مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الهندسة في الفضاء التمثيل الوسيطي لمستقيم و مستوي

المستقيمات و المستويات في الفضاء: التمثيلات الوسيطية

🔊 المعلّمة تقرأ لك
طائرة مسيّرة تنطلق من موضع معلوم و تسير في اتّجاه ثابت. لكي يعرف المراقب أين هي في كلّ لحظة، لا يكفيه أن يعرف المستقيم الذي تسير عليه: يحتاج إلى قاعدة تعطي إحداثيات الموضع انطلاقا من عدد واحد، هو الزمن المنقضي منذ الانطلاق. فكيف نكتب مستقيما من الفضاء بجملة تعطي نقطه واحدة واحدة، بدلالة عدد حقيقي واحد؟

الجواب هو الوسيط: عدد حقيقي حرّ نسمّيه t، يجري في المجموعة ℝ كلّها، و في كلّ مرّة نعطيه قيمة نحصل على نقطة واحدة من المستقيم. و العكس صحيح كذلك: كلّ نقطة من المستقيم تأتي من قيمة واحدة للوسيط. هذا التقابل بين الأعداد و النقط هو التمثيل الوسيطي، و هو الأداة التي يُبنى عليها هذا الباب كلّه: به نختبر الانتماء، و به ندرس التقاطع، و به نبرهن على انتماء أربع نقط إلى مستو واحد.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • كتابة تمثيل وسيطي لمستقيم معرّف بنقطة و شعاع توجيه، أو بنقطتين
  • قراءة نقطة و شعاع توجيه على تمثيل وسيطي معطى
  • اختبار انتماء نقطة إلى مستقيم، و استقامية ثلاث نقط
  • دراسة تقاطع مستقيمين معرّفين وسيطيا في الفضاء
  • التمييز بين مستقيمين متقاطعين و مستقيمين ليسا من نفس المستوي
  • البرهان على انتماء أربع نقط من الفضاء إلى نفس المستوي
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الأشعة في الفضاء و الارتباط الخطّي لشعاعين
  • الإحداثيات في معلم متعامد و متجانس من الفضاء
  • حلّ جملة معادلتين خطّيتين بمجهولين
  • علاقة شال و حساب مركّبات شعاع بطرف ناقص طرف

1. الشعاع الذي يحمل المستقيم

مستقيم من الفضاء يتحدّد بمعطيين لا ثالث لهما: نقطة يمرّ منها، و اتّجاه يسير فيه. و الاتّجاه يُعطى بشعاع غير معدوم يُسمّى شعاع توجيه للمستقيم.

⛔ لا تخلط بين شعاعين لا علاقة بينهما. شعاع التوجيه يحمل المستقيم و يوازيه، أمّا الشعاع الناظمي فهو عمودي على ما يوصف به. و توزيع الأدوار في هذا الباب ثابت: المستقيم يُعطى بشعاع توجيه، و المستوي يُعطى بشعاع ناظمي. و السبب واضح: لو كان الشعاع عموديا على المستقيم لما استطاع أن يحمل نقطه، و هو ما تفعله المساواة الآتية.
الشرط المتّجهي لانتماء نقطة إلى مستقيم

⭐ اقرأ المساواة في الاتّجاهين: كلّ قيمة للوسيط تصنع نقطة، و كلّ نقطة تأتي من قيمة واحدة. هذا التقابل هو ما نستثمره في كلّ تمرين من هذا الدرس.

M ∈ (D) ⟺ AM = t.u
Aنقطة معلومة من المستقيمuشعاع توجيه للمستقيم، غير معدومtالوسيط: عدد حقيقي حرّ
الوسيط يقيس التقدّم انطلاقا من النقطة الثابتة: قيمة موجبة تقدّم في جهة الشعاع، و قيمة سالبة تقدّم في الجهة المعاكسة، و القيمة المعدومة تبقيك في مكانك.

ننسب الفضاء إلى معلم متعامد و متجانس، و نكتب هذه المساواة بالإحداثيات. مركّبات الشعاع الواصل بين نقطتين هي فروق الإحداثيات، مركّبة مركّبة.

