الهندسة في الفضاء › الجداء السلمي الهندسة في الفضاء
الجداء السلمي في الفضاء: التعريف و العبارة التحليلية
الجواب أبسط ممّا يبدو: شعاعان من الفضاء يوجد دائما مستو يشملهما معا. نحسب جداءهما السلّمي داخل هذا المستوي، بما تعرفه منذ السنة الماضية، ثمّ نبيّن أنّ العدد المتحصّل عليه لا يتغيّر مهما كان المستوي المختار. عندئذ يصير التعريف سليما، و يصير كلّ الباقي حسابا: ثلاث إحداثيات في ثلاث، و مجموع.
- تعريف الجداء السلّمي لشعاعين من الفضاء و تبرير استقلاله عن المستوي المختار
- استعمال خواصّه: التناظر، و الضرب في عدد، و التوزيع، و نشر مربّع مجموع شعاعين
- ترجمة تعامد شعاعين إلى انعدام جدائهما السلّمي، و العكس
- حساب جداء سلّمي بالإحداثيات في معلم متعامد و متجانس من الفضاء
- حساب المسافة بين نقطتين من الفضاء انطلاقا من إحداثياتهما
- إثبات أنّ مستقيما عمودي على مستو باستعمال الجداء السلّمي
- تبسيط جداء سلّمي بالإسقاط العمودي على مستو أو على مستقيم
- الجداء السلّمي في المستوي و متطابقة الاستقطاب
- المعلم المتعامد و المتجانس في الفضاء، و إحداثيات شعاع
- تعامد قطري المربّع، و المستقيم العمودي على مستو
1. التعريف: نحمل الحساب إلى مستو يشمل الشعاعين
ليكن u و v شعاعين من الفضاء. نختار نقطة A و نمثّل الشعاعين انطلاقا منها، فنحصل على نقطتين B و C. النقط الثلاث يشملها مستو واحد على الأقلّ، و داخل هذا المستوي نعرف الجداء السلّمي منذ السنة الثانية. هذا هو التعريف كلّه، و لا شيء آخر فيه.
الطرف الأيمن جداء سلّمي في المستوي، و هو معلوم عندك من السنة الماضية.
يبقى سؤال واحد مشروع: لو اخترنا نقطة أخرى، أو مستويا آخر، هل نجد نفس العدد؟ الجواب نعم، و الحجّة هي العبارة الموالية: هي تكتب الجداء السلّمي بالأطوال وحدها، و الأطوال لا تتعلّق بمستو مرسوم.
2. الخواص: كلّ ما كان صحيحا في المستوي يبقى صحيحا
ما دام الحساب يجري داخل مستو، فكلّ خواصّ الجداء السلّمي في المستوي تنتقل كما هي إلى الفضاء. نجمعها هنا لأنّها أدوات الحساب في كلّ تمارين هذا الباب.
جداء شعاع في نفسه هو مربّع طوله، لا نصفه: هذه هي الخاصية التي تُستعمل أكثر من غيرها.
3. التعامد: معيار يُحوّل الهندسة إلى حساب
هنا تكمن قوّة الجداء السلّمي كلّها: زاوية قائمة تصير عددا منعدما. لم يعد عليك أن ترسم و تقيس، يكفي أن تحسب.
و الشعاع المنعدم عمودي على كلّ أشعة الفضاء، لأنّ جداءه السلّمي في أيّ شعاع منعدم. هذه حالة حدّية تُذكر مرّة واحدة و لا تُنسى.
4. العبارة التحليلية: من الهندسة إلى الإحداثيات
في أساس متعامد و متجانس من الفضاء، لا حاجة لا لطول و لا لزاوية: الجداء السلّمي يُحسب من الإحداثيات وحدها، بثلاثة جداءات و مجموع واحد.
و منها تخرج المسافة بين نقطتين مباشرة: يكفي أن تطبّق الخاصية الأولى على الشعاع الذي مبدؤه النقطة الأولى و نهايته النقطة الثانية.
نعتبر مكعّبا طول ضلعه a، رؤوس وجهه السفلي A و B و C و D، و رؤوس وجهه العلوي E و F و G و H، بحيث يقابل A الرأس E، و B الرأس F، و C الرأس G، و D الرأس H.
🎯المطلوب: احسب الجداء السلّمي للشعاع الذي مبدؤه A و نهايته B في الشعاع الذي مبدؤه E و نهايته G.
نحسب أوّلا الشعاع الذي مبدؤه E و نهايته G، بجمع ضلعين متتاليين من الوجه العلوي.
