الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية (النهايات) النهايات غير منتهية لدالة عند عدد

النهايات و المستقيمات المقاربة الموازية للمحورين

🔊 المعلّمة تقرأ لك

منحنى يقترب من مستقيم كلّما ابتعدنا، دون أن يبلغه أبدا. و منحنى آخر ينفجر نحو الأعلى كلّما اقتربنا من عدد ممنوع. فكيف نصف بدقّة ما يفعله المنحنى حيث لا نستطيع الحساب؟

النهاية ليست قيمة تُحسب، بل سلوك يُوصف: إلى أين تتّجه الصور، لا ماذا تساوي. و هذا الوصف يُقرأ على الرسم مستقيما يقترب منه المنحنى: المستقيم المقارب.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعيين نهاية دالة عند اللانهاية و عند عدد حقيقي
قراءة النهاية على شكل مستقيم مقارب موازٍ لأحد المحورين
إثبات نهاية باستعمال التعريف

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب صور بدالة ناطقة أو صمّاء
تعيين القيمة التي تُعدم مقاما

منحنيان: الأوّل يقترب من محور الفواصل لمّا يكبر x، و الثاني يقترب من مستقيم عمودي لمّا يقترب x من واحد — و هذان هما المستقيمان المقاربان. — المقارب الأفقي يُقرأ لمّا يهرب x، و المقارب العمودي لمّا تهرب الدالة.

1. نهاية منتهية عند اللانهاية

القول إنّ نهاية f عند اللانهاية هي العدد l يعني أنّ كلّ مجال مفتوح شامل لـ l يشمل كلّ صور x الكبيرة بالقدر الكافي. أي أنّ الصور تتجمّع حول l و لا تغادره.

منحنى دالة يدخل شريطا أفقيا حول المستوى l ابتداءً من فاصلة معيّنة، و لا يغادره. — مهما ضاق المجال المفتوح حول l، يدخله المنحنى ابتداءً من فاصلة معيّنة و لا يغادره: الصور تتجمّع حول l.

الكتابة

lim(x → +∞) f(x) = l

و هذه النهاية تُقرأ مباشرة على الرسم: المنحنى يلتصق بمستقيم أفقي.

المقارب الأفقي

المستقيم ذو المعادلة ⁦y = l⁩ مقارب للمنحنى عند اللانهاية. و نحصل على نتيجة مماثلة عند اللانهاية السالبة.

lim(x → +∞) f(x) = l ⟹ (D) : y = l

2. نهاية غير منتهية عند اللانهاية

هنا الصور لا تتجمّع: تهرب. القول إنّ النهاية هي اللانهاية الموجبة يعني أنّ كلّ مجال من الشكل من A إلى اللانهاية يشمل كلّ الصور من أجل x كبيرة بالقدر الكافي، مهما كان A.

الحالتان

lim(x → +∞) f(x) = +∞ ; lim(x → +∞) f(x) = -∞

3. النهايات المرجعية

هذه النهايات تُحفظ، و كلّ ما يأتي بعدها يُبنى عليها:

x و x² و x³ و ⁦√x⁩ تؤول كلّها إلى +∞ عند +∞
x تؤول إلى -∞ و x³ تؤول إلى -∞ عند -∞، بينما x² تؤول إلى +∞
⁦1/x⁩ تؤول إلى 0 عند +∞ و عند -∞
⁦1/x⁩ تؤول إلى +∞ عند 0 من اليمين، و إلى -∞ عند 0 من اليسار

جدول نهايات الدوال المرجعية عند ناقص ما لا نهاية و زائد ما لا نهاية. — النهايات المرجعية في جدول واحد: تُحفظ، و كلّ ما بعدها يُبنى عليها.

4. النهاية عند عدد حقيقي و المقارب العمودي

نفس المنطق، لكنّ x لم يعد يهرب: هو الذي يقترب من عدد محدّد. إذا انفجرت الدالة هناك، فالمستقيم العمودي عند ذلك العدد مقارب للمنحنى.

المقارب العمودي

يكفي أن تنفجر الدالة في جهة واحدة، من اليمين أو من اليسار، ليكون المستقيم مقاربا.

lim(x → a) f(x) = ±∞ ⟹ (D) : x = a

انتبه إلى الاتجاه: المقارب الأفقي يُقرأ لمّا يهرب x، و المقارب العمودي يُقرأ لمّا تهرب الدالة. في الأوّل x هو الذي يذهب بعيدا، و في الثاني هي الصور.

مثال 1: إثبات نهاية معدومة بالتعريف

🎯المطلوب: أثبت باستعمال التعريف أنّ نهاية الدالة عند اللانهاية معدومة.