مركّبات الشعاع المتغيّر
AM = (x − xA ; y − yA ; z − zA)
مركّبات جداء الوسيط في شعاع التوجيه
t.u = (a t ; b t ; c t)
aالمركّبة الأولى لشعاع التوجيهbالمركّبة الثانية لشعاع التوجيهcالمركّبة الثالثة لشعاع التوجيه

و تساوي شعاعين يعني تساوي مركّباتهما الثلاث الواحدة بالأخرى. ننقل إحداثيات النقطة الثابتة إلى الطرف الآخر، فنحصل على الجملة التي تُكتب بها الأجوبة دائما.

تمثيل وسيطي لمستقيم من الفضاء
x = xA + a t ; y = yA + b t ; z = zA + c t ; t ∈ ℝ
⭐ الجملة تُقرأ في الاتجاهين، و هذه القراءة المزدوجة هي كلّ الدرس: الحدود الثابتة في الأسطر الثلاثة هي إحداثيات نقطة من المستقيم، و معاملات الوسيط في الأسطر الثلاثة هي مركّبات شعاع توجيه له.
✅النّتيجة: قراءة تمثيل وسيطي في الاتجاهين
ما تبحث عنهأين تقرؤه في الجملة
نقطة من المستقيمالحدود الثابتة في الأسطر الثلاثة
شعاع توجيه للمستقيممعاملات الوسيط في الأسطر الثلاثة
نقطة ذات وسيط معلومنعوّض قيمة الوسيط في الأسطر الثلاثة
التمثيل الوسيطي ليس وحيدا: تغيير النقطة الثابتة، أو ضرب شعاع التوجيه في عدد غير معدوم، يعطي جملة أخرى تصف المستقيم نفسه. لا تقلق إن اختلف جوابك عن جواب زميلك: تحقّق فقط من أنّ الشعاعين مرتبطان خطّيا و أنّ نقطته تحقّق جملتك.
مثال 1: تمثيل وسيطي لمستقيم معرّف بنقطتين

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس.

🎯المطلوب: اكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦(AB)⁩ حيث ⁦A(2 ; 2 ; −3)⁩ و ⁦B(1 ; −1 ; 0)⁩

📌المعطى
A(2 ; 2 ; −3)
📌المعطى
B(1 ; −1 ; 0)
🔹الخطوة 1: شعاع التوجيه

المستقيم معرّف بنقطتين، و الشعاع الواصل بينهما يحمله: نأخذه شعاع توجيه.

AB = (1 − 2 ; −1 − 2 ; 0 − (−3)) = (−1 ; −3 ; 3)
🔹الخطوة 2: كتابة الجملة

نأخذ النقطة الأولى نقطة انطلاق، و نكتب كلّ إحداثية بدلالة الوسيط.

x = 2 − t ; y = 2 − 3t ; z = −3 + 3t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 3: المراقبة عند الوسيط المعدوم

المراقبة الأولى: الوسيط المعدوم يجب أن يعيد نقطة الانطلاق.

t = 0 ⟹ (2 ; 2 ; −3)
🔹الخطوة 4: المراقبة عند الوسيط 1

المراقبة الثانية: الوسيط 1 يجب أن يعطي النقطة الثانية، لأنّ شعاع التوجيه هو الشعاع الواصل بينهما بالضبط.

t = 1 ⟹ (2 − 1 ; 2 − 3 ; −3 + 3) = (1 ; −1 ; 0)
✅النّتيجة
x = 2 − t ; y = 2 − 3t ; z = −3 + 3t ; t ∈ ℝ
⭐ لا تسلّم جوابا دون المراقبتين: الوسيط المعدوم يعيد النقطة الأولى، و الوسيط 1 يعيد الثانية. مراقبتان في سطرين تكشفان كلّ خطأ في حساب المركّبات.

