الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

الاستدلال بالتراجع و تطبيقاته

🔊 المعلّمة تقرأ لك

رأيت في الحصّة السابقة أنّ مجموع الأعداد الفردية المتتابعة مربّع تامّ، و تحقّقت منه إلى غاية 55. لكنّ الخاصية تدّعي صحّتها من أجل كلّ عدد طبيعي، و الأعداد الطبيعية لا تنتهي: لا حساب مهما طال يستطيع التحقّق منها كلّها. فكيف نبرهن على خاصية تخصّ عددا لا نهائيا من الحالات؟

الاستدلال بالتراجع هو الأداة التي تحوّل عددا لا نهائيا من عمليات تحقّق إلى برهانين فقط. و هو مبدأ مسلّم به في بناء الأعداد الطبيعية: لا يُبرهن، بل يُؤسَّس عليه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تحرير برهان بالتراجع في مرحلتين مفصولتين
التمييز بين الخاصية الابتدائية و الخاصية الوراثية
بيان لماذا لا تكفي الوراثة وحدها
توظيف فرضية التراجع في متباينة و في قابلية القسمة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

مفهوم المتتالية و الرتبة
الحساب الجبري و قابلية القسمة في مجموعة الأعداد الطبيعية

1. المبدأ

لتكن ⁦P(n)⁩ خاصية متعلّقة بعدد طبيعي n، و n₀ عدد طبيعي. للبرهان على صحّة ⁦P(n)⁩ من أجل كلّ عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي n₀، يكفي ما يلي.

المرحلة 1 — الخاصية الابتدائية: نتأكّد من صحّة الخاصية من أجل n₀، أي ⁦P(n₀)⁩
المرحلة 2 — الخاصية الوراثية: نفرض الخاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي n أكبر من أو يساوي n₀ (فرضية التراجع)، و نبرهن أنّها صحيحة من أجل ⁦n+1⁩

مبدأ التراجع

⭐ الوراثة تنقل الصحّة من كلّ رتبة إلى التي تليها، و الخاصية الابتدائية تشعل السلسلة. بدون الأولى لا انتقال، و بدون الثانية لا انطلاق.

[P(n₀) ; (∀ n ≥ n₀) P(n) ⟹ P(n+1)] ⟹ (∀ n ≥ n₀) P(n)

P(n)الخاصية المدروسة، المتعلّقة بالعدد الطبيعي nn₀الرتبة التي تبدأ منها الخاصية

خمسة أحجار دومينو متراصّة: الأوّل يسقط بفعل المرحلة الأولى، و كلّ حجر يُسقط الذي يليه بفعل الوراثة، فتسقط السلسلة كلّها. — الوراثة وحدها لا تُسقط شيئا: لولا الحجر الأوّل لبقيت السلسلة قائمة إلى الأبد، و هي بالضبط حالة الخاصية الوراثية الخاطئة.

2. لماذا الخاصية الابتدائية ضرورية

قد تكون خاصية وراثية دون أن تكون صحيحة أبدا. المثال الذي يقدّمه المنهاج نفسه قاطع: الخاصية «3 مرفوعا إلى الأسّ n يقبل القسمة على 5».

خاصية وراثية و خاطئة

لأنّ ⁦⁦3ⁿ⁺¹ = 3 × 3ⁿ⁩⁩: إن قسم 5 العدد الأوّل قسم جداءه في 3. فالوراثة محقّقة تماما. و مع ذلك المرحلة الأولى لا تتحقّق: ⁦3⁰ = 1⁩ لا يقبل القسمة على 5، فالمبدأ لا يُطبَّق. و الخاصية خاطئة فعلا عند كلّ رتبة، لكنّ هذا لا يُستنتج من سقوط المرحلة الأولى.

3ⁿ = 5k ⟹ 3ⁿ⁺¹ = 3 × 5k = 5(3k)

⛔ سلسلة دومينو لا تسقط إن لم يُسقط أحد أوّلها. الوراثة تقول «إن سقط واحد سقط الذي يليه»؛ هي لا تقول أنّ أحدا سقط. لا تكتب برهانا بالتراجع دون المرحلة 1 — و لا تكتفِ بكتابة «المرحلة 1 محقّقة»: بيّن الحساب.

