الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية) › الإستمرارية
مبرهنة القيم المتوسطة و استعمالها في إثبات وجود حلول
بمبرهنة تقول شيئا بسيطا: دالة مستمرّة لا تقفز، فهي مجبرة على المرور بكلّ قيمة بين طرفَيها. الوجود يُستنتج من الاستمرارية، لا من الحساب.
- توظيف مبرهنة القيم المتوسطة لإثبات وجود حلّ لمعادلة
- إثبات وحدانية الحلّ باستعمال الرتابة التامّة
- تعيين حصر لحلّ بسعة معطاة
- استمرارية دالة على مجال مغلق
- قراءة جدول تغيّرات و استنتاج الرتابة
1. مبرهنة القيم المتوسطة
و تبقى صحيحة إذا كان f(b) ≤ k ≤ f(a): يكفي أن يكون k محصورا بين f(a) و f(b). تُقبل دون برهان. و هي تؤكّد الوجود فقط: لا تعطي c، و لا تقول كم عددها.
و منها حالة خاصّة تُستعمل كثيرا: إذا كان جداء الصورتين سالبا، فالعدد صفر محصور بينهما، و الدالة تنعدم مرّة واحدة على الأقلّ.
2. متى يكون الحلّ وحيدا
المبرهنة السابقة تعطي الوجود. الرتابة التامّة تضيف الوحدانية، و هذه تُبرهن:
و تبقى صحيحة إذا كانت f متناقصة تماما و f(b) ≤ k ≤ f(a). البرهان بالخلف: لو وُجد حلّان مختلفان c و c' لكان f(c) = f(c') مع c ≠ c'، و هذا يناقض الرتابة التامّة نفسها.
3. الطريقة، في ثلاث خطوات
كلّ تمرين من هذا النوع يُحلّ بنفس الترتيب، و السلّم ينقّط الخطوات لا النتيجة:
- نكتب المعادلة على الشكل f(x) = k
- نتحقّق من استمرارية f على المجال
- نتحقّق من أنّ k محصور بين f(a) و f(b)
🎯المطلوب: برهن باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة أنّ المعادلة تقبل حلّا في المجال المعطى.
نُرجع المعادلة إلى الشكل المطلوب باختيار دالة.
f كثير حدود، فهي مستمرّة على ℝ و من ثمّ على المجال.
نحسب الصورتين عند الطرفين.
العدد −2 محصور بين −4 و −1، فالشرط الثالث محقّق.
🎯المطلوب: بيّن أنّ المعادلة f(x) = 8 تقبل حلّا وحيدا في المجال [−2 ; 1]، ثمّ أوجد له حصرا سعته جزء من مائة.
نشتقّ ثمّ نحلّل المشتقّة لنقرأ إشارتها.
نحسب صور نقاط الجدول.
العدد 8 محصور بين −6 و 21، و f مستمرّة لأنّها كثير حدود.
على [−2 ; 1] المشتقّة سالبة، فالدالة متناقصة تماما: الحلّ يصبح وحيدا.
بالحاسبة البيانية نقرأ قيمة مقرّبة لفاصلة نقطة التقاطع مع المستقيم y = 8.
لا يكفي أن نقرأ القيمة على الحاسبة: الحصر يُبرَّر بحساب الصورتين عند طرفَيه. نبدأ بالطرف الأيسر و نحسب حدّا حدّا.
و نعوّض بالطرف الأيمن بالطريقة نفسها.
الدالة متناقصة تماما على [−2 ; 1]، و العدد 8 محصور بين الصورتين، فالحلّ c محصور بين الفاصلتين، و سعة الحصر جزء من مائة كما هو مطلوب.
🎯المطلوب: برهن أنّ المعادلة تقبل حلّا وحيدا، أوجد له حصرا سعته عُشر، ثمّ عيّن إشارة الدالة.
نشتقّ: المشتقّة سالبة تماما دون أيّ حساب إضافي.
مربّع زائد اثنين موجب دائما، و السالب يقلبه.
مع النهايتين اللانهائيتين المتعاكستين، تعبر الدالة الصفر مرّة واحدة بالضبط.
بجدول قيم بخطوة عُشر، نبحث عن تغيّر الإشارة.
الإشارة تغيّرت بين القيمتين، فالحلّ بينهما.
الصفحة 1/7
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net