مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الهندسة في الفضاء التمثيل الوسيطي لمستقيم و مستوي

الانتقال بين جملة معادلتين ديكارتيتين و تمثيل وسيطي

🔊 المعلّمة تقرأ لك
جداران مستويان في بناية يلتقيان وفق حافة واحدة. مخطّط المهندس لا يعطيك هذه الحافة مباشرة: يعطيك معادلة كلّ جدار على حدة. و أنت تريد أن تعرف نقط الحافة نقطة نقطة، لكي تضع عليها التمديدات في مواضع محدّدة. فكيف ننتقل من وصف مستقيم بجملة معادلتين إلى وصف يعطي نقطه واحدة واحدة، ثمّ نعود؟

للمستقيم في الفضاء وصفان، لا واحد. الأوّل يصفه بما يحدّه: مستويان يتقاطعان عليه، فيُعطى بجملة معادلتيهما. و الثاني يصفه بما يولّده: نقطة و شعاع توجيه، فيُعطى بتمثيل وسيطي. الوصفان يصفان الشيء نفسه، لكنّ كلّ سؤال يفضّل واحدا منهما: الانتماء و التقاطع يُحلّان بالوسيطي، و العمودية و التوازي مع مستو يُحلّان بالديكارتي. و لذلك فإنّ الحركة الأنفع في هذا الباب هي الانتقال بين الوصفين في الاتجاهين.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تبرير أنّ جملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين تعرّف مستقيما
  • اختبار تقاطع مستويين بمقارنة شعاعيهما الناظميين
  • الانتقال من جملة المعادلتين إلى تمثيل وسيطي باختيار وسيط مناسب
  • الانتقال العكسي بحذف الوسيط للحصول على معادلتين ديكارتيتين
  • مراقبة الجواب في الاتجاهين بالتعويض
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • المعادلة الديكارتية لمستو، و قراءة شعاعه الناظمي على معاملاتها
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم من الفضاء و قراءته في الاتجاهين
  • حلّ جملة معادلتين خطّيتين بمجهولين
  • الارتباط الخطّي لشعاعين في الفضاء

1. متى تعرّف جملة معادلتين مستقيما؟

نعتبر مستويين معرّفين بمعادلتين ديكارتيتين. مجموعة النقط التي تحقّق المعادلتين معا هي بالتعريف تقاطع المستويين. و هذا التقاطع لا يكون مستقيما في كلّ الحالات: عليه أن يكون تقاطع مستويين متقاطعين فعلا.

الجملة التي ندرسها
a x + b y + c z + d = 0 ; a' x + b' y + c' z + d' = 0
الشعاعان الناظميان، مقروءان على المعاملات

معاملات المجاهيل الثلاثة في معادلة مستو هي بالضبط مركّبات شعاع ناظمي له: هذه هي القراءة التي تجعل الاختبار الآتي فوريا.

n = (a ; b ; c) ; n' = (a' ; b' ; c')
شرط تقاطع المستويين

الشعاعان الناظميان غير مرتبطين خطّيا يعنيان اتّجاهين مختلفين للمستويين، فالمستويان غير متوازيين، و مستويان غير متوازيين يتقاطعان وفق مستقيم.

n' ≠ k.n
⭐ الخاصية التي يقوم عليها الدرس كلّه: مستقيم في الفضاء معرّف بجملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين. و هذا الوصف هو الوصف الطبيعي لكلّ حافّة و لكلّ محور تقاطع، لكنّه لا يعطي نقطة واحدة مباشرة: لذلك نحتاج إلى الانتقال.
⛔ لا تكتب «هذه جملة مستقيم» قبل اختبار الشعاعين الناظميين. إن كانا مرتبطين خطّيا فالمستويان متوازيان، و التقاطع إمّا خال و إمّا مستو كامل إذا انطبق المستويان. الجملة عندئذ لا تعرّف مستقيما، و كلّ ما يُبنى عليها باطل.
مستقيم التقاطع يقع في المستويين معا، فهو عمودي على الشعاعين الناظميين معا: هذه الملاحظة هي التي تعطي شعاع توجيهه دون أيّ حساب طويل.

