا يظهر في الشكل أبدا، بل يظهر وحده في موضع المركز. و لهذا يكفي حساب طويلة و عمدة، ثمّ حلّ معادلة واحدة، لنعرف كلّ شيء عن التشابه المباشر.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعيين نسبة تشابه مباشر و زاويته انطلاقا من معامل كتابته المركبة
  • تعيين لاحقة مركز تشابه مباشر بحلّ معادلة النقطة الصامدة
  • كتابة التحليل القانوني لتشابه مباشر و التمييز بين حالتيه
  • تعيين طبيعة مركّب تشابهين مباشرين: النسبة جداء، و الزاوية مجموع
  • تعيين تشابه مباشر من شرطين مفروضين عليه، ثم استخراج عناصره المميزة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • طويلة عدد مركب و عمدته، و أنّ طويلة الجداء تساوي جداء الطويلتين
  • أنّ لكلّ تشابه مباشر كتابة مركبة على الشكل الخطّي، بمعامل غير معدوم
  • الكتابات المركبة للانسحاب و التحاكي و الدوران
  • حلّ معادلة من الدرجة الأولى في مجموعة الأعداد المركبة

1. من الكتابة المركبة إلى العناصر المميزة

ننطلق من تشابه مباشر كتابته المركبة معطاة. المعامل عدد مركب غير معدوم، و الحدّ الثابت عدد مركب كيفي. العنصران الأوّلان يُقرآن مباشرة من المعامل، دون أيّ حساب إضافي.

📌المعطى: الكتابة المركبة لتشابه مباشر
z' = a·z + b
aمعامل التشابه، عدد مركب غير معدومbالحدّ الثابت، عدد مركب كيفيz'لاحقة صورة النقطة التي لاحقتها z
نسبة التشابه

لأنّ الفرق بين لاحقتي صورتين يساوي المعامل مضروبا في فرق اللاحقتين، فالمسافات كلّها تُضرب في طويلة المعامل.

k = |a|
زاوية التشابه

عمدة الجداء هي مجموع العمدتين، فالشعاع المرفق بالفرق يدور بعمدة المعامل مهما كانت النقطتان المختارتان.

θ = arg(a)

يبقى المركز. المركز نقطة صامدة: صورتها هي هي. فنكتب أنّ اللاحقة لا تتغيّر، و نحلّ. و الحلّ يمرّ بثلاث خطوات، لا نقفز فوق أيّ واحدة منها.

🔹الخطوة 1: معادلة النقطة الصامدة
z = a·z + b
🔹الخطوة 2: نجمع حدود المجهول في طرف واحد
z − a·z = b
🔹الخطوة 3: نعمل بالعامل المشترك
z·(1 − a) = b
✅النّتيجة: لاحقة المركز
w = b1 − a
انتبه إلى الشرط الصحيح: القسمة ممكنة لمّا يكون المعامل مخالفا للواحد، و ليس لمّا تكون النسبة مخالفة للواحد. الفرق ليس شكليا: الدوران نسبته تساوي 1 تماما، و مع ذلك له مركز وحيد. لو اشترطنا نسبة مخالفة للواحد لأخرجنا كلّ الدورانات من القاعدة.
مثال الشرط: دوران نسبته تساوي 1
z' = i·z + 1
طويلة معامله
|i| = 1
✅النّتيجة: مركزه رغم أنّ نسبته 1
w=11 − i=1 + i2
الحالة الوحيدة التي لا مركز فيها هي الحالة التي يساوي فيها المعامل الواحد: عندئذ تصبح الكتابة المركبة إضافة عدد ثابت لا غير، و التحويل انسحاب. الانسحاب — إذا كان شعاعه غير معدوم — لا يترك أيّ نقطة صامدة.

2. التحليل القانوني: دوران ثمّ تحاكٍ، لهما المركز نفسه

الآن نجيب عن السؤال الذي فُتح به الدرس. متى كان المعامل مخالفا للواحد، فللتشابه المباشر مركز وحيد، و يمكن كتابته على شكل مركّب تحويلين مألوفين لهما هذا المركز نفسه: دوران زاويته هي زاوية التشابه، و تحاكٍ نسبته هي نسبة التشابه.

و أوّل خطوة نحو ذلك هي إعادة كتابة العلاقة بدلالة المركز بدل كتابتها بدلالة المبدأ. هذه الكتابة تسمّى الكتابة المختصرة، و منها يُقرأ كلّ شيء.

