تركيب تشابهين مباشرين

الجواب في سطر: نعم، تحويل واحد يكفي، و هو تشابه مباشر أيضا. نسبته جداء النسبتين، و زاويته مجموع الزاويتين. الجداء لأن الأطوال تُضرب مرّتين، و المجموع لأن الزوايا تتراكم.

نأخذ تشابها مباشرا أول و تشابها مباشرا ثانيا، و لكل منهما كتابته المركّبة. نتابع نقطتين عبر التحويلين: النقطتان تعطيان صورتيهما بالتحويل الأول، ثم هاتان الصورتان تعطيان صورتيهما بالتحويل الثاني. النقطتان الأخيرتان هما إذن صورتا النقطتين الأوليين بالمركّب.

و مع الزوايا يعمل الشيء نفسه، لكن بالجمع بدل الضرب. الزاوية بين القطعة و صورتها الأولى هي عمدة المعامل الأول، و الزاوية بين هذه الصورة و الصورة الثانية هي عمدة المعامل الثاني. و علاقة شال تجمعهما في زاوية واحدة.

النسبة و الزاوية لا يتعلّقان بالترتيب: جداء عددين لا يتغيّر بتبديل العاملين، و مجموع زاويتين كذلك. لكن هذا لا يعني أن التحويلين المركّبين متساويان. النسبة و الزاوية تصفان الشكل، لا موضعه؛ و الحد الثابت هو الذي يحمل الموضع، و هو الذي يتغيّر بتبديل الترتيب.

الدوران تشابه مباشر نسبته الواحد. إذن مركّب دورانين نسبته حاصل ضرب واحد في واحد، أي الواحد، و زاويته مجموع الزاويتين. يبقى أن نميّز بين حالتين: إذا انعدمت الزاوية المجموعة فالمركّب انسحاب، و إن لم تنعدم فهو دوران.

أحيانا يعطي المركّب تحويلا لا يحرّك أي نقطة. عندئذ يكون التشابهان عكسيين أحدهما للآخر. و التمييز يقوم على العنصرين معا: معامل يساوي الواحد و حد ثابت معدوم.