مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الهندسة في الفضاء المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء

توظيف الجداء السلمي لتعيين معادلة ديكارتية لمستوٍ

🔊 المعلّمة تقرأ لك
لتعيين مستقيم في المستوي كنت تكتفي بمعادلة واحدة من الشكل المعروف. أمّا في الفضاء فالمستوي شيء أوسع: يمرّ من نقطة، و يمتدّ في اتّجاهين. و مع ذلك يكفي لتعيينه شيئان اثنان فقط: نقطة واحدة يمرّ بها، و شعاع واحد عمودي عليه. كيف يترجم هذان المعطيان إلى معادلة واحدة تحقّقها إحداثيات نقط المستوي وحدها؟

الجواب في سطر واحد: نقطة من المستوي، و شعاع عمودي عليه، يكفيان. لأنّ نقطة أخرى تكون من المستوي إذا و فقط إذا كان الشعاع الواصل بينهما عموديا على ذلك الشعاع، أي إذا و فقط إذا انعدم جداؤهما السلّمي. و متى كتبنا هذا الانعدام بالإحداثيات، خرجت معادلة من الدرجة الأولى في ثلاثة مجاهيل: هي المعادلة الديكارتية للمستوي.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على شعاع ناظمي لمستو و استعماله في تعيينه
  • كتابة معادلة ديكارتية لمستو معلوم بنقطة و شعاع ناظمي له
  • قراءة شعاع ناظمي مباشرة على معادلة ديكارتية معطاة
  • تعيين معادلة ديكارتية للمستوي المعيّن بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة
  • معرفة معادلات مستويات المعلم الثلاثة
  • التمييز بين مستويين متوازيين و مستويين متعامدين انطلاقا من شعاعيهما الناظميين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الجداء السلّمي في الفضاء و عبارته التحليلية
  • معيار التعامد: انعدام الجداء السلّمي
  • الأشعة المرتبطة خطيا و غير المرتبطة خطيا

1. الشعاع الناظمي: ما الذي يعيّن مستويا؟

نقول عن شعاع غير معدوم إنّه ناظمي لمستو إذا كان عموديا على شعاعين غير مرتبطين خطيا من هذا المستوي. و لاحظ الشرط جيّدا: شعاعان غير مرتبطين خطيا، أي غير متوازيين. شعاعان متوازيان لا يكفيان أبدا، لأنّ اتّجاها واحدا لا يعيّن مستويا.

متى كان شعاع ناظميا لمستو، فهو عمودي على كلّ شعاع من هذا المستوي، لا على الشعاعين المختارين فحسب. و بالتالي فكلّ مستقيم موجّه بهذا الشعاع هو مستقيم عمودي على المستوي.
الشعاع الناظمي عمودي على كلّ شعاع مرسوم داخل المستوي: هذا هو مصدر المعادلة.
تعيين مستو بنقطة و شعاع ناظمي
M ∈ (P) ⟺ n.AM = 0
nشعاع غير معدوم، ناظمي للمستويAنقطة معلومة من المستويMنقطة كيفية من الفضاء

2. البرهان: لماذا لا يوجد أيّ شذوذ؟

الاتّجاه الأوّل مباشر: إذا كانت النقطة من المستوي فالشعاع الواصل بينها و بين النقطة المعلومة هو شعاع من المستوي، و الشعاع الناظمي عمودي عليه، فالجداء منعدم. الاتّجاه العكسي هو المهمّ، و نكتبه كاملا دون قفز.

نعتبر المستقيم الذي يشمل النقطة المعلومة و يوجّهه الشعاع الناظمي، و نسمّي المسقط العمودي للنقطة المتحرّكة عليه. عندئذ يتفكّك الشعاع إلى قطعتين.