2. من الجملة إلى التمثيل الوسيطي

العمل بسيط في مبدئه: الجملة معادلتان و المجاهيل ثلاثة، فهناك مجهول حرّ واحد. نختار أحد المجاهيل الثلاثة و نسمّيه الوسيط، ثمّ نحلّ الجملة في المجهولين الباقيين بدلالته.

  1. نتحقّق أوّلا من أنّ الشعاعين الناظميين غير مرتبطين خطّيا.
  2. نختار مجهولا نجعله وسيطا، و نضعه يساوي t.
  3. نحلّ الجملة في المجهولين الباقيين بدلالة الوسيط: جملة معادلتين بمجهولين.
  4. نكتب الأسطر الثلاثة، و نضيف دائما السطر الأخير الذي يقول إنّ الوسيط حرّ في ℝ.
  5. نراقب بتعويض الأسطر الثلاثة في المعادلتين الأصليتين: يجب أن ينعدم الطرفان مهما كانت قيمة الوسيط.
⛔ اختيار الوسيط ليس حرّا تماما. إن اخترت مجهولا يبقى معه المجهولان الآخران في جملة لا تُحلّ — أي أنّ محدّد معاملاتهما معدوم — فالطريق مسدود، و عليك أن تختار مجهولا آخر. و حتّى لمّا يكون الاختيار ممكنا، فهناك اختيار يعطي أعدادا صحيحة و آخر يعطي كسورا: جرّب المجهول الذي لا يظهر إلّا في معادلة واحدة، أو الذي معاملاته أبسط.
⭐ حيلة تختصر الوقت في المراقبة: شعاع التوجيه المحصّل عليه يجب أن يكون عموديا على الشعاعين الناظميين معا. جداءان سلميّان معدومان في سطرين يراقبان كلّ حسابك، دون أن تعوّض في المعادلتين.
مثال 1: من معادلتين إلى تمثيل وسيطي

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ اللذين معادلتاهما الديكارتيتان على الترتيب ⁦2x − y − 2z − 1 = 0⁩ و ⁦−x + 4y + z − 3 = 0⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستويين يتقاطعان، ثمّ اكتب تمثيلا وسيطيا لمستقيم تقاطعهما

📌المعطى
(P₁) : 2x − y − 2z − 1=0
📌المعطى
(P₂) : −x + 4y + z − 3=0
🔹الخطوة 1: الشعاعان الناظميان

نقرأ الشعاعين الناظميين على معاملات المجاهيل.

n₁ = (2 ; −1 ; −2) ; n₂ = (−1 ; 4 ; 1)
🔹الخطوة 2: اختبار التوازي

نختبر الارتباط الخطّي بالمركّبتين الأوليين و الثانيتين.

2 × 4 − (−1) × (−1)=8 − 1=7 ≠ 0
🔹الخطوة 3: اختيار الوسيط

غير مرتبطين خطّيا، فالمستويان يتقاطعان وفق مستقيم. نختار المجهول الثالث وسيطا.

z = t
🔹الخطوة 4: الجملة في المجهولين الباقيين

نعوّض في المعادلتين، و ننقل الحدود التي تحمل الوسيط إلى الطرف الثاني.

2x − y = 2t + 1 ; −x + 4y = 3 − t
🔹الخطوة 5: حذف المجهول الأوّل

نضرب المعادلة الثانية في 2 ثمّ نجمعها إلى الأولى، فيختفي المجهول الأوّل.

2(−x + 4y) + (2x − y)=2(3 − t) + (2t + 1)
🔹الخطوة 6: التبسيط

⭐ الحدّ بالوسيط يختفي من الطرفين في آن واحد: هذه علامة على أنّ الحساب سليم.

7y = 7
🔹الخطوة 7: قيمة المجهول الثاني
y = 1
🔹الخطوة 8: التعويض في المعادلة الأولى

نعوّض هذه القيمة في المعادلة الأولى من الجملة.

2x − 1 = 2t + 1
🔹الخطوة 9: قيمة المجهول الأوّل
2x = 2t + 2 ⟹ x = t + 1
✅النّتيجة
x = t + 1 ; y = 1 ; z = t ; t ∈ ℝ
⭐ راقب فورا بتعويض الأسطر الثلاثة في كلّ معادلة: الحدود التي تحمل الوسيط يجب أن تتلاشى، و الحدود الثابتة كذلك. سطران من المراقبة يكشفان كلّ خطأ في الحلّ، و هما مكتوبان تحت هذا المثال.
المراقبة في المعادلة الأولى
2(t + 1) − 1 − 2t − 1=0
المراقبة في المعادلة الثانية

الحدود بالوسيط تختفي، و الحدود الثابتة تتلاشى: الجملة محقّقة مهما كانت قيمة الوسيط، و هذا هو معنى «التمثيل الوسيطي لمستقيم التقاطع».