3. كيف يُحرَّر البرهان

نسمّي الخاصية: « نضع ⁦P(n)⁩ الخاصية … » — بجملة واحدة صريحة
المرحلة 1: نعوّض n بـ n₀ في الطرفين و نتحقّق بالحساب
المرحلة 2: « نفرض ⁦P(n)⁩ صحيحة من أجل n كيفي ≥ n₀ » ثمّ « و نبرهن ⁦P(n+1)⁩ »
نكتب ما نريد بلوغه قبل أن نحسب: هذا ما يوجّه كلّ السطور التالية
نخلص: « حسب مبدأ التراجع، ⁦P(n)⁩ صحيحة من أجل كلّ ⁦n ≥ n₀⁩ »

⭐ الحركة الأساسية دائما واحدة: أظهر في عبارة الرتبة ⁦n+1⁩ عبارة الرتبة n، ثمّ عوّضها بفرضية التراجع. في قابلية القسمة نكتب فرضية التراجع في صيغة ⁦⁦= k⁩⁩، و في المتباينة نستعمل الطرف الذي تعطيه الفرضية لنكبّر أو نصغّر.

مثال 1: قابلية القسمة

نعتبر الخاصية المتعلّقة بالعدد الطبيعي n: «4 مرفوعا إلى الأسّ n زائد 2 مضاعف للعدد 3».

🎯المطلوب: برهن بالتراجع أنّ هذه الخاصية صحيحة من أجل كلّ عدد طبيعي n.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية بجملة صريحة.

P(n) : 4ⁿ + 2 = 3k

🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة صفر بالحساب، لا بالادّعاء.

4⁰ + 2=1 + 2=3=3 × 1

🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية، و نكتب الفرضية في صيغة صالحة للتعويض.

4ⁿ + 2 = 3k ⟹ 4ⁿ = 3k − 2

🔹الخطوة 4: الهدف

نكتب ما نريد بلوغه: العبارة عند الرتبة الموالية.

4ⁿ⁺¹ + 2 = ?

🔹الخطوة 5: إظهار الفرضية

نُظهر عبارة الرتبة n بإخراج العامل 4.

4ⁿ⁺¹ + 2=4ⁿ × 4 + 2=(3k − 2) × 4 + 2

🔹الخطوة 6: النشر

ننشر و نجمع.

=12k − 8 + 2=12k − 6

✅النّتيجة

و نخرج العامل 3، فتظهر قابلية القسمة.

= 3(4k − 2)

⭐ الخطوة 3 هي المفتاح: كتابة فرضية التراجع في صيغة ⁦⁦4ⁿ = 3k − 2⁩⁩ هي التي تجعل التعويض ممكنا في الخطوة 5. من ترك الفرضية في صيغة المجموع لم يجد أين يستعملها.

مثال 2: متباينة

نعتبر الخاصية «3 مرفوعا إلى الأسّ n أكبر من أو يساوي مائة n»، من أجل كلّ عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي 6.

🎯المطلوب: برهن بالتراجع على صحّة هذه الخاصية.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية، و ننتبه إلى أنّها تبدأ من الرتبة ستّة لا صفر.

P(n) : 3ⁿ ≥ 100n (n ≥ 6)

🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة ستّة بحساب الطرفين.

3⁶ = 729 ; 100 × 6 = 600 ⟹ 729 ≥ 600

🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية أكبر من ستّة.

3ⁿ ≥ 100n

🔹الخطوة 4: الضرب

نضرب الطرفين في 3، فتبقى المتباينة في اتّجاهها لأنّ 3 موجب.

3ⁿ⁺¹ = 3 × 3ⁿ ≥ 300n

🔹الخطوة 5: الفصل

نفصل ثلاثمائة إلى مائة زائد مائتين، لنُظهر الطرف المطلوب.

300n = 100n + 200n

🔹الخطوة 6: تكبير الباقي

و من الرتبة ستّة نحصر الجزء الثاني من الأسفل.

n ≥ 6 ⟹ 200n ≥ 1200 ≥ 100

✅النّتيجة

فنجمع الحصرين.

3ⁿ⁺¹ ≥ 100n + 100 = 100(n + 1)

⭐ لماذا تبدأ من ستّة و ليس من صفر؟ لأنّها خاطئة من الرتبة واحد إلى الرتبة خمسة (و إن صحّت عند الصفر): عند الرتبة خمسة، ⁦3⁵ = 243⁩ و ⁦100×5 = 500⁩، فالمتباينة مقلوبة. الرتبة الابتدائية ليست اختيارا تجميليا: هي جزء من الخاصية. و لاحظ في الخطوة 6 أنّنا استعملنا ⁦⁦n ≥ 6⁩⁩ — الفرضية وحدها لم تكن تكفي.

مثال 3: أسّان في آن واحد

نعتبر الخاصية المتعلّقة بالعدد الطبيعي n: «3 مرفوعا إلى الأسّ ⁦2n+1⁩، زائد 2 مرفوعا إلى الأسّ ⁦n+2⁩، مضاعف للعدد 7».

🎯المطلوب: برهن بالتراجع على صحّة هذه الخاصية من أجل كلّ عدد طبيعي n.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية.

P(n) : 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²=7k

🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة صفر.

3¹ + 2²=3 + 4=7=7 × 1

🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية و نعزل الأسّ الأوّل.

