الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
توظيف خواص التشابهات المباشرة لحل مسائل هندسية
الجواب في جملة واحدة: التشابه المباشر يحفظ الشكل و يغيّر الحجم. كلّ ما هو زاوية أو نسبة أو استقامية أو توازٍ أو تعامد يبقى كما هو؛ و كلّ ما هو طول يُضرب في النسبة، و كلّ ما هو مساحة أو جداء سلّمي يُضرب في مربّع النسبة. هذه الجملة وحدها تحلّ أغلب التمارين الهندسية في هذا الباب.
- توظيف خاصية المركز: البعد يُضرب في النسبة، و الشعاع يدور بالزاوية
- تعيين التشابه المباشر الوحيد الذي يحوّل نقطتين معلومتين إلى نقطتين معلومتين
- البرهان على استقامية نقط أو على تشابه مثلثين بواسطة اللواحق
- تعيين صورة مستقيم أو دائرة، و حساب نسبة المساحتين
- معرفة أنّ الزوايا محفوظة و أنّ الجداء السلّمي يُضرب في مربّع النسبة
- نسبة تشابه مباشر و زاويته و لاحقة مركزه انطلاقا من الكتابة المركبة
- أنّ طويلة الفرق بين لاحقتين هي المسافة بين النقطتين الموافقتين
- الجداء السلّمي لشعاعين بالإحداثيات، و دستور جيب تمام الزاوية
- معادلة دائرة معلومة المركز و نصف القطر، و معادلة مستقيم
1. المركز، و ما يفعله التشابه بنقطة
للتشابه المباشر الذي معامله مخالف للواحد مركز وحيد. المركز صامد، أي أنّ صورته هي هو، و هذه أوّل خاصية تُستعمل في التمارين: إذا وجدت نقطة صورتها هي هي، فهي المركز.
و من أجل أيّ نقطة أخرى من المستوي، تُعرف صورتها بشرطين معا لا بشرط واحد: بعد جديد، و اتجاه جديد. البعد يُضرب في النسبة، و الشعاع يدور بالزاوية.
2. تشابه مباشر وحيد يحوّل نقطتين إلى نقطتين
هذه هي الخاصية التي تجعل التشابه المباشر أداة و ليس مجرّد تعريف: إذا أعطيت نقطتين مختلفتين و نقطتين مختلفتين أخريين، فيوجد تشابه مباشر وحيد يحوّل الأولى إلى الثالثة و الثانية إلى الرابعة. و البرهان بنّاء: نكتب الشرطين، فنجد المعامل و الحدّ الثابت.
الطرح يحذف الحدّ الثابت و يترك معادلة في مجهول واحد؛ و المقام غير معدوم لأنّ النقطتين الأوليين مختلفتان.
و للنتيجة قراءة هندسية مباشرة، تُغني عن كلّ حساب في كثير من التمارين: نسبة هذا التشابه هي نسبة الطولين، و زاويته هي الزاوية الموجهة بين الشعاعين.
3. ما الذي يحفظه التشابه المباشر، و ما الذي يضربه
- الاستقامية: صور نقط على استقامة واحدة تبقى على استقامة واحدة
- منتصف قطعة، و مركز ثقل مثلث: صورتهما هما منتصف الصورة و مركز ثقل الصورة
- التوازي و التعامد: صورتا مستقيمين متوازيين متوازيان، و صورتا متعامدين متعامدان
- الزوايا: كلّ زاوية موجهة تبقى بقيمتها، و لهذا تبقى أشكال الأشكال
- صورة مستقيم مستقيم، و صورة قطعة قطعة، و صورة دائرة دائرة
و ما يتغيّر يتغيّر بقانون واحد بسيط: كلّ ما هو من الدرجة الأولى في الطول يُضرب في النسبة، و كلّ ما هو من الدرجة الثانية يُضرب في مربّع النسبة.
المساحة من الدرجة الثانية في الأطوال: طولان مضروبان، فيُضرب كلّ منهما في النسبة.
البسط يُضرب في مربّع النسبة، و المقام أيضا لأنّه جداء طولين: فالكسر لا يتغيّر.