−(t + 1) + 4(1) + t − 3=0
شعاع توجيه المستقيم، مقروء على معاملات الوسيط
u = (1 ; 0 ; 1)
المراقبة بالتعامد مع الشعاع الناظمي الأوّل
u.n₁=2 + 0 − 2=0
المراقبة بالتعامد مع الشعاع الناظمي الثاني
u.n₂=−1 + 0 + 1=0
مثال 2: لمّا يغيّر اختيار الوسيط شكل الجواب

نعتبر المستويين ⁦(Q₁)⁩ و ⁦(Q₂)⁩ اللذين معادلتاهما على الترتيب ⁦4x + y + z + 10 = 0⁩ و ⁦2x + y + 3 = 0⁩.

🎯المطلوب: اكتب تمثيلا وسيطيا لمستقيم تقاطع المستويين ⁦(Q₁)⁩ و ⁦(Q₂)⁩

📌المعطى
(Q₁) : 4x + y + z + 10=0
📌المعطى
(Q₂) : 2x + y + 3 = 0
🔹الخطوة 1: الشعاعان الناظميان

نقرأ الشعاعين الناظميين: انتبه إلى أنّ معامل المجهول الثالث معدوم في الثانية.

n₁ = (4 ; 1 ; 1) ; n₂ = (2 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 2: اختبار التوازي
4 × 1 − 1 × 2=2 ≠ 0
🔹الخطوة 3: اختيار الوسيط

⭐ باختيار المجهول الأوّل وسيطا تعطي المعادلة الثانية المجهول الثاني مباشرة، ثمّ تعطي الأولى الثالث: الحلّ في سطرين بلا كسور. نضعه إذن يساوي الوسيط.

x = t
🔹الخطوة 4: المجهول الثاني

المعادلة الثانية تعطي المجهول الثاني مباشرة، دون أيّ جملة.

2t + y + 3 = 0 ⟹ y = −3 − 2t
🔹الخطوة 5: التعويض في المعادلة الأولى

نعوّض المجهولين في المعادلة الأولى لنستخرج الثالث.

4t + (−3 − 2t) + z + 10=0
🔹الخطوة 6: التبسيط
2t + 7 + z = 0
🔹الخطوة 7: المجهول الثالث
z = −7 − 2t
✅النّتيجة
x = t ; y = −3 − 2t ; z = −7 − 2t ; t ∈ ℝ
⭐ جرّب الاختيار الآخر لترى الفرق بعينك: بوضع المجهول الثالث وسيطا، ⁦z = t'⁩، تجد ⁦x = (−7 − t')/2⁩ و ⁦y = 4 + t'⁩. الجواب صحيح تماما و يصف المستقيم نفسه، لكنّه بكسور. الاختيار لا يغيّر المستقيم، يغيّر جمال الكتابة فقط.

و لكي تتأكّد بنفسك من أنّ الكتابتين تصفان المستقيم نفسه، يكفي أن تربط الوسيطين: الوسيط الأوّل هو ناقص سبعة ناقص الوسيط الثاني، كلّ ذلك على اثنين. عوّض هذه العلاقة في الكتابة الأولى فتحصل على الثانية بالضبط.

الرابط بين الوسيطين
t = −7 − t'2
شعاع توجيه المستقيم في هذا المثال
u = (1 ; −2 ; −2)
المراقبة بالتعامد مع الشعاع الناظمي الأوّل
u.n₁=4 − 2 − 2=0
المراقبة بالتعامد مع الشعاع الناظمي الثاني
u.n₂=2 − 2 + 0=0
مثال 3: الجواب معلوم، و المطلوب التحقّق منه

نعتبر المستويين ⁦(P)⁩ و ⁦(R)⁩ المعرّفين بالمعادلتين ⁦x + y = −1⁩ و ⁦2x + y + 2z = 0⁩.