الكتابة المختصرة لتشابه مباشر

نطرح لاحقة المركز من الطرفين في الكتابة الأصلية، ثمّ نعوّض الحدّ الثابت بما يساويه انطلاقا من معادلة النقطة الصامدة؛ فتختفي هذه الثوابت كلّها و يبقى المعامل وحده.

z' − w = a·(z − w)
تفكيك المعامل إلى نسبة و زاوية
a = k·eiθ
الدوران الذي مركزه هذا المركز
z' − w = eiθ·(z − w)
التحاكي الذي مركزه هذا المركز
z' − w = k·(z − w)
التحليل القانوني: كلّ تشابه مباشر معامله مخالف للواحد يُكتب مركّب دوران و تحاكٍ لهما المركز نفسه، و المركّب لا يتعلّق بالترتيب في هذه الحالة بالذات، لأنّ للتحويلين المركز نفسه. المركز صامد بالاثنين معا، فلا شيء يفصلهما.
إذا طُلبت منك الكتابة المركبة للتحاكي وحده، لا تكتب الحدّ الثابت للتشابه: الحدّ الثابت للتحاكي هو حاصل ضرب لاحقة المركز في العدد الذي يتمّم النسبة إلى الواحد. القاعدة الآمنة هي أن تنطلق دائما من الكتابة المختصرة، ثمّ تنشرها إن احتجت.
الكتابة المركبة للتحاكي، منشورة
z' = k·z + (1 − k)·w
الكتابة المركبة للدوران، منشورة
z' = eiθ·z + (1 − eiθ)·w
المركز هو النقطة الوحيدة التي لا يحرّكها لا الدوران و لا التحاكي: لهذا يجوز تبديل ترتيبهما هنا.

3. مركّب تشابهين مباشرين

إذا أنجزنا تشابها مباشرا ثمّ تشابها مباشرا آخر، فالنتيجة تشابه مباشر أيضا. و العنصران الأوّلان يُحسبان دون أيّ جهد: النسبة تُضرب، و الزاوية تُجمع. و هذا يُقرأ مباشرة من معامل المركّب، لأنّ معامل المركّب هو جداء المعاملين.

معامل المركّب
a'·a
نسبة المركّب

طويلة الجداء تساوي جداء الطويلتين.

|a'·a| = |a| × |a'|
زاوية المركّب

عمدة الجداء تساوي مجموع العمدتين، بترديد الدورة الكاملة.

arg(a'·a) ≡ arg(a) + arg(a') [2π]
أمّا الترتيب فليس بلا أثر. التشابهان المركّبان في الاتجاهين لهما النسبة نفسها و الزاوية نفسها — لأنّ جداء عددين لا يتعلّق بالترتيب — لكن الحدّ الثابت يتغيّر، و معه المركز. و يكفي مثال مضادّ واحد ليتبيّن ذلك: تحاكٍ مركزه المبدأ و نسبته 2، مع انسحاب.
📌المعطى: التحويل الأوّل
S(z) = 2z
📌المعطى: التحويل الثاني
L(z) = z + 1
الترتيب الأوّل
(L ∘ S)(z) = 2z + 1
الترتيب الثاني
(S ∘ L)(z)=2(z + 1)=2z + 2
✅النّتيجة: الفرق بين المركّبين
(S ∘ L)(z) − (L ∘ S)(z) = 1
القاعدة الآمنة: المركّبان لهما دائما النسبة نفسها و الزاوية نفسها، و لا يجب أن نفترض أبدا أنّ لهما المركز نفسه. الحالة التي يتطابق فيها المركّبان هي حالة التحويلين اللذين لهما المركز نفسه، و هي بالضبط حالة التحليل القانوني.
مثال 1: العناصر المميزة لتشابه مباشر معطى بكتابته المركبة

تشابه مباشر في المستوي المركب، كتابته المركبة معطاة.

🎯المطلوب: عيّن نسبة هذا التشابه، ثمّ زاويته، ثمّ لاحقة مركزه.

📌المعطى
z' = (1 + i)·z − 2i
🔹الخطوة 1: النسبة

النسبة هي طويلة المعامل، و نحسبها بدستور الطويلة.

k=|1 + i|=√(1² + 1²)=√2
🔹الخطوة 2: الزاوية

جزآه الحقيقي و التخيلي متساويان و موجبان، فالنقطة الممثّلة له في الربع الأوّل على منصّف المحورين.