📌المعطى

f(x) = 2/(x - 3) ; x ∈ ]3 ; +∞[

🔹الخطوة 1: المجال

نأخذ مجالا مفتوحا كيفيّا يشمل 0، و نبحث متى تدخل الصور فيه.

I = ]a ; b[ ; a < 0 < b

🔹الخطوة 2: الشرط

من أجل x أكبر من 3 يكون الكسر موجبا، فالشرط الأدنى محقّق تلقائيا. يبقى الشرط الأعلى.

2x - 3 < b

🔹الخطوة 3: العزل

نقلب المتراجحة على الموجبات ثمّ نعزل x.

x > 3 + 2b

✅النّتيجة

lim(x → +∞) f(x) = 0

منحنى دالة ناطقة يقترب من محور الفواصل، و شريط أفقي حوله يدخله المنحنى ابتداءً من عتبة معلّمة. — بعد العتبة ⁦3 + 2/b⁩ يبقى المنحنى داخل الشريط: هذه العتبة الصريحة هي ما يُثبت النهاية.

التعريف يُطلب صراحة في السؤال أحيانا. الخطوة التي تُنقّط هي الثالثة: أن تُظهر عتبة صريحة لـ x بدلالة b. بدونها لم تُثبت شيئا.

مثال 2: إثبات نهاية لانهائية بالتعريف

🎯المطلوب: أثبت باستعمال التعريف أنّ نهاية الدالة عند اللانهاية هي اللانهاية الموجبة.

📌المعطى

f(x) = √(x - 3) ; x ∈ [3 ; +∞[

🔹الخطوة 1: الشرط

نأخذ A موجبا كيفيّا، و نبحث متى تتجاوزه الصور.

√(x - 3) ≥ A

🔹الخطوة 2: التربيع

نربّع الطرفين، و هو مسموح لأنّهما موجبان.

x - 3 ≥ A²

🔹الخطوة 3: العزل

x ≥ A² + 3

✅النّتيجة

lim(x → +∞) f(x) = +∞

منحنى دالة الجذر يصعد بلا حدّ، و مستوى أفقي A يتجاوزه المنحنى ابتداءً من عتبة معلّمة. — مهما كان A، بعد العتبة ⁦A² + 3⁩ تتجاوز الصور A: هذا معنى أنّ النهاية ⁦+∞⁩.

لاحظ التناظر التامّ مع المثال السابق: هناك بحثنا عن عتبة تُدخل الصور في مجال صغير، و هنا عن عتبة تُخرجها فوق A. نفس الحركة، اتجاهان.

مثال 3: نهاية عند عدد حقيقي و المقارب العمودي

🎯المطلوب: أثبت أنّ الدالة تنفجر عند 1، ثمّ استنتج معادلة المستقيم المقارب العمودي.

📌المعطى

f(x) = 3/√(x - 1) ; x ∈ ]1 ; +∞[

🔹الخطوة 1: الشرط

نأخذ A موجبا تماما و نبحث متى تتجاوزه الصور.

3√(x - 1) ≥ A

🔹الخطوة 2: القلب

نقلب الكسرين، فتنقلب المتراجحة.

√(x - 1) ≤ 3A

🔹الخطوة 3: التربيع

نربّع ثمّ نعزل x.

x - 1 ≤ 9A²

🔹الخطوة 4: المجال

x ∈ ]1 ; 1 + 9/A²]

✅النّتيجة

بما أنّ A يمكن أخذه كبيرا كما نشاء، يمكن جعل الصور كبيرة كما نشاء.

lim(x → 1) f(x) = +∞ ⟹ (D) : x = 1

المقارب العمودي يُبحث دائما عند القيم الممنوعة من مجال التعريف، لا في مكان آخر. عيّن مجال التعريف أوّلا، و ستعرف أين تبحث.

سؤال النهايات يفتح كلّ دراسة دالة في الباكالوريا، و هو مجّاني إذا رتّبت عملك: مجال التعريف أوّلا، ثمّ النهايات عند أطرافه، ثمّ المقاربات التي تُستنتج منها مباشرة. لا تكتب مقاربا دون النهاية التي تبرّره: السلّم ينقّط الربط لا الرسم.

الخلاصة: النهاية تصف سلوكا لا تحسب قيمة. نهاية منتهية عند اللانهاية تعطي مقاربا أفقيا، و نهاية لانهائية عند عدد حقيقي تعطي مقاربا عموديا. و في الحالتين، الرسم لا يفعل سوى أن يُظهر ما قالته النهاية.

الصفحة 1/8