🔹الخطوة 1: تفكيك الشعاع بعلاقة شال
AM = AH + HM
🔹الخطوة 2: القطعة الثانية عمودية على الشعاع الناظمي

لأنّ المسقط العمودي يجعل القطعة الثانية عمودية على اتّجاه المستقيم، و اتّجاه المستقيم هو الشعاع الناظمي نفسه.

n.HM = 0
🔹الخطوة 3: الحدّان متساويان

ننشر الجداء على المجموع، فيسقط الحدّ الثاني لانعدامه: هذا هو الوصل الذي يجعل البرهان متّصلا.

n.AH = n.AM
🔹الخطوة 4: الشعاع المسقط منعدم

الشعاعان مرتبطان خطيا و الشعاع الناظمي غير معدوم، فلا يبقى إلاّ أن يكون الشعاع المسقط منعدما.

n.AH = 0 ⟹ AH = 0
✅النّتيجة: المسقط هو النقطة المعلومة نفسها
H = A
و منها تخرج الخلاصة: المسقط العمودي للنقطة المتحرّكة على ذلك المستقيم هو النقطة المعلومة نفسها، أي أنّ الشعاع الواصل بينهما عمودي على الشعاع الناظمي، أي أنّ النقطة من المستوي. البرهان مغلق في الاتّجاهين.

3. المعادلة الديكارتية: من الجداء المنعدم إلى معادلة من الدرجة الأولى

ننتقل الآن إلى الإحداثيات، في معلم متعامد و متجانس. الجداء السلّمي يُكتب بثلاثة جداءات و مجموع، فينتج عن انعدامه معادلة من الدرجة الأولى في ثلاثة مجاهيل.

الشكل العامّ لمعادلة ديكارتية لمستو
a x + b y + c z + d=0
a , b , cإحداثيات شعاع ناظمي للمستوي، و هي غير معدومة معاdعدد حقيقي يحدّده مرور المستوي بنقطة معلومة

و العكس صحيح أيضا: مجموعة النقط التي تحقّق معادلة من هذا الشكل، بأعداد حقيقية غير معدومة معا، هي مستو، و الشعاع الذي إحداثياته معاملات المجاهيل الثلاثة ناظمي له.

⛔ انتبه إلى الفرق بين عبارتين متشابهتين في اللفظ، متباعدتين في المعنى: « غير معدومة معا » تعني أنّها ليست كلّها منعدمة، أي يكفي أن يكون واحد منها غير منعدم. و هي غير « كلّها غير معدومة ». المعادلة ذات المعامل المنعدم مرّتين تبقى معادلة مستو صحيحة تماما.

و البرهان لا يزيد على سطرين: نكتب انعدام الجداء السلّمي بالإحداثيات، ثمّ نجمع الثوابت في عدد واحد.

🔹الخطوة 1: انعدام الجداء بالإحداثيات
a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA)=0
🔹الخطوة 2: نجمع الثوابت في عدد واحد
d=−(a xA + b yA + c zA)
✅النّتيجة: المعادلة الديكارتية
a x + b y + c z + d=0
⭐ الحركة التي تُوفّر عليك نصف الوقت: الشعاع الناظمي يُقرأ مباشرة على المعادلة، فمعاملات المجاهيل الثلاثة هي إحداثياته بالترتيب. و بالعكس، متى عرفت شعاعا ناظميا عرفت المعاملات الثلاثة، و لم يبق إلاّ الثابت، و هو يُحسب بتعويض إحداثيات نقطة واحدة معلومة من المستوي.

4. أوّل توظيف: معادلة المستوي المعيّن بثلاث نقط

هذه هي المسألة الأكثر تكرارا في هذا الباب. و الطريقة ثابتة في ثلاث حركات: نتحقّق أوّلا أنّ النقط الثلاث تعيّن مستويا فعلا، ثمّ نبحث عن شعاع ناظمي بحلّ جملة من معادلتين، ثمّ نكتب المعادلة بتعويض نقطة واحدة.

مثال 1: هل تعيّن النقط الثلاث مستويا؟

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و فيه ثلاث نقط معطاة بإحداثياتها.

🎯المطلوب: بيّن أنّ النقط الثلاث تعيّن مستويا.

📌المعطى: النقطة الأولى
A(−2 ; 0 ; 1)
📌المعطى: النقطة الثانية
B(1 ; 0 ; −3)
📌المعطى: النقطة الثالثة
C(1 ; −1 ; 2)
🔹الخطوة 1: الشعاع الأوّل

نحسب شعاعين ينطلقان من نفس النقطة: هذا شرط لازم للمقارنة بينهما.