2. اختبار انتماء نقطة إلى مستقيم

الجملة الوسيطية تعطي جوابا فوريا عن سؤال «هل هذه النقطة على المستقيم؟». نعوّض إحداثيات النقطة في الأسطر الثلاثة، فنحصل على ثلاث معادلات في مجهول واحد هو الوسيط. و الانتماء يعني وجود قيمة واحدة للوسيط تحقّق الأسطر الثلاثة في آن واحد.

شرط الانتماء
M ∈ (D) ⟺ (∃ t ∈ ℝ) xM = xA + a t ; yM = yA + b t ; zM = zA + c t
⛔ خطأ يتكرّر كلّ سنة: التلميذ يحلّ السطر الأوّل، يجد قيمة للوسيط، ثمّ يعلن الانتماء دون أن يختبر السطرين الباقيين. سطر واحد لا يكفي أبدا. و في المقابل، يكفي سطر واحد مخالف لنفي الانتماء: إن وجدت قيمتين مختلفتين توقّف، الجواب صار معلوما.
مثال 2: هل تنتمي نقطة إلى مستقيم؟

نواصل مع المستقيم ⁦(AB)⁩ و تمثيله الوسيطي المحصّل عليه في المثال السابق.

🎯المطلوب: تحقّق ممّا إذا كانت النقطة ⁦C(1 ; 3 ; 2)⁩ تنتمي إلى المستقيم ⁦(AB)⁩

📌المعطى
C(1 ; 3 ; 2)
🔹الخطوة 1: كتابة الشرط

نعوّض إحداثيات النقطة في الأسطر الثلاثة.

2 − t = 1 ; 2 − 3t = 3 ; −3 + 3t = 2
🔹الخطوة 2: الوسيط الآتي من السطر الأوّل

نحلّ السطر الأوّل: عزل الوسيط مباشرة.

2 − t = 1 ⟹ t = 1
🔹الخطوة 3: الوسيط الآتي من السطر الثاني

نحلّ السطر الثاني على حدة، دون أن نفترض شيئا عن الأوّل.

2 − 3t = 3 ⟹ −3t = 1 ⟹ t = −13
🔹الخطوة 4: الوسيط الآتي من السطر الثالث
−3 + 3t = 2 ⟹ 3t = 5 ⟹ t = 53
✅النّتيجة

القيم الثلاث مختلفة مثنى مثنى، فلا توجد قيمة واحدة تصلح للأسطر الثلاثة معا.

1 ≠ −13 ≠ 53 ⟹ C ∉ (AB)
⭐ هذا المثال هو أيضا اختبار الاستقامية: بما أنّ النقطة الثالثة ليست على مستقيم الأوّليين، فالنقط الثلاث ليست على استقامة واحدة. كلّ سؤال عن استقامية ثلاث نقط يُردّ إلى انتماء الثالثة إلى مستقيم الأوّليين.

3. قراءة تمثيل وسيطي معطى

التمرين يأتي كثيرا في الاتجاه المعاكس: تُعطى لك الجملة و يُطلب منك نقطة و شعاع توجيه. و القراءة مباشرة، بالجدول الذي رأيناه: الحدود الثابتة نقطة، و معاملات الوسيط شعاع.

مثال 3: قراءة نقطة و شعاع توجيه على جملة معطاة

نعتبر المستقيم d₁ الممثّل وسيطيا بالجملة الآتية.

🎯المطلوب: عيّن نقطة من المستقيم d₁ و شعاع توجيه له

📌المعطى
x = −2 + 5t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 1: النقطة الثابتة

الحدود الثابتة في الأسطر الثلاثة هي إحداثيات النقطة ذات الوسيط المعدوم.

A₁(−2 ; −1 ; 3)
🔹الخطوة 2: شعاع التوجيه

معاملات الوسيط في الأسطر الثلاثة هي مركّبات شعاع التوجيه.

u₁ = (5 ; −1 ; 4)
🔹الخطوة 3: المراقبة

نراقب: النقطة المحصّل عليها يجب أن تحقّق الجملة عند الوسيط المعدوم.

t = 0 ⟹ (−2 ; −1 ; 3)
✅النّتيجة
A₁(−2 ; −1 ; 3) ; u₁ = (5 ; −1 ; 4)
⭐ انتبه إلى الإشارة: في السطر الثاني الحدّ هو ناقص الوسيط، فالمركّبة الثانية لشعاع التوجيه هي ⁦−1⁩ لا 1. أخطاء الإشارة هنا تفسد كلّ ما بعدها.

