مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

دستور موافر

🔊 المعلّمة تقرأ لك
احسب القوّة السادسة للعدد المركب المكتوب بالجذر التربيعي للعدد 3 زائد الوحدة التخيلية. بالنشر تحتاج خمس ضربات متتابعة، و في كل سطر منها فرصة لخطإ في إشارة أو في حدّ. فهل توجد طريقة تعطي هذه القوّة في سطرين، مهما كان الأسّ كبيرا؟

الجواب نعم، و الفكرة في سطر واحد: الضرب في عدد يجمع العمدتين و يضرب الطويلتين. فإن ضربنا العدد في نفسه n مرّة، فقد جمعنا عمدته إلى نفسها n مرّة و ضربنا طويلته في نفسها n مرّة. الجمع المتكرّر ضرب، و الضرب المتكرّر قوّة: و هذا كل الدستور الذي يحمل اسم دي موافر.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • كتابة دستور موافر بشكليه: الأسّي و المثلثي
  • برهان الدستور بالاستدلال بالتراجع على الأسّ
  • حساب قوّة عدد مركب بعد كتابته على الشكل الأسّي
  • التعرّف على أن قوّة عدد مركب قد تكون عددا حقيقيا
  • توظيف الدستور لنشر جيب تمام الزاوية الثلاثية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الشكل المثلثي و الشكل الأسّي لعدد مركب غير معدوم
  • أن طويلة الجداء هي جداء الطويلتين، و أن عمدته مجموع العمدتين بترديد 2π
  • الاستدلال بالتراجع: التحقّق من أجل أصغر قيمة، ثم الانتقال من رتبة إلى التي تليها

1. من أين يأتي الدستور

لدينا من الدرس السابق خاصيتان، إحداهما على الطويلة و الأخرى على العمدة، و كلتاهما تقول الشيء نفسه عن الجداء: الطويلات تُضرب و العُمَد تُجمع.

طويلة الجداء
|z · z'| = |z| · |z'|
عمدة الجداء
arg(z · z') ≡ arg(z) + arg(z') [2π]

و ما دام هذا صحيحا لعددين، فهو صحيح لعدد مضروب في نفسه. و بتكرار الخطوة نحصل على الخاصيتين المرافقتين للقوّة، و هما وجها الدستور الواحد.

طويلة القوّة
|zn| = |z|n
عمدة القوّة

⭐ انتبه إلى الترديد: كتابة هذه المساواة بمساواة جافّة غير صحيحة بمجرد ما يخرج جداء الأسّ في العمدة من المجال المختار. الترديد ليس تفصيلا تجميليا.

arg(zn) ≡ n arg(z) [2π]

2. الدستور، بشكليه

العدد الذي طويلته 1 هو الحالة الأبسط، و هي التي يُصاغ فيها الدستور عادة. نكتبه بالترميز الأسّي، فيصير الدستور سطرا واحدا يشبه قاعدة القوى التي تعرفها في الأعداد الحقيقية.

دستور موافر، الشكل الأسّي

اقرأه هكذا: رفع إلى القوّة n لا يفعل شيئا سوى ضرب العمدة في n. الطويلة هنا 1، فلا شيء يتغيّر فيها.

(eiθ)n = ei nθ
θقيس بالرديان لعمدة العددnعدد طبيعي غير معدوم
دستور موافر، الشكل المثلثي

هذه هي الصيغة التاريخية، و هي نفسها بعد فكّ الترميز الأسّي. ⛔ و لاحظ الوحدة التخيلية في الطرفين: بدونها يصير الطرف الأيمن عددا حقيقيا و تسقط المساواة.

(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)

و إذا كانت الطويلة تختلف عن 1، فلا شيء يتغيّر في الزاوية: تُضاف إليها الطويلة مرفوعة إلى القوّة نفسها. و هذه هي الصيغة التي تُستعمل في التمارين.