🎯المطلوب: تحقّق أنّ المستويين يتقاطعان وفق مستقيم يشمل النقطة ⁦A(1 ; −2 ; 0)⁩ و موجّه بالشعاع ⁦u(−2 ; 2 ; 1)⁩

📌المعطى
(P) : x + y + 1 = 0
📌المعطى
(R) : 2x + y + 2z = 0
🔹الخطوة 1: الشعاعان الناظميان

نقرأ الشعاعين الناظميين، و معامل المجهول الثالث معدوم في الأولى.

nP = (1 ; 1 ; 0) ; nR = (2 ; 1 ; 2)
🔹الخطوة 2: اختبار التوازي
1 × 1 − 1 × 2=−1 ≠ 0
🔹الخطوة 3: انتماء النقطة إلى المستوي الأوّل

المستويان يتقاطعان. نتحقّق أوّلا من انتماء النقطة إلى المستويين معا.

1 + (−2) + 1 = 0
🔹الخطوة 4: انتماء النقطة إلى المستوي الثاني
2 − 2 + 0 = 0
🔹الخطوة 5: التعامد مع الشعاع الناظمي الأوّل

النقطة على المستقيم. نتحقّق الآن من الشعاع: عليه أن يكون عموديا على الشعاعين الناظميين معا.

u.nP=−2 + 2 + 0=0
🔹الخطوة 6: التعامد مع الشعاع الناظمي الثاني
u.nR=−4 + 2 + 2=0
🔹الخطوة 7: التمثيل الوسيطي

نكتب التمثيل الوسيطي انطلاقا من النقطة و الشعاع، ثمّ نراقبه بالمعادلتين.

x = 1 − 2t ; y = −2 + 2t ; z = t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 8: المراقبة في المعادلة الأولى
(1 − 2t) + (−2 + 2t) + 1=0
🔹الخطوة 9: المراقبة في المعادلة الثانية
2(1 − 2t) + (−2 + 2t) + 2t=0
✅النّتيجة

المعادلتان محقّقتان مهما كانت قيمة الوسيط، فالجملة تمثيل وسيطي للمستقيم.

x = 1 − 2t ; y = −2 + 2t ; z = t ; t ∈ ℝ
⭐ سؤال «تحقّق أنّ» أسهل من سؤال «عيّن»: لا تحلّ الجملة، اقلب الاتجاه و عوّض. سطران من التعويض يغنيان عن نصف صفحة من الحلّ، و التنقيط واحد.

3. الاتجاه العكسي: من التمثيل الوسيطي إلى معادلتين

الانتقال في الاتجاه الآخر أسهل، و اسمه حذف الوسيط. الجملة الوسيطية ثلاثة أسطر فيها مجهول زائد هو الوسيط: نستخرجه من سطر واحد، ثمّ نعوّضه في السطرين الباقيين، فيبقى سطران في المجاهيل الثلاثة، و هما معادلتا مستويين يتقاطعان على المستقيم.

  1. نختار سطرا يظهر فيه الوسيط بمعامل غير معدوم، و نستخرج منه الوسيط بدلالة المجهول.
  2. نعوّض هذه العبارة في السطرين الآخرين.
  3. نرتّب كلّ سطر على شكل معادلة ديكارتية، أي بطرف ثان معدوم.
  4. نراقب: النقطة ذات الوسيط المعدوم يجب أن تحقّق المعادلتين.
⛔ سطر قد لا يحتوي الوسيط أصلا، مثل سطر ثابت من الشكل «الترتيب يساوي عددا». هذا السطر هو بنفسه معادلة ديكارتية جاهزة: لا تحذف منه شيئا، خذه كما هو و اكتف بحذف الوسيط من السطرين الآخرين.
مثال 4: حذف الوسيط

نعود إلى المستقيم الذي وجدنا تمثيله الوسيطي في المثال 1.