3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺² = 7k ⟹ 3²ⁿ⁺¹ = 7k − 2ⁿ⁺²

🔹الخطوة 4: إظهار الفرضية

نكتب عبارة الرتبة الموالية و نُظهر أسّي الرتبة n.

3²ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺³=3²ⁿ⁺¹ × 9 + 2ⁿ⁺² × 2

🔹الخطوة 5: التعويض

نعوّض الأسّ الأوّل بما تعطيه الفرضية.

=(7k − 2ⁿ⁺²) × 9 + 2ⁿ⁺² × 2

🔹الخطوة 6: التجميع

ننشر و نجمع حدّي الأسّ الثاني.

=63k − 9 × 2ⁿ⁺² + 2 × 2ⁿ⁺²=63k − 7 × 2ⁿ⁺²

✅النّتيجة

و نخرج العامل سبعة.

= 7(9k − 2ⁿ⁺²)

⭐ لمّا تظهر قوّتان، عزل واحدة يكفي. عزلنا الأولى في الخطوة 3، و تركنا الثانية تظهر من تلقائها في الخطوة 6. لو حاولنا عزل الاثنتين لدخلنا في متاهة.

مثال 4: البرهان الثاني لنتيجة معروفة

رأيت في الحصّة السابقة أنّ مجموع الأعداد الفردية المتتابعة يساوي مربّع عددها، و برهنت ذلك بدستور مجموع متتالية حسابية.

🎯المطلوب: برهن على النتيجة نفسها مرّة أخرى، هذه المرّة بالاستدلال بالتراجع.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية.

P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)=n²

🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة واحد: الطرف الأيسر حدّ واحد.

1 = 1²

🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية.

1 + 3 + ... + (2n − 1)=n²

🔹الخطوة 4: الحدّ المضاف

عبارة الرتبة الموالية هي المجموع نفسه، زائد الحدّ الفردي الموالي.

1 + 3 + ... + (2n − 1) + (2n + 1)

🔹الخطوة 5: التعويض

نعوّض المجموع الأوّل بفرضية التراجع.

= n² + 2n + 1

✅النّتيجة

و نتعرّف على متطابقة شهيرة.

= (n + 1)²

⭐ برهانان لنتيجة واحدة، و كلّ منهما يعلّم شيئا مختلفا. الأوّل، بدستور المجموع، يقول من أين تأتي النتيجة. و هذا، بالتراجع، يقول أنّها لا تسقط أبدا مهما بعدت الرتبة. الأوّل يفسّر، و الثاني يضمن. ⚖️ و لاحظ أنّ التراجع لا يكتشف النتيجة: كان يجب تخمينها أوّلا — و هذا بالضبط دور النشاط.

⛔ في الباكالوريا، البرهان بالتراجع يُنقّط على شكله بقدر ما يُنقّط على حسابه: تسمية الخاصية، مرحلة أولى محسوبة لا مُدّعاة، فرضية معلنة صراحة، هدف مكتوب قبل الحساب، و خلاصة. ⛔ و الخطأ القاتل هو استعمال ما نريد إثباته داخل البرهان — اقرأ سطورك و اسأل: هل استعملت ⁦P(n)⁩ أم ⁦P(n+1)⁩ ؟

الخلاصة: الاستدلال بالتراجع يستبدل بعدد لا نهائي من عمليات التحقّق برهانين: خاصية ابتدائية تُشعل السلسلة، و خاصية وراثية تنقلها من رتبة إلى التي تليها. الوراثة وحدها لا تكفي — «3ⁿ يقبل القسمة على 5» وراثية و خاطئة. و التراجع لا يكتشف: هو يضمن ما خمّنته.

الصفحة 1/8

📍 خلال السنة

🟦 ف1 · 🟩 ف2 · 🟪 ف3 · 📝 امتحانات الأسابيع 14/27/36 · 🎓 بكالوريا

📌 لتتذكّر

الخلاصة: الاستدلال بالتراجع يستبدل بعدد لا نهائي من عمليات التحقّق برهانين: خاصية ابتدائية تُشعل السلسلة، و خاصية وراثية تنقلها من رتبة إلى التي تليها. الوراثة وحدها لا تكفي — «3ⁿ يقبل القسمة على 5» وراثية و خاطئة. و التراجع لا يكتشف: هو يضمن ما خمّنته.

مبدأ التراجع

[P(n₀) ; (∀ n ≥ n₀) P(n) ⟹ P(n+1)] ⟹ (∀ n ≥ n₀) P(n)

P(n)الخاصية المدروسة، المتعلّقة بالعدد الطبيعي nn₀الرتبة التي تبدأ منها الخاصية

خاصية وراثية و خاطئة

3ⁿ = 5k ⟹ 3ⁿ⁺¹ = 3 × 5k = 5(3k)