توظيف الجداء السلمي لتعيين مجموعات نقط في الفضاء

الجواب في كلمة واحدة: نختزل. كلّ شرط من هذا الباب يبدأ مجموعا من الأشعة أو من المربّعات، و في كلّ مرّة نحوّله إلى شعاع واحد أو مسافة واحدة تنطلق من نقطة ثابتة نحسبها مرّة واحدة. و ساعتها يصير الشرط قراءة مباشرة: مسافة ثابتة تعني سطح كرة، تساوي مسافتين يعني مستوي محور، جداء سلمي معدوم يعني زاوية قائمة. المفتاح الذي يقوم بهذا الاختزال اسمه المرجح، و الشرط الهندسي الذي فتح الدرس هو أوّل تطبيق من تطبيقاته.

نبدأ بالمجموعة التي تعرفها من المستوي: الدائرة هي مجموعة النقط التي تبعد بعدا ثابتا عن مركز. و في الفضاء تعطي نفس العبارة سطح كرة. ننسب الفضاء إلى معلم متعامد و متجانس، و نترجم شرط البعد بالإحداثيات.

المسافة جذر، و الجذر يصعب حسابه. لكنّ الشرط لا يتغيّر إن ربّعنا الطرفين، لأنّ الطرفين موجبان. فنتخلّص من الجذر و نحصل على معادلة كثيرة حدود.

و بنشر المربّعات الثلاثة و جمع الحدود الثابتة في حدّ واحد نحصل على الشكل المنشور، و هو الشكل الذي يأتي به التمرين عادة.

إلى هنا لم نستعمل الجداء السلمي. و هو يدخل في اللحظة التي يُعطى فيها سطح الكرة بقطر بدل مركز و نصف قطر. فلننظر إلى الشرط الهندسي: النقطة تنتمي إلى سطح الكرة الذي قطره قطعة معلومة إذا و فقط إذا رأت هذه القطعة تحت زاوية قائمة.

تكبير الصورة

و لماذا هو تمييز تامّ؟ لأنّ منتصف القطعة هو مركز سطح الكرة، و نصف القطر هو نصف طول القطعة. فالشرط بالجداء السلمي و الشرط بالمسافة يصفان المجموعة نفسها بالضبط.

الشروط التي تأتي في التمارين نادرا ما تكون بهذه البساطة. أكثرها يبدأ مجموعا موزونا من الأشعة المنطلقة من النقطة المتغيّرة نحو نقط ثابتة. و لكي نقرأ مثل هذا الشرط، نحتاج إلى أن نستبدل بهذا المجموع كلّه شعاعا واحدا. و النقطة التي تسمح بذلك هي المرجح.

و الآن المبرهنة التي يقوم عليها الدرس كلّه. فهي التي تحوّل مجموعا من الأشعة إلى شعاع واحد، أي شرطا معقّدا إلى مسافة واحدة.

و البرهان في سطرين. نكتب كلّ شعاع بعلاقة شال مارّا بالمرجح، ثمّ نجمع.

قلنا إنّ المرجح لا يوجد إلّا إذا كان مجموع المعاملات غير معدوم. فماذا نفعل إن انعدم؟ الجواب مفاجئ و مريح في آن واحد: المجموع ساعتها لا يتعلّق بالنقطة المتغيّرة أصلا، أي أنّه شعاع ثابت نحسبه مرّة واحدة و ينتهي الأمر.

و البرهان هو نفس برهان مبرهنة الاختزال، مع نقطة ثابتة كيفية O بدل المرجح: نكتب كلّ شعاع بعلاقة شال، فيظهر معامل الشعاع المتغيّر، و هو مجموع المعاملات، أي صفر.

الشرط الثاني الأكثر ورودا هو تساوي طويلتي مجموعين. و العمل هو نفسه، لكن مرّتين: نختزل كلّ طرف على حدة، ثمّ نقارن. و النتيجة تتعلّق بمجموعي المعاملات.

نبدأ بالحالة الأولى، و هي الأكثر ورودا. المجموعان لهما نفس مجموع المعاملات، فيختزلان إلى شعاعين مضروبين في نفس العدد، و هذا العدد يُبسّط من الطرفين.