θ = arg(1 + i) ≡ π4 [2π]
🔹الخطوة 3: معادلة المركز

المركز نقطة صامدة، فنكتب المعادلة و نحلّها.

z = (1 + i)·z − 2i
🔹الخطوة 4: نجمع حدود المجهول
z·(1 − 1 − i) = −2i
🔹الخطوة 5: نبسّط المعامل
−i·z = −2i
✅النّتيجة: لاحقة المركز
w = 2
تحقّق دائما من الحلّ بتعويضه في الكتابة المركبة: هنا نجد أنّ صورة العدد 2 هي العدد 2 نفسه، فالنقطة صامدة فعلا.
مثال 2: مركّب دورانين مركزاهما مختلفان

دورانان في المستوي: الأوّل مركزه نقطة و زاويته قائمة، و الثاني مركزه نقطة أخرى و زاويته سالبة تساوي سدس الزاوية المستقيمة.

🎯المطلوب: أثبت أنّ مركّب الدورانين دوران، و عيّن زاويته.

📌المعطى: زاوية الدوران الأوّل
θ₁ = π2
📌المعطى: زاوية الدوران الثاني
θ₂ = −π6
🔹الخطوة 1: نسبة المركّب

كلّ دوران تشابه مباشر نسبته 1، فنسبة المركّب جداء النسبتين.

k=1 × 1=1
🔹الخطوة 2: زاوية المركّب
θ=π2 − π6=3π6 − π6
🔹الخطوة 3: نبسّط
θ=2π6=π3
✅النّتيجة: طبيعة المركّب

النسبة تساوي 1 و الزاوية غير معدومة: التحويل ليس انسحابا، فله مركز وحيد، و تحاكيه القانوني نسبته 1 أي التطبيق المطابق.

θ = π3
لمّا تجد نسبة تساوي 1، لا تستنتج فورا أنّ التحويل انسحاب: انظر إلى الزاوية. زاوية معدومة تعني انسحابا، و زاوية غير معدومة تعني دورانا.
مثال 3: مركّب تشابهين يعطي التطبيق المطابق

تشابهان مباشران في المستوي المركب، كتابتاهما المركبتان معطاتان.

🎯المطلوب: عيّن طبيعة مركّب التشابهين، بحساب معامل المركّب و حدّه الثابت.

📌المعطى: التشابه الأوّل
S₁(z)=(√34 − (14)i)·z + 3i
📌المعطى: التشابه الثاني
S₂(z)=(√3 + i)·z + 3 − 3√3·i
🔹الخطوة 1: المركّب قبل النشر

نعوّض صورة النقطة بالتشابه الثاني في التشابه الأوّل.

S₁(S₂(z))=(√34 − (14)i)·((√3 + i)·z + 3 − 3√3·i) + 3i
🔹الخطوة 2: جداء المعاملين

نبدأ بمعامل المجهول: هو جداء المعاملين.

(√34 − (14)i)·(√3 + i)=3 + 14
🔹الخطوة 3: معامل المركّب
3 + 14 = 1
🔹الخطوة 4: الجزء الأوّل من الثابت

ثمّ الحدّ الثابت: جداء معامل الأوّل في ثابت الثاني، مضافا إليه ثابت الأوّل.

(√34 − (14)i)·(3 − 3√3·i)=−3i
🔹الخطوة 5: الثابت كاملا
−3i + 3i = 0
✅النّتيجة: المركّب
S₁(S₂(z)) = z
معامل يساوي 1 و ثابت معدوم يعنيان التطبيق المطابق: كلّ نقطة صامدة. و هذا يعني أنّ كلّ واحد من التشابهين هو التحويل العكسي للآخر.
مثال 4: تعيين تشابه مباشر من صورتي نقطتين، ثمّ عناصره

أربع نقط معلومة اللواحق في المستوي المركب، و تشابه مباشر يحوّل الأولى إلى الثانية و الثالثة إلى الرابعة.

🎯المطلوب: عيّن الكتابة المركبة لهذا التشابه المباشر، ثمّ عيّن عناصره المميزة.

📌المعطى: لاحقتا النقطتين الأوليين
zA = 1 ; zB = −3 − 5i
📌المعطى: لاحقتا النقطتين الأخريين
zC = −4 + 5i ; zD = −3
🔹الخطوة 1: الشرط الأوّل

نكتب الشرطين على شكل جملة معادلتين في المجهولين.

−3 − 5i = a·1 + b
🔹الخطوة 2: الشرط الثاني
−3 = a·(−4 + 5i) + b
🔹الخطوة 3: الطرح

نطرح المعادلتين طرفا من طرف: الحدّ الثابت يزول.