AB = (3 ; 0 ; −4)
🔹الخطوة 2: الشعاع الثاني
AC = (3 ; −1 ; 1)
🔹الخطوة 3: المركّبتان الثانيتان مختلفتان

نقارن المركّبات: الأوليان متساويتان، و لو كان الشعاعان مرتبطين خطيا لكان معامل التناسب يساوي واحدا، فتتساوى كلّ المركّبات.

0 ≠ −1
✅النّتيجة

لا يوجد أيّ عدد حقيقي يحوّل الشعاع الأوّل إلى الثاني، فالشعاعان غير مرتبطين خطيا، و النقط الثلاث ليست على استقامة واحدة.

AB ≠ k.AC
⭐ لا تقفز أبدا فوق هذا السؤال: كتابة معادلة « المستوي » المعيّن بثلاث نقط على استقامة واحدة لا معنى لها، لأنّ المستويات المارّة بها لا نهاية لعددها.
مثال 2: معادلة ديكارتية للمستوي المعيّن بالنقط الثلاث

نبقى مع النقط الثلاث من المثال السابق، في نفس المعلم.

🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي المعيّن بهذه النقط الثلاث.

📌المعطى: الشعاعان الموجّهان
AB = (3 ; 0 ; −4)
📌المعطى: الشعاع الثاني
AC = (3 ; −1 ; 1)
🔹الخطوة 1: جملة المعادلتين

الشعاع الناظمي عمودي على الشعاعين معا، فجداؤه السلّمي في كلّ منهما منعدم؛ نكتب المعادلتين بالإحداثيات.

{ 3a − 4c = 0 ; 3a − b + c = 0 }
🔹الخطوة 2: نختار قيمة للمجهول الأوّل

الجملة متجانسة، فحلولها متناسبة: نختار قيمة مريحة لأحد المجاهيل، و نستنتج الباقي.

a = 4
🔹الخطوة 3: المعادلة الأولى تعطي الثالث
3 × 4 − 4c = 0 ⟹ c = 3
🔹الخطوة 4: المعادلة الثانية تعطي الثاني
3 × 4 − b + 3 = 0 ⟹ b = 15
🔹الخطوة 5: الشعاع الناظمي
n = (4 ; 15 ; 3)
🔹الخطوة 6: تحقّق أوّل

نتحقّق قبل المواصلة: الجداء السلّمي في كلّ من الشعاعين يجب أن ينعدم.

n.AB=12 + 0 − 12=0
🔹الخطوة 7: تحقّق ثان
n.AC=12 − 15 + 3=0
🔹الخطوة 8: المعادلة قبل النشر

نكتب الآن انعدام الجداء بين الشعاع الناظمي و الشعاع الواصل من النقطة الأولى إلى نقطة كيفية.

4(x + 2) + 15y + 3(z − 1)=0
🔹الخطوة 9: النشر
4x + 8 + 15y + 3z − 3=0
✅النّتيجة
4x + 15y + 3z + 5=0
⭐ الخطوتان 6 و 7 ليستا ترفا: خطأ واحد في إشارة أثناء حلّ الجملة يفسد كلّ ما بعده، و التحقّق يكلّفك سطرين و ينقذ التمرين كلّه. و تحقّق أخير أسرع: عوّض إحداثيات النقط الثلاث في المعادلة، فيجب أن تنعدم في الحالات الثلاث.
⭐ تحقّق نهائي في عشر ثوان: النقطة الأولى تعطي المجموع الذي يبدأ بضرب أربعة في سالب اثنين، أي سالب ثمانية، زائد ثلاثة زائد خمسة، و المجموع منعدم. و كذلك النقطتان الأخريان. متى انعدمت الثلاثة، فمعادلتك صحيحة يقينا.
مثال 3: مستو معلوم بنقطة و شعاع ناظمي جاهز

في نفس المعلم و مع نفس النقط الثلاث، نعتبر المستوي الذي يشمل النقطة الأولى و يقبل الشعاع الواصل بين النقطتين الأخريين شعاعا ناظميا له.

🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية لهذا المستوي.

📌المعطى: النقطة التي يشملها المستوي
A(−2 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي

الشعاع الناظمي معطى هذه المرّة، فلا حاجة لحلّ أيّة جملة.