قوّة عدد مركب أيّا كانت طويلته

⭐ سطران فقط: الطويلة تُرفع إلى القوّة، و العمدة تُضرب في الأسّ. احفظ هذه الجملة و ستعيد بناء الدستور كلما نسيته.

zn = rn(cos(nθ) + i sin(nθ))
rطويلة العدد المركب zθقيس لعمدة العدد المركب z
⚠️ الدستور مذكور هنا من أجل أسّ طبيعي غير معدوم. و من أجل الأسّ 0 تصير المساواة بديهية لأن كل عدد غير معدوم مرفوع إلى القوّة 0 يساوي 1. ⛔ الدستور بالشكل الأسّي ⁦(eiθ)n = einθ⁩ يخصّ الأعداد التي طويلتها 1؛ أمّا عدد طويلته r فتُرفع طويلته معه: ⁦(r eiθ)n = rn einθ⁩.

و الاسم من صاحبه: أبراهام دي موافر، عالم رياضيات وُلد سنة 1667 و توفّي سنة 1754، أضاف إضافات هامة في حساب المثلثات و في حساب الاحتمالات، و ثلاث نظريات رياضية تحمل اسمه.

3. البرهان بالاستدلال بالتراجع

ليس الدستور مسلّمة: يُبرهن عليه بالتراجع على الأسّ، انطلاقا من خاصية الجداء وحدها. و البرهان قصير، و يستحقّ أن يُقرأ لأنه يُطلب أحيانا في الامتحان.

🔹الخطوة 1: التحقّق من أجل الأسّ 1

الطرفان متطابقان حرفا بحرف: لا شيء يُحسب هنا، و مع ذلك الخطوة إجبارية — بدون نقطة انطلاق لا يوجد تراجع.

(cos θ + i sin θ)¹=cos(1 × θ) + i sin(1 × θ)
🔹الخطوة 2: الفرضية من أجل الرتبة k

نفترض الخاصية صحيحة عند رتبة ما، و لا نفترض شيئا آخر. هذا هو المسموح به في التراجع، لا أكثر.

(cos θ + i sin θ)k = cos(kθ) + i sin(kθ)
🔹الخطوة 3: فصل العامل الأخير

قاعدة القوى في أي جداء: القوّة التي أسّها k زائد 1 هي القوّة التي أسّها k مضروبة في العامل مرّة أخيرة.

(cos θ + i sin θ)k+1=(cos θ + i sin θ)k × (cos θ + i sin θ)
🔹الخطوة 4: تعويض الفرضية

نستبدل العامل الأول بما تعطيه الفرضية. و هنا فقط تدخل الفرضية في البرهان.

(cos θ + i sin θ)k+1 = (cos(kθ) + i sin(kθ))(cos θ + i sin θ)
🔹الخطوة 5: نشر الجداء و استعمال دساتير الجمع

ننشر كما يُنشر أي جداء، ثم نستبدل مربع الوحدة التخيلية بـ ناقص 1. الجزء الحقيقي هو بالضبط دستور جيب تمام مجموع زاويتين، و الجزء التخيلي دستور جيب المجموع.

(cos(kθ)cos θ − sin(kθ)sin θ) + i(sin(kθ)cos θ + cos(kθ)sin θ)
🔹الخطوة 6: الخلاصة عند الرتبة الموالية

⭐ الخاصية صحيحة عند الرتبة 1، و صحّتها عند رتبة تجرّ صحّتها عند التي تليها: فهي صحيحة من أجل كل أسّ طبيعي غير معدوم. انتهى البرهان.

(cos θ + i sin θ)k+1=cos((k+1)θ) + i sin((k+1)θ)
⭐ ما الذي جعل البرهان يمشي؟ خطوة واحدة: دساتير جيب و جيب تمام مجموع زاويتين. الدستور إذن ليس نتيجة جديدة عن الأعداد المركبة، بل هو دساتير الجمع المثلثية مكتوبة بلغة أخرى — و هذا يفسّر لماذا يُستعمل، في الاتجاه المعاكس، لنشر جيب تمام مضاعفات الزاوية.
القوّة لا تحرّك الطول هنا، بل تكرّر الزاوية: هذا هو دستور موافر مرسوما.