و منه فإنّ ⁦( F )⁩ هي المستوي المحور للقطعة الواصلة بين المرجحين.

و منه فإنّ المجموعة هي سطح الكرة الذي مركزه المرجح P و نصف قطره الطول الثابت الواصل بين I و A.

نصل الآن إلى الشرط الذي يجمع كلّ ما سبق: جداء سلمي معدوم بين مجموعين. و القراءة تتعلّق دائما بمجموعي المعاملات، لكنّ الجواب هذه المرّة يتنقّل بين سطح كرة و مستو.

• إن كان المجموعان غير معدومين: الشرط يصير جداء شعاعين متغيّرين معدوما، أي زاوية قائمة، فالمجموعة سطح كرة قطرها القطعة الواصلة بين المرجحين — و إن انطبق المرجحان انحصرت المجموعة في تلك النقطة وحدها.
• إن انعدم أحد المجموعين: أحد العاملين شعاع ثابت، و الشرط يصير عمودية شعاع متغيّر على شعاع ثابت، فالمجموعة مستو.

نطبّق الحالتين على مكعّب واحد، حتّى تُرى الفروق بالعين. نعتبر مكعّبا رؤوس وجهه السفلي أربع نقط، و نأخذ المعلم الذي مبدؤه أحد رؤوسه و أشعّته الثلاثة أحرفه الثلاثة المنطلقة منه. حرف المكعّب يؤخذ وحدة.

تكبير الصورة

و منه فإنّ ⁦( F )⁩ هو المستوي المارّ من المرجح G و العمودي على المستقيم الواصل بين C و منتصف الحرف. و يمكنك أن تتحقّق بنفسك من أنّ الرأس B ينتمي إليه: يكفي أن تحسب الجداء السلمي للشعاع المنطلق من B نحو G في الشعاع الثابت، فتجده معدوما.

الشرط السابق كان جداء سلميا معدوما. فماذا لو كان يساوي عددا ثابتا غير معدوم؟ الجواب أنّ المجموعة تبقى مستويا، لكنّه لم يعد يمرّ من النقطة الثابتة: هو مستو مواز للأوّل، و بُعده عنه يقرأ من العدد الثابت.

آخر عائلة من الشروط لا تحتوي أشعّة بل مربّعات مسافات. و العمل هو نفسه في روحه: نُدخل المرجح، فينفصل المجموع إلى حدّ واحد متغيّر و حدّ ثابت نحسبه مرّة واحدة.

و البرهان يمرّ بعلاقة شال أيضا. نكتب مربّع كلّ مسافة على أنّه مربّع طويلة مجموع شعاعين.

و منه فإنّ ⁦( L )⁩ هي سطح الكرة الذي مركزه المرجح G و نصف قطره العدد الذي وجدناه. و بما أنّ المرجح يقع في مستوي الوجه السفلي، فإنّ أثر هذا السطح على ذلك المستوي هو دائرة كبرى، أي دائرة لها نفس المركز و نفس نصف القطر.

رأينا المرجح أداةً للاختزال. و هو أيضا وصف كامل لثلاث مجموعات تعرفها منذ زمن: المستقيم و القطعة و المستوي. و هذا الوصف هو الذي يسمّى التمييز بالمرجح.

1. المستقيم المارّ من نقطتين متمايزتين هو مجموعة مراجيح هاتين النقطتين، لمّا تمسح المعاملات كلّ الأزواج ذات المجموع غير المعدوم.
2. القطعة الواصلة بينهما هي مجموعة مراجيحهما مرفقتين بمعاملين من نفس الإشارة.
3. المستوي المعيّن بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة هو مجموعة مراجيح هذه النقط الثلاث.

نبرهن الأوّل، و البرهانان الآخران يتبعان نفس الخطوات. نأخذ نقطة من المستقيم: الشعاع المنطلق من النقطة الأولى نحوها مرتبط خطّيا بالشعاع الواصل بين النقطتين.

كلّ ما رأيناه يدخل في جدول واحد. اقرأ الشرط، احسب مجموع المعاملات، ثمّ اقرأ الجواب.