🎯المطلوب: استنتج جملة معادلتين ديكارتيتين لهذا المستقيم بحذف الوسيط

📌المعطى
x = t + 1 ; y = 1 ; z = t ; t ∈ ℝ
🔹الخطوة 1: المعادلة الأولى

السطر الثاني لا يحتوي الوسيط أصلا: هو معادلة ديكارتية جاهزة، معادلة مستو موازٍ لأحد مستويات المعلم.

y − 1 = 0
🔹الخطوة 2: استخراج الوسيط

نستخرج الوسيط من السطر الثالث، حيث معامله يساوي 1.

t = z
🔹الخطوة 3: التعويض في السطر الأوّل

نعوّض في السطر الأوّل.

x = z + 1
🔹الخطوة 4: المعادلة الثانية

نرتّب على شكل معادلة ديكارتية بطرف ثان معدوم.

x − z − 1 = 0
🔹الخطوة 5: المراقبة في المعادلة الأولى

نراقب: النقطة ذات الوسيط المعدوم هي التي فاصلتها 1 و ترتيبها 1 و راقمها 0.

1 − 1 = 0
🔹الخطوة 6: المراقبة في المعادلة الثانية
1 − 0 − 1 = 0
✅النّتيجة
x − z − 1 = 0 ; y − 1 = 0
⭐ اقرأ الشعاعين الناظميين للمستويين الجديدين: هما ⁦(1 ; 0 ; −1)⁩ و ⁦(0 ; 1 ; 0)⁩، و كلاهما عمودي على شعاع توجيه المستقيم ⁦(1 ; 0 ; 1)⁩. مراقبة ثالثة، في سطر واحد.
⭐ و هنا تقع الملاحظة التي يجب أن تخرج بها من هذا الدرس: المستقيم الذي وجدناه في المثال 4 هو نفسه مستقيم المثال 1، و مع ذلك فمعادلتاه الجديدتان ليستا معادلتي المستويين اللذين انطلقنا منهما. و لا تناقض في ذلك: بالمستقيم الواحد يمرّ عدد لا نهائي من المستويات، فله عدد لا نهائي من جمل المعادلتين. الجملة ليست وحيدة، و المستقيم واحد.

و بالمثل، للمستقيم الواحد عدد لا نهائي من التمثيلات الوسيطية، لأنّ نقطة الانطلاق و شعاع التوجيه غير وحيدين. لا تحكم على جوابك بمطابقته لجواب الكتاب حرفا بحرف: احكم عليه بالمراقبة.

✅النّتيجة: الحركتان و مراقبة كلّ منهما
الاتجاهالعملالمراقبة التي تُنجز دائما
من معادلتين إلى تمثيل وسيطياختيار وسيط ثمّ حلّ الجملة في المجهولين الباقيينتعويض الأسطر الثلاثة في المعادلتين: انعدام مهما كان الوسيط
من تمثيل وسيطي إلى معادلتيناستخراج الوسيط من سطر ثمّ تعويضه في السطرين الآخرينالنقطة ذات الوسيط المعدوم تحقّق المعادلتين
في الاتجاهين معاقراءة شعاع التوجيه و الشعاعين الناظميينالجداءان السلميّان لشعاع التوجيه في الشعاعين الناظميين معدومان
⛔ في البكالوريا، هذا الانتقال ليس سؤالا مستقلّا في الغالب: هو الخطوة الأولى من تمرين أطول، و كلّ ما بعده مبنيّ عليه. ابدأ دائما بسطر «الشعاعان الناظميان غير مرتبطين خطّيا، إذن المستويان يتقاطعان وفق مستقيم» — إنّه سطر يُنقّط. ثمّ صرّح باختيار الوسيط في سطر مستقلّ. و اختم بالمراقبة: التعويض في المعادلتين يكلّفك سطرا و يشتري لك كامل السؤال. و لا تقلق إن اختلف شكل جوابك عن شكل الحلّ النموذجي: التمثيل الوسيطي ليس وحيدا، و المصحّح يعرف ذلك.
الخلاصة: للمستقيم في الفضاء وصفان متكافئان. جملة معادلتين ديكارتيتين تصفه بمستويين يتقاطعان عليه، و لا تصلح إلّا إذا كان الشعاعان الناظميان غير مرتبطين خطّيا. و التمثيل الوسيطي يصفه بنقطة و شعاع توجيه، و يعطي نقطه واحدة واحدة. الانتقال من الأوّل إلى الثاني: نختار مجهولا وسيطا و نحلّ الجملة في المجهولين الباقيين. و الانتقال العكسي: نستخرج الوسيط من سطر و نعوّضه في السطرين الآخرين. و في الاتجاهين، المراقبة الوحيدة التي لا تُترك هي أنّ شعاع التوجيه عمودي على الشعاعين الناظميين معا.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net