4. كيف يُستعمل: الطريقة في ثلاث خطوات

  1. نكتب العدد على شكله الأسّي: نحسب طويلته، ثم نعيّن عمدته
  2. نرفع الطويلة إلى القوّة، و نضرب العمدة في الأسّ
  3. نعود إلى الشكل الجبري إن طُلب ذلك، بتعويض جيب التمام و الجيب بقيمتيهما
مثال 1: قوّة ثامنة تعطي عددا حقيقيا

🎯المطلوب: احسب هذه القوّة الثامنة، ثم اكتب النتيجة على أبسط شكل

📌المعطى
z = (1 − i)⁸
🔹الخطوة 1: طويلة الأساس

نبدأ بالطويلة: مربّعا الجزأين هما 1 و 1، و مجموعهما 2.

|1 − i|=√(1² + (−1)²)=√2
🔹الخطوة 2: عمدة الأساس

نقسم كل جزء على الطويلة لنقرأ جيب التمام و الجيب، فنعيّن العمدة.

cos θ = 1√2 ; sin θ = −1√2 ⟹ θ ≡ −π4 [2π]
🔹الخطوة 3: الشكل الأسّي للأساس
1 − i = √2 e−iπ4
🔹الخطوة 4: الطويلة بعد الرفع

نرفع الطويلة إلى القوّة 8: الجذر التربيعي للعدد 2 مرفوعا إلى 8 هو 2 مرفوعا إلى 4.

(√2)⁸=2⁴=16
🔹الخطوة 5: العمدة بعد الرفع

و نضرب العمدة في 8 كما يقول الدستور.

8 × (−π4)=−2π
🔹الخطوة 6: النتيجة على الشكل الأسّي
z = 16 e−2iπ
✅النّتيجة

⚖️ و هنا خطوة أخيرة لا يكتبها المرجع: الزاوية ناقص 2π هي دورة كاملة، فجيب تمامها 1 و جيبها 0.

z=16 × (cos(−2π) + i sin(−2π))=16
⛔ لا تتوقّف عند الشكل الأسّي حين تكون الزاوية مضاعفا لـ 2π: النتيجة عدد حقيقي، و تركها في صورة أسّية يخفي هذا و يضيّع نقطة القراءة.
مثال 2: قوّة سادسة تعطي عددا حقيقيا سالبا

🎯المطلوب: اكتب هذه القوّة السادسة على الشكل الجبري

📌المعطى
z = (√3 + i)⁶
🔹الخطوة 1: طويلة الأساس
|√3 + i|=√(3 + 1)=2
🔹الخطوة 2: عمدة الأساس

نقسم الجزأين على الطويلة: جيب التمام هو نصف الجذر التربيعي للعدد 3، و الجيب هو النصف.

cos θ = √32 ; sin θ = 12 ⟹ θ ≡ π6 [2π]
🔹الخطوة 3: الشكل الأسّي للأساس
√3 + i = 2 eiπ6
🔹الخطوة 4: الطويلة بعد الرفع
2⁶ = 64
🔹الخطوة 5: العمدة بعد الرفع
6 × (π6) = π
🔹الخطوة 6: العودة إلى الشكل الجبري

جيب تمام π يساوي ناقص 1 و جيبها يساوي 0: العدد يقع على نصف محور الفواصل السالب.

64(cos π + i sin π) = 64 × (−1 + 0i)
✅النّتيجة
z = −64
راقب دائما الاتجاه قبل أن تكتب الجواب: هنا العمدة π، فالنتيجة على محور الفواصل و في الجهة السالبة — لو خرجت لك نتيجة موجبة لعرفت أن هناك خطأ دون إعادة الحساب.
الجواب واحد، و الفرق كله في عدد الأسطر و في عدد المواضع التي يمكن أن تُخطئ فيها.
مثال 3: مكعّب يعطي عددا صحيحا موجبا

⚖️ الكتابة الأسّية للأساس مأخوذة من أمثلة المرجع؛ أما المكعّب فحساب أضفناه للتدرّب.

🎯المطلوب: احسب مكعّب هذا العدد المركب باستعمال الدستور

📌المعطى
z = (−1 − i√3)³
🔹الخطوة 1: طويلة الأساس
|−1 − i√3|=√(1 + 3)=2
🔹الخطوة 2: عمدة الأساس

الجزءان سالبان معا: الصورة في الربع الثالث، و العمدة تُقرأ هناك.

cos θ = −12 ; sin θ = −√32 ⟹ θ ≡ 4π3 [2π]
🔹الخطوة 3: الطويلة بعد الرفع
2³ = 8
🔹الخطوة 4: العمدة بعد الرفع
3 × (4π3) = 4π
🔹الخطوة 5: العودة إلى الشكل الجبري

الزاوية 4π دورتان كاملتان: جيب تمامها 1 و جيبها 0.