4. التلاقي: دراسة تقاطع مستقيمين

ندخل الآن إلى السؤال الذي من أجله وُضع هذا الباب. في المستوي، مستقيمان إمّا متوازيان و إمّا متقاطعان. أمّا في الفضاء فهناك حالة ثالثة لا وجود لها في المستوي: مستقيمان ليسا من نفس المستوي، لا يتوازيان و لا يلتقيان أبدا.

و الطريقة ثابتة، في خطوتين لا ثالثة لهما. أوّلا نقارن شعاعي التوجيه، ثمّ نحلّ الجملة.

الاختبار الأوّل: الارتباط الخطّي لشعاعي التوجيه

شعاعا توجيه مرتبطان خطّيا يعنيان اتّجاهين متوازيين، فالمستقيمان متوازيان: إمّا منطبقان و إمّا تقاطعهما خال. و لا حاجة عندئذ إلى حلّ أيّ جملة.

u' = k.u ⟺ (D) ∥ (D')

و إن لم يكونا مرتبطين خطّيا، فالاتّجاهان مختلفان، و لم تبق إلّا حالتان: متقاطعان، أو ليسا من نفس المستوي. و للفصل بينهما نبحث عن نقطة مشتركة.

⛔ الوسيطان مستقلّان تماما: لكلّ مستقيم وسيطه الخاصّ. من كتب الوسيط نفسه في الجملتين فرض على النقطتين أن تُقطعا نفس المسافة، و هذا شرط لا وجود له في السؤال. سمّ الوسيط الثاني بحرف آخر دائما.
  1. نساوي الأسطر الثلاثة بين الجملتين، فنحصل على جملة ثلاث معادلات بمجهولين هما الوسيطان.
  2. نحلّ معادلتين منها فقط، فنحصل على قيمة لكلّ وسيط.
  3. نعوّض القيمتين في المعادلة الثالثة: إن تحقّقت فالمستقيمان متقاطعان، و إن لم تتحقّق فليسا من نفس المستوي.
  4. في حالة التقاطع نحسب نقطة التقاطع بتعويض الوسيط في إحدى الجملتين، ثمّ نراقب بالجملة الأخرى.
⭐ الخطوة الثالثة هي الخطوة التي تُنسى، و هي التي تحمل الجواب كلّه. جملة ثلاث معادلات بمجهولين لا يلزم أن تقبل حلّا: نحن نحلّ اثنتين ثمّ نختبر الثالثة. من توقّف عند المعادلتين لم يجب عن السؤال، مهما كانت حساباته صحيحة.
⭐ الفرق لا يُرى في الحساب إلّا في المعادلة الثالثة: هي وحدها التي تقول إن كان اللقاء حقيقيا أم مجرّد تقاطع في الرسم.
مثال 4: مستقيمان متقاطعان

نعتبر المستقيمين d₁ و d₂ الممثّلين وسيطيا كما يلي، بوسيطين مستقلّين.

🎯المطلوب: أدرس تقاطع المستقيمين d₁ و d₂

📌المعطى
d₁ : x = −2 + 5t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4t
📌المعطى
d₂ : x = 1 − t' ; y = 4 + 3t' ; z = 5 − t'
🔹الخطوة 1: شعاعا التوجيه

نقرأ شعاعي التوجيه على معاملات الوسيطين.

u₁ = (5 ; −1 ; 4) ; u₂ = (−1 ; 3 ; −1)
🔹الخطوة 2: اختبار التوازي

نختبر الارتباط الخطّي: النسبة بين المركّبتين الأوليين ليست هي النسبة بين الثانيتين.

5 × 3 − (−1) × (−1)=15 − 1=14 ≠ 0
🔹الخطوة 3: الجملة بالمعادلتين الأوليين

الشعاعان غير مرتبطين خطّيا، فالمستقيمان غير متوازيين: إمّا متقاطعان و إمّا ليسا من نفس المستوي.