BC = (1 − 1 ; −1 − 0 ; 2 − (−3))
🔹الخطوة 2: تبسيط الشعاع الناظمي
BC = (0 ; −1 ; 5)
🔹الخطوة 3: المعادلة قبل النشر

معاملات المجاهيل الثلاثة هي إحداثيات الشعاع الناظمي بالترتيب.

0(x + 2) − 1(y − 0) + 5(z − 1)=0
🔹الخطوة 4: النشر
−y + 5z − 5=0
✅النّتيجة

نضرب في سالب واحد لتصير المعاملات أبسط في القراءة؛ المعادلتان تعيّنان نفس المستوي.

y − 5z + 5 = 0
⭐ لا تخلط بين هذا المستوي و المستوي المعيّن بالنقط الثلاث: النقطة الثانية تعطي هنا القيمة عشرين، و هي غير منعدمة، فالنقطة ليست من هذا المستوي. شعاعان ناظميان غير مرتبطين خطيا يعطيان دائما مستويين مختلفين.

5. ثاني توظيف: مستو يوازي مستويا و يشمل نقطة

مثال 4: معادلة المستوي المارّ بنقط المحاور الثلاثة

نعتبر النقط الثلاث التي يقطع فيها المستوي المطلوب محاورَ المعلم عند الوحدة، أي النقطة ذات الفاصلة واحد، و النقطة ذات الترتيبة واحد، و النقطة ذات الراقم واحد.

🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يشمل هذه النقط الثلاث.

📌المعطى: النقط الثلاث
A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 1 ; 0) , C(0 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 1: الشعاع الأوّل
AB = (−1 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 2: الشعاع الثاني
AC = (−1 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 3: جملة المعادلتين

انعدام الجداءين يعطي جملة بسيطة جدّا هذه المرّة.

{ −a + b = 0 ; −a + c = 0 }
🔹الخطوة 4: المجاهيل الثلاثة متساوية
a=b=c
🔹الخطوة 5: الشعاع الناظمي

نختار أبسط قيمة ممكنة.

n = (1 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 6: المعادلة قبل النشر
1(x − 1) + 1(y − 0) + 1(z − 0)=0
✅النّتيجة
x + y + z − 1=0
⭐ احفظ هذه المعادلة، فهي تظهر كثيرا: مجموع الإحداثيات الثلاثة يساوي واحدا. و شعاعها الناظمي هو الشعاع الذي كلّ إحداثياته تساوي واحدا.
مثال 5: المستوي الموازي له و المارّ بمبدأ المعلم

نبقى مع المستوي السابق، و نبحث عن المستوي الذي يوازيه و يشمل مبدأ المعلم.

🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الموازي للمستوي السابق و المارّ بمبدأ المعلم.

📌المعطى: الشعاع الناظمي للمستوي الأوّل
n = (1 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 1: نحتفظ بنفس الشعاع الناظمي

مستويان متوازيان لهما نفس الاتّجاه، فيصلح نفس الشعاع الناظمي للاثنين: هذا هو معيار التوازي مطبّقا بمعامل يساوي واحدا.

n = (1 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 2: المعادلة قبل النشر
1(x − 0) + 1(y − 0) + 1(z − 0)=0
🔹الخطوة 3: المعادلة
x + y + z = 0
🔹الخطوة 4: تحقّق التمايز

نتحقّق أنّ المستويين متمايزان فعلا: نعوّض إحداثيات نقطة من الأوّل في معادلة الثاني.

1 + 0 + 0 = 1 ≠ 0
✅النّتيجة
x + y + z = 0
⭐ الفرق بين مستويين متوازيين هو الثابت وحده: نفس المعاملات الثلاثة، و ثابت مختلف. و إن تساوى الثابتان فالمستويان منطبقان، لا متوازيين متمايزين.

6. حالات خاصة تُحفظ مرّة واحدة

مستويات المعلم الثلاثة لها أبسط المعادلات الممكنة: في كلّ واحد منها، الإحداثية الغائبة منعدمة، و الشعاع الناظمي هو شعاع المحور الثالث.