−3 − 5i − (−3) = a·(1 − (−4 + 5i))
🔹الخطوة 4: بعد الحساب في الطرفين
−5i = a·(5 − 5i)
🔹الخطوة 5: الضرب في مرافق المقام

نضرب البسط و المقام في مرافق المقام لنفصل الجزأين.

a=(−5i)·(5 + 5i)(5 − 5i)·(5 + 5i)=25 − 25i50
🔹الخطوة 6: المعامل مبسّطا
a=12 − (12)i
🔹الخطوة 7: الحدّ الثابت

نعوّض المعامل في الشرط الأوّل لنستخرج الحدّ الثابت.

b=−3 − 5i − (12 − (12)i)
🔹الخطوة 8: بعد الحساب
b=−72 − (92)i
🔹الخطوة 9: الكتابة المركبة
z'=(12 − (12)i)·z − 72 − (92)i
🔹الخطوة 10: النسبة
k=|12 − (12)i|=√22
🔹الخطوة 11: الزاوية
θ=arg(12 − (12)i) ≡ −π4 [2π]
🔹الخطوة 12: معادلة المركز
w=−72 − (92)i1 − 12 + (12)i=−7 − 9i1 + i
🔹الخطوة 13: الضرب في مرافق المقام

نضرب البسط و المقام في مرافق المقام مرّة أخرى.

w=(−7 − 9i)·(1 − i)(1 + i)·(1 − i)=−16 − 2i2
✅النّتيجة: لاحقة المركز
w = −8 − i
الطرح طرفا من طرف هو الخطوة التي تُنجز كلّ شيء: هو الوحيد الذي يحذف الحدّ الثابت و يترك معادلة في مجهول واحد. تحقّق في الأخير بأن تحسب صورتي النقطتين المعطاتين.
مثال 5: تشابه مباشر مركزه معلوم مسبقا

ثلاث نقط معلومة اللواحق، و تشابه مباشر مركزه أوّلاها و يحوّل الثالثة إلى الثانية.

🎯المطلوب: عيّن الكتابة المركبة لهذا التشابه المباشر ثمّ اذكر طبيعته.

📌المعطى: لاحقة المركز
zA = i
📌المعطى: لاحقتا النقطتين الأخريين
zB = −2 + 3i ; zC = −4 + 5i
🔹الخطوة 1: الشرط الأوّل

كون المركز صامدا يعطي المعادلة الأولى.

i = a·i + b
🔹الخطوة 2: الشرط الثاني
−2 + 3i = a·(−4 + 5i) + b
🔹الخطوة 3: الطرح طرفا من طرف
i − (−2 + 3i) = a·(i − (−4 + 5i))
🔹الخطوة 4: بعد الحساب في الطرفين
2 − 2i = a·(4 − 4i)
🔹الخطوة 5: المعامل

العددان المركبان متناسبان، فالقسمة تعطي عددا حقيقيا.

a=2 − 2i4 − 4i=12
🔹الخطوة 6: الحدّ الثابت
b=i − (12)i=(12)i
✅النّتيجة: الكتابة المركبة

المعامل عدد حقيقي موجب، فعمدته معدومة و الزاوية معدومة: التحويل تحاكٍ.

z'=(12)·z + (12)i
متى وجدت معاملا حقيقيا موجبا مخالفا للواحد، فالتشابه تحاكٍ نسبته هذا المعامل؛ و متى وجدته حقيقيا سالبا فهو تحاكٍ أيضا، نسبته سالبة و زاويته مستقيمة.
في البكالوريا يُطلب « التحليل القانوني » بهذه العبارة نفسها، و المصحّح ينتظر ثلاثة أسطر لا أكثر: النسبة، الزاوية، ثمّ لاحقة المركز مع المعادلة التي أعطتها. اكتب كلّ عنصر في سطر مستقلّ: إن أخطأت في المركز تحتفظ بنقطتي النسبة و الزاوية. و لا تنس أن تتحقّق من أنّ المعامل مخالف للواحد قبل أن تقسم عليه.
الخلاصة: من الكتابة المركبة لتشابه مباشر تُقرأ النسبة و الزاوية من المعامل وحده، و يُحسب المركز بحلّ معادلة النقطة الصامدة. و متى كان المعامل مخالفا للواحد، فالتشابه المباشر هو مركّب دوران و تحاكٍ لهما هذا المركز نفسه: هذا هو تحليله القانوني. و في تركيب تشابهين، النسبة جداء و الزاوية مجموع، أمّا المركز فيتغيّر بتغيّر الترتيب.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net