8(cos 4π + i sin 4π) = 8 × (1 + 0i)
✅النّتيجة
z = 8
تحقّق بالنشر المباشر إن شككت: مربّع الأساس هو ناقص 2 زائد جداء 2 في الوحدة التخيلية في الجذر التربيعي للعدد 3، و ضربه في الأساس يعيد العدد 8. طريقان، جواب واحد.
مثال 4: نشر جيب تمام الزاوية الثلاثية

⚖️ هذا الاستعمال في الاتجاه المعاكس ليس في المرجع، و هو من أشهر توظيفات الدستور.

🎯المطلوب: عبّر عن جيب تمام الزاوية الثلاثية بدلالة جيب تمام الزاوية وحدها

📌المعطى: الدستور من أجل الأسّ 3
(cos θ + i sin θ)³ = cos(3θ) + i sin(3θ)
🔹الخطوة 1: نشر المكعّب

ننشر الطرف الأيسر بمتطابقة مكعّب مجموع حدّين، دون أن نلمس الطرف الأيمن.

cos³θ + 3i cos²θ sin θ + 3i² cos θ sin²θ + i³ sin³θ
🔹الخطوة 2: إزالة قوى الوحدة التخيلية

نستبدل مربع الوحدة التخيلية بـ ناقص 1، و مكعّبها بـ ناقص الوحدة التخيلية.

cos³θ − 3 cos θ sin²θ + i(3 cos²θ sin θ − sin³θ)
🔹الخطوة 3: مطابقة الجزأين الحقيقيين

عددان مركبان متساويان إذا و فقط إذا تساوى جزآهما الحقيقيان و جزآهما التخيليان: نطابق الجزأين الحقيقيين.

cos(3θ) = cos³θ − 3 cos θ sin²θ
🔹الخطوة 4: التعويض

نعوّض مربع الجيب بـ 1 ناقص مربع جيب التمام، حتى لا يبقى في الجواب إلا جيب التمام.

cos(3θ) = cos³θ − 3 cos θ (1 − cos²θ)
✅النّتيجة
cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ
بمطابقة الجزأين التخيليين في الخطوة 3 تحصل مجّانا على النشر الثاني: جيب الزاوية الثلاثية يساوي 3 في الجيب ناقص 4 في مكعّب الجيب. حسبة واحدة، دستوران.
⛔ خطأ التسمية، و هو أكثر ما يُفقد النقاط في هذا الباب. حين تعالج عدّة أعداد في تمرين واحد، أعط كل واحد اسما خاصا به. المرجع نفسه يسمّي في صفحة واحدة أربعة أعداد مختلفة بالاسم نفسه، و في صفحة أخرى ثمانية أعداد بأربعة أسماء: من قرأها بسرعة خلط بينها. اسم واحد لعدد واحد، في كل التمرين.
دستور موافر يظهر في البكالوريا في ثلاثة مواضع: حساب قوّة كبيرة، البحث عن أصغر أسّ يجعل العدد حقيقيا أو تخيليا صرفا، و نشر جيب تمام مضاعفات الزاوية. في الحالتين الأوليين اكتب الشكل الأسّي أولا و لو لم يُطلب منك: هو الذي يحوّل السؤال إلى سطرين، و المصحّح يقرأ فيه طريقتك حتى إن أخطأت في الحساب العددي الأخير.
الخلاصة في خمسة أسطر. ① الضرب يجمع العُمَد و يضرب الطويلات. ② القوّة إذن تضرب العمدة في الأسّ و ترفع الطويلة إلى الأسّ: هذا هو دستور موافر. ③ له شكلان، أسّي و مثلثي، و هما الشيء نفسه. ④ يُبرهن عليه بالتراجع، و محرّكه دساتير الجمع المثلثية. ⑤ و يُقرأ في الاتجاهين: من القوّة إلى الزاوية، و من الزاوية إلى نشر جيب تمامها.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net