📌المعطى: مستويات المعلم الثلاثة
المستويمعادلته الديكارتية
المستوي المحدّد بالشعاعين الأوّل و الثاني من الأساس⁦z = 0⁩
المستوي المحدّد بالشعاعين الثاني و الثالث⁦x = 0⁩
المستوي المحدّد بالشعاعين الأوّل و الثالث⁦y = 0⁩

و أمّا الوضع النسبي لمستويين، فيُقرأ كلّه على شعاعيهما الناظميين، دون أيّ رسم.

معيار توازي مستويين

حيث k عدد حقيقي غير معدوم. و انعدامه مستحيل هنا، لأنّ الشعاع الناظمي غير معدوم بحكم تعريفه.

n = k.n'
معيار تعامد مستويين
n.n' = 0
مثال 6: قراءة الوضع النسبي على المعاملات

نعتبر مستويين، الأوّل شعاعه الناظمي معطى بإحداثيات، و الثاني كذلك.

🎯المطلوب: حدّد الوضع النسبي للمستويين.

📌المعطى: الشعاع الناظمي الأوّل
n = (2 ; −3 ; 5)
📌المعطى: الشعاع الناظمي الثاني
n' = (4 ; −6 ; 10)
🔹الخطوة 1: المعامل من المركّبة الأولى

نبحث عن معامل تناسب واحد يصلح للمركّبات الثلاث معا.

4 = 2 × 2
🔹الخطوة 2: نفس المعامل في الثانية
−6 = 2 × (−3)
🔹الخطوة 3: نفس المعامل في الثالثة
10 = 2 × 5
✅النّتيجة

المعامل واحد في المركّبات الثلاث، إذن الشعاعان مرتبطان خطيا.

n' = 2n ⟹ (P) ∥ (P')
⭐ معامل تناسب واحد للمركّبات الثلاث، لا ثلاثة معاملات: لو وجدت معاملين مختلفين فالشعاعان غير مرتبطين خطيا و المستويان متقاطعان. و للتعامد جرّب الجداء السلّمي: شعاعان ناظميان مثل الأوّل و الشعاع ذي المركّبات ثلاثة و اثنين و صفر يعطيان مجموعا منعدما، فالمستويان متعامدان.
⛔ في البكالوريا، السؤال يأتي غالبا في اتّجاهين متقابلين، و عليك أن تتعرّف عليهما فورا: إمّا من المعطيات الهندسية إلى المعادلة (نقطة و شعاع ناظمي، أو ثلاث نقط)، و إمّا من المعادلة إلى المعطيات (اقرأ الشعاع الناظمي على المعاملات، ثمّ ابحث عن نقطة بتعويض إحداثيتين بالصفر). ⚖️ و تذكّر أنّ معادلة مستو ليست وحيدة: كلّ معادلة متناسبة معها تعيّن نفس المستوي، فلا تظنّ أنّ جوابك خاطئ لمجرّد أنّه يخالف المصحّح بمعامل.
⛔ الخطأ الشائع في هذا الدرس: الخلط بين شعاع ناظمي لمستو و شعاع موجّه لمستقيم. الشعاع الناظمي عمودي على المستوي كلّه، و الشعاع الموجّه محمول على المستقيم. و في المعادلة الديكارتية لمستو، المعاملات الثلاثة هي إحداثيات الشعاع الناظمي، لا الموجّه.
الخلاصة: نقطة و شعاع ناظمي يعيّنان مستويا، و لا شيء غيرهما مطلوب. الترجمة إلى الإحداثيات تعطي معادلة من الدرجة الأولى في ثلاثة مجاهيل، معاملاتها الثلاثة هي إحداثيات الشعاع الناظمي، غير معدومة معا، و ثابتها يحدّده مرور المستوي بنقطة معلومة. من هنا تنظّم كلّ التمارين: ثلاث نقط ⟵ شعاع ناظمي بجملة معادلتين ⟵ معادلة، و معادلة ⟵ شعاع ناظمي مقروء على المعاملات ⟵ وضع نسبي. و المستويان متوازيان متى كان شعاعاهما الناظميان مرتبطين خطيا، متعامدان متى انعدم جداؤهما السلّمي.

الصفحة 1/11

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net