−2 + 5t = 1 − t' ; −1 − t = 4 + 3t'
🔹الخطوة 4: العزل

نحلّ الجملة: من المعادلة الثانية نعزل الوسيط الأوّل بدلالة الثاني.

−1 − t = 4 + 3t' ⟹ t = −5 − 3t'
🔹الخطوة 5: التعويض

نعوّض في المعادلة الأولى.

−2 + 5(−5 − 3t') = 1 − t'
🔹الخطوة 6: النشر
−27 − 15t' = 1 − t'
🔹الخطوة 7: الحلّ
−14t' = 28 ⟹ t' = −2
🔹الخطوة 8: قيمة الوسيط الأوّل

نعود إلى العلاقة التي عزلنا بها الوسيط الأوّل.

t=−5 − 3(−2)=1
🔹الخطوة 9: الطرف الأوّل للمعادلة الثالثة

⭐ الخطوة التي لا تُنسى: نختبر المعادلة الثالثة بالقيمتين المحصّل عليهما.

3 + 4(1) = 7
🔹الخطوة 10: الطرف الثاني للمعادلة الثالثة
5 − (−2) = 7
🔹الخطوة 11: النقطة المشتركة

الطرفان متساويان، فالمعادلة الثالثة محقّقة: النقطة مشتركة فعلا.

(−2 + 5 ; −1 − 1 ; 3 + 4) = (3 ; −2 ; 7)
🔹الخطوة 12: المراقبة بالجملة الثانية

نراقب بالجملة الثانية عند وسيطها.

(1 + 2 ; 4 − 6 ; 5 + 2) = (3 ; −2 ; 7)
✅النّتيجة
d₁ ∩ d₂ = {(3 ; −2 ; 7)}
⭐ لاحظ أنّ المراقبة الأخيرة ليست ترفا: هي التي تكشف خطأ حسابيا في أحد الوسيطين. إن أعطت الجملتان نقطتين مختلفتين فالخطأ في الحساب، لا في الاستنتاج.
مثال 5: مستقيمان ليسا من نفس المستوي

نواصل مع المستقيم d₁ نفسه، و نعتبر المستقيم d₃ الممثّل وسيطيا كما يلي.

🎯المطلوب: أدرس تقاطع المستقيمين d₁ و d₃

📌المعطى
d₁ : x = −2 + 5t ; y = −1 − t ; z = 3 + 4t
📌المعطى
d₃ : x = −7 + 7t'' ; y = −3t'' ; z = 2t''
🔹الخطوة 1: شعاعا التوجيه

نقرأ شعاعي التوجيه.

u₁ = (5 ; −1 ; 4) ; u₃ = (7 ; −3 ; 2)
🔹الخطوة 2: اختبار التوازي

نختبر الارتباط الخطّي بالمركّبتين الأوليين و الثانيتين.

5 × (−3) − (−1) × 7=−15 + 7=−8 ≠ 0
🔹الخطوة 3: الجملة

غير مرتبطين خطّيا: نمرّ إلى الجملة بالمعادلتين الأوليين.

−2 + 5t = −7 + 7t'' ; −1 − t = −3t''
🔹الخطوة 4: العزل

نعزل الوسيط الأوّل من المعادلة الثانية.

−1 − t = −3t'' ⟹ t = 3t'' − 1
🔹الخطوة 5: التعويض

نعوّض في المعادلة الأولى.

−2 + 5(3t'' − 1) = −7 + 7t''
🔹الخطوة 6: النشر
−7 + 15t'' = −7 + 7t''
🔹الخطوة 7: الحلّ
8t'' = 0 ⟹ t'' = 0
🔹الخطوة 8: قيمة الوسيط الأوّل
t=3 × 0 − 1=−1
🔹الخطوة 9: الطرف الأوّل للمعادلة الثالثة

⭐ نختبر المعادلة الثالثة، و هنا يقع الفصل.