4. تشابه مباشر مركّب مع نفسه
نستعمل هنا قاعدة التركيب: النسبة جداء النسبتين و الزاوية مجموع الزاويتين. و لمّا يكون التشابهان واحدا، تصير النسبة مربّعا و الزاوية ضِعفا. و المركز لا يتحرّك، لأنّ الصامد بالتشابه صامد به مرّتين.
تشابه مباشر في المستوي المركب، و ثلاث نقط معلومة اللواحق.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة التحويل و عناصره المميزة، ثمّ احسب لواحق صور الرؤوس الثلاثة.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام؛ و مرافق الوحدة التخيلية هو ضدّها.
نحسب الآن صور الرؤوس، واحدا واحدا: أوّلا الجداء، ثمّ إضافة الحدّ الثابت.
المثلث و صورته من المثال السابق، بلواحقهما المحسوبة.
🎯المطلوب: أثبت أنّ الرؤوس الثلاثة ليست على استقامة واحدة، ثمّ أنّ المثلثين متشابهان.
قبل الكلام عن مثلث، نتأكّد أنّ الرؤوس ليست على استقامة واحدة: نحسب نسبة الفرقين، فإن كانت عددا حقيقيا فالنقط مستقيمية. و جزؤها التخيلي هنا غير معدوم، فالنقط ليست على استقامة واحدة.
طول الضلع هو طويلة الفرق بين لاحقتي طرفيه: zB − zA = 3i.
تشابه مباشر آخر في المستوي المركب، و ثلاث نقط معلومة اللواحق.
🎯المطلوب: عيّن عناصر التشابه، ثمّ تحقّق أنّ النقط الثلاث مستقيمية و أنّ صورها كذلك.
الجزء الحقيقي سالب و التخيلي موجب: النقطة في الربع الثاني.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام. و لاحقة المركز هي لاحقة النقطة الثالثة نفسها: هذه النقطة صامدة.
العدد حقيقي، فالنقط الثلاث على استقامة واحدة.
نعوّض لاحقة النقطة الأولى في الكتابة المركبة.
التشابه المباشر السابق نفسه، نسبته 2؛ و دائرة مركزها النقطة الأولى و نصف قطرها معلوم.
🎯المطلوب: اكتب معادلة الدائرة، ثمّ عيّن طبيعة صورتها و معادلتها، ثمّ قارن المساحتين.
صورة الدائرة دائرة، مركزها صورة المركز.
نصف القطر من الدرجة الأولى في الطول، فيُضرب في النسبة.
التشابه المباشر نفسه، و أربع نقط: نقطتان معلومتان و صورتاهما.
🎯المطلوب: احسب الجداءين السلّميين، ثمّ جيب تمام الزاويتين، ثمّ استنتج.
نحسب الآن الجداء نفسه في الصورة.
تشابه مباشر معطى بكتابته المركبة، و نريد مقارنة عناصره بعناصر مركّبه مع نفسه.
🎯المطلوب: اكتب العبارة المركبة للمركّب، ثمّ قارن بين عناصر التحويلين.
المركّب مع النفس معامله مربّع المعامل، و حدّه الثابت هو المعامل في الثابت مضافا إليه الثابت.
حدّا الجذر يتلاشيان عند الجمع.
مثلث قائم مباشر، و دائرتان قطراهما ضلعان في الشكل تتقاطعان في نقطتين؛ و تشابه مباشر يحوّل رأسا إلى رأس و نقطة إلى نقطة.
🎯المطلوب: عيّن الكتابة المركبة لهذا التشابه ثمّ عناصره المميزة، و تحقّق أنّ مركزه هو نقطة تقاطع الدائرتين.
نتحقّق أوّلا من أنّ المثلث قائم، بالجداء السلّمي.
التشابه يحوّل الرأس الأوّل إلى الثالث، و النقطة الأولى إلى الثانية.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام.
نتحقّق من النسبة هندسيا: هي نسبة البعدين عن المركز.
الصفحة 1/12
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net