نوزّع الجداء السلّمي على هذا المجموع، و هذه هي الخاصية 4.
الشعاعان اللذان مبدؤهما A و F متعامدان: FG = BC، و الضلعان [AB] و [BC] متعامدان في الوجه ABCD.
الشعاعان متساويان لأنّ الضلعين متوازيان و متقايسان و في نفس الجهة.
5. أوّل توظيف: قراءة التعامد على الإحداثيات
متى أعطيت النقط بإحداثياتها، لم يبق للتعامد أيّ غموض: تحسب إحداثيات الشعاعين بالفرق، ثمّ تحسب جداءهما السلّمي، و تقرأ الجواب في انعدامه أو عدمه.
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و فيه أربع نقط معطاة بإحداثياتها.
🎯المطلوب: بيّن هل المستقيم الحامل للشعاع الأوّل و المستقيم الحامل للشعاع الثاني متعامدان أم لا.
إحداثيات شعاع هي فرق إحداثيات نهايته و إحداثيات مبدئه، مركّبة بمركّبة.
نطبّق العبارة التحليلية: جداء المركّبات الأولى، زائد جداء الثانية، زائد جداء الثالثة.
نبقى مع نفس النقط الأربع من المثال السابق، في نفس المعلم.
🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيمين الحاملين للشعاعين المذكورين متعامدان.
نغيّر الشعاع الثاني فقط: نأخذه من A إلى C بدل ما بين C و D.
نبقى مع النقطتين الأوليين من المثال 2، في نفس المعلم المتعامد و المتجانس.
🎯المطلوب: احسب المسافة بين النقطتين الأوليين.
نطبّق الخاصية 1: مربّع المسافة هو جداء الشعاع في نفسه.
6. ثاني توظيف: إثبات أنّ مستقيما عمودي على مستو
هذه هي الطريقة التي عليك حفظها، و هي مطبوعة في المنهاج: لإثبات أنّ مستقيما عمودي على مستو، يكفي أن تثبت أنّه عمودي على مستقيمين متقاطعين من هذا المستوي. مستقيم واحد لا يكفي، و المستقيمان المتوازيان لا يكفيان.
نعود إلى المكعّب نفسه. المستقيمان الحاملان لضلعي المثلّث الملوّن، المنطلقان من الرأس F، متقاطعان في هذا الرأس، و كلاهما داخل مستو المثلّث.
🎯المطلوب: برهن أنّ المستقيم الحامل لقطر المكعّب عمودي على مستو المثلّث الملوّن.
نفكّك القطر إلى ضلع شاقولي زائد قطر الوجه العلوي، ثمّ نوزّع.
الوجه العلوي مربّع، و قطرا المربّع متعامدان.
الضلع الشاقولي عمودي على المستوي الذي يشمل الوجه العلوي، إذن عمودي على كلّ شعاع منه.
نعيد نفس العمل بتفكيك آخر للقطر نفسه، هذه المرّة عبر الوجه الجانبي.
الوجه الجانبي مربّع أيضا، و قطراه متعامدان.
الضلع الأفقي عمودي على المستوي (BCGF) الذي يشمل FC.
القطر عمودي على مستقيمين متقاطعين من مستو المثلّث، و هذا يكفي حسب الطريقة.
7. الإسقاط العمودي: أداة تبسيط قبل الحساب
أحيانا يكون أحد الشعاعين خارج المستوي الذي تشتغل فيه، فيبدو الحساب معقّدا. الحلّ هو أن تستبدله بمسقطه العمودي: الجداء السلّمي لا يتغيّر، لأنّ الفرق بين الشعاع و مسقطه عمودي على المستوي، و جداؤه السلّمي في كلّ شعاع من المستوي منعدم.
نبقى في المكعّب نفسه، طول ضلعه a. المسقط العمودي للرأس C على مستو الرؤوس A و E و H هو الرأس D.
🎯المطلوب: احسب الجداء السلّمي للشعاع الشاقولي الصاعد من A في الشعاع الذي مبدؤه H و نهايته C.
نستبدل الشعاع الخارج بالشعاع المُسقط: الجداء السلّمي لا يتغيّر.
نتحقّق من هذا الاستبدال بعلاقة شال، فالفرق بين الشعاعين يحمل ضلعا عموديا على الضلع الشاقولي.
الشعاعان المُسقطان متعاكسان: طولهما a و اتّجاههما متضادّ.
الصفحة 1/13
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net