3 + 4(−1) = −1
🔹الخطوة 10: الطرف الثاني للمعادلة الثالثة
2 × 0 = 0
🔹الخطوة 11: باقي المعادلة الثالثة

الطرفان مختلفان: الباقي هو ⁦−1⁩، و هو غير معدوم.

−1 − 0 = −1 ≠ 0
✅النّتيجة

لا توجد قيمة للوسيطين تحقّق الأسطر الثلاثة معا، و الشعاعان غير مرتبطين خطّيا: فالمستقيمان لا يتوازيان و لا يلتقيان.

d₁ ∩ d₃ = ∅
⭐ قارن المثالين 4 و 5: نفس العمل بالحرف، و الفرق كلّه في باقي المعادلة الثالثة. معدوم يعني متقاطعان، غير معدوم يعني ليسا من نفس المستوي. اكتب هذا الباقي صراحة في ورقتك: هو الذي يحمل النقطة.
✅النّتيجة: قراءة تقاطع مستقيمين في الفضاء
شعاعا التوجيهباقي المعادلة الثالثةالوضع النسبي
مرتبطان خطّيالا حاجة إليهمتوازيان: منطبقان أو تقاطعهما خال
غير مرتبطين خطّيامعدوممتقاطعان في نقطة واحدة
غير مرتبطين خطّياغير معدومليسا من نفس المستوي

5. انتماء أربع نقط إلى نفس المستوي

و من هذا الاختبار نفسه يأتي جواب سؤال آخر من الباب: هل تنتمي أربع نقط من الفضاء إلى مستو واحد؟ الفكرة أنّنا نجمع النقط زوجين زوجين، فنحصل على مستقيمين، ثمّ ندرس تقاطعهما بالطريقة السابقة تماما.

الشرط الذي نختبره في الحالة العامّة

إن كان تقاطع المستقيمين غير خال فالنقط الأربع من نفس المستوي. و إن كان المستقيمان متوازيين متمايزين فالنتيجة هي نفسها، لأنّ مستقيمين متوازيين يعيّنان كذلك مستويا واحدا.

(PQ) ∩ (RS) ≠ ∅

و العلّة بسيطة: مستقيمان متقاطعان يعيّنان مستويا واحدا، و هذا المستوي يشمل النقط الأربع لأنّ كلّ نقطة تقع على أحد المستقيمين. و مستقيمان متوازيان متمايزان يعيّنان كذلك مستويا واحدا. أمّا مستقيمان ليسا من نفس المستوي فلا يشملهما أيّ مستو.

⭐ اختر التجميع الذي يسهّل الحساب: إن كانت إحدى النقط الأربع مشتركة بين مستقيمين، فالجواب فوري. و احرص على ألّا يكون المستقيمان منطبقين، و إلّا فالنقط الأربع على استقامة واحدة و السؤال يفقد معناه.
مثال 6: أربع نقط من نفس المستوي

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و نعتبر النقط ⁦P(1 ; 0 ; 2)⁩ و ⁦Q(3 ; 2 ; 0)⁩ و ⁦R(0 ; 1 ; 1)⁩ و ⁦S(1 ; 4 ; −2)⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ النقط الأربع تنتمي إلى نفس المستوي

📌المعطى
P(1 ; 0 ; 2) ; Q(3 ; 2 ; 0)
📌المعطى
R(0 ; 1 ; 1) ; S(1 ; 4 ; −2)
🔹الخطوة 1: شعاع توجيه للمستقيم الأوّل

نحسب الشعاع الأوّل، ثمّ نبسّط مركّباته بالقسمة على 2: الاتّجاه لا يتغيّر.

PQ = (2 ; 2 ; −2) ⟹ u = (1 ; 1 ; −1)
🔹الخطوة 2: شعاع توجيه للمستقيم الثاني
RS = (1 ; 3 ; −3)
🔹الخطوة 3: اختبار التوازي

نختبر الارتباط الخطّي بالمركّبتين الأوليين و الثانيتين.

1 × 3 − 1 × 1=2 ≠ 0
🔹الخطوة 4: تمثيل المستقيم الأوّل

غير مرتبطين خطّيا، فالمستقيمان غير متوازيين. نكتب تمثيليهما الوسيطيين بوسيطين مستقلّين.

x = 1 + t ; y = t ; z = 2 − t
🔹الخطوة 5: تمثيل المستقيم الثاني
x = t' ; y = 1 + 3t' ; z = 1 − 3t'
🔹الخطوة 6: الجملة بالمعادلتين الأوليين

نساوي السطرين الأوّلين.

1 + t = t' ; t = 1 + 3t'
🔹الخطوة 7: التعويض

نعوّض قيمة الوسيط الثاني المأخوذة من المعادلة الأولى في الثانية.

t=1 + 3(1 + t)=4 + 3t
🔹الخطوة 8: الحلّ
−2t = 4 ⟹ t = −2
🔹الخطوة 9: قيمة الوسيط الثاني
t'=1 + (−2)=−1
🔹الخطوة 10: الطرف الأوّل

⭐ نختبر المعادلة الثالثة بالقيمتين.

2 − (−2) = 4
🔹الخطوة 11: الطرف الثاني
1 − 3(−1) = 4
🔹الخطوة 12: نقطة التقاطع

المعادلة الثالثة محقّقة، فالمستقيمان متقاطعان، و نقطة التقاطع تُحسب بالتعويض.

(1 − 2 ; −2 ; 4) = (−1 ; −2 ; 4)
✅النّتيجة: تقاطع غير خال، فالنقط الأربع من نفس المستوي

مستقيمان متقاطعان يعيّنان مستويا واحدا، و هذا المستوي يشمل النقط الأربع لأنّ كلّ واحدة منها تقع على أحد المستقيمين.

(PQ) ∩ (RS) = {(−1 ; −2 ; 4)}
⭐ إن طُلب منك المستوي نفسه، فقد صار في متناولك: خذ ثلاثا من النقط الأربع و اكتب معادلته الديكارتية بالشعاع الناظمي. و هنا تجد المعادلة ⁦y + z − 2 = 0⁩، و يمكنك أن تراقبها بالنقط الأربع واحدة واحدة.
⛔ لا تعمّم من مثال واحد: لو أعطى باقي المعادلة الثالثة عددا غير معدوم لكان الجواب أنّ النقط الأربع ليست من نفس المستوي، و السؤال ينتهي هناك. جرّب بنفسك مع النقطة ذات الإحداثيات المعدومة الثلاث بدل الرابعة: ستجد باقيا غير معدوم.
⛔ في البكالوريا، أسئلة هذا الدرس تُطرح دائما في سلسلة: تمثيل وسيطي، ثمّ انتماء نقطة، ثمّ تقاطع. اكتب دائما وسيطين بحرفين مختلفين لمستقيمين مختلفين — المصحّح يبحث عن هذا قبل كلّ شيء. و لا تنس أبدا سطر المعادلة الثالثة: نصف نقاط السؤال فيه، لأنّه هو الذي يفصل بين متقاطعين و مستقيمين ليسا من نفس المستوي. و انته بجملة صريحة تسمّي الوضع النسبي، لا بقيمة عددية معلّقة.
الخلاصة: مستقيم من الفضاء يُعطى بنقطة و شعاع توجيه، و ترجمة هذين المعطيين إلى ثلاثة أسطر بدلالة وسيط واحد هي التمثيل الوسيطي. الجملة تُقرأ في الاتجاهين: الحدود الثابتة نقطة، و معاملات الوسيط شعاع توجيه. و منها تخرج ثلاث حركات تغطّي الدرس كلّه: الانتماء يقتضي وسيطا واحدا يحقّق الأسطر الثلاثة، و التقاطع يقتضي حلّ معادلتين ثمّ اختبار الثالثة — و باقي هذه المعادلة هو الذي يفصل بين متقاطعين و مستقيمين ليسا من نفس المستوي — و انتماء أربع نقط إلى مستو واحد يُردّ إلى تقاطع مستقيمين.

الصفحة 1/11

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net