مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الحساب التكاملي

المقاربة، تعريف التكامل و خواصه

🔊 المعلّمة تقرأ لك
مساحة المستطيل طول في عرض، و مساحة المثلّث قاعدة في ارتفاع على اثنين. أمّا حقل تحدّه من جهة ضفّة نهر، فلا قاعدة في الهندسة كلّها تعطي مساحته. و مع ذلك يشتريه صاحبه و يدفع ثمنه بالمتر المربّع. فكيف نقيس مساحة سطح أحد حدوده منحن؟

الجواب الذي وجده الرياضيّون بعد قرون هو من أجمل ما في التحليل: لا نقيس المساحة، بل نحاصرها. نغطّي الحيّز بمستطيلات ندري مساحتها، ثمّ نضيّق. و المفاجأة أنّ ما نصل إليه ليس عددا جديدا: إنّه فرق بين قيمتَي دالة أصلية.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تأطير مساحة حيّز منحنيّ بمستطيلات داخلية و أخرى خارجية
  • تعريف تكامل دالة مستمرّة بين حدّين بواسطة دالة أصلية
  • حساب تكامل بتعيين دالة أصلية ثمّ التعويض بين الحدّين
  • توظيف علاقة شال و الخطّية و المقارنة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الدوال الأصلية للدوال المألوفة
  • مساحات المستطيل و المثلّث و شبه المنحرف

1. المحاصرة بالمستطيلات

لنأخذ الدالة ⁦x ↦ 1/(x + 1)⁩ على المجال ⁦[0 ; 1]⁩. الحيّز تحت منحناها ليس مضلّعا، فلا قاعدة هندسية تعطي مساحته A. لكنّنا نستطيع أمرين:

  1. أن نرسم داخله مستطيلات لا تتجاوزه: مجموع مساحاتها عدد أصغر من A.
  2. أن نرسم حوله مستطيلات تغطّيه: مجموع مساحاتها عدد أكبر من A.

فيكون A محصورا بين عددين نعرف كليهما. و كلّما ضاعفنا عدد المستطيلات ضاق الحصر، و اقترب العددان أحدهما من الآخر. هذا هو مبدأ الحساب التكاملي كلّه، و هو الرسم التالي:

كلّما ضاعفنا عدد المستطيلات ضاق الحصر: العددان يقتربان، و المساحة المحبوسة بينهما هي التكامل.
جرّب بحاسبتك: بمستطيلات عرضها 0,1 يقع الحصر بين 0,669 و 0,719 تقريبا. القيمة الحقيقية هي ⁦ln 2 ≈ 0,693⁩. عشرة مستطيلات فقط، و الخطأ أقلّ من خمسة بالمائة.

2. الاكتشاف: المساحة فرق بين قيمتَي دالة أصلية

قبل الذهاب إلى المنحنيات الصعبة، لنجرّب الأمر على أشكال نعرف مساحتها. الدالة x ↦ 3 على المجال ⁦[0 ; 5]⁩ تحدّ مستطيلا مساحته 15. و دالة أصلية لها هي x ↦ 3x، و ⁦3×5 − 3×0 = 15⁩.

و الدالة ⁦x ↦ (3/2)x⁩ على المجال ⁦[1 ; 3]⁩ تحدّ شبه منحرف قاعدتاه 1,5 و 4,5 و ارتفاعه 2، فمساحته 6. و دالة أصلية لها هي ⁦x ↦ (3/4)x²⁩، و ⁦6,75 − 0,75 = 6⁩.

في كلّ مرّة، و مهما كان الشكل: المساحة = F(النهاية) − F(البداية)، حيث F دالة أصلية. هذه الملاحظة ليست صدفة، و هي التي تُعمَّم في التعريف التالي.

3. تعريف التكامل

لماذا نستطيع أن نتكلّم عن « ال » فرق، و الدوال الأصلية لا نهائية العدد؟ لأنّ الفرق لا يتعلّق بالاختيار: إذا كانت F و G دالتين أصليتين للدالة f نفسها، فإنّ ⁦G = F + k⁩ لعدد ثابت k، و حينئذ ⁦G(b) − G(a) = [F(b) + k] − [F(a) + k] = F(b) − F(a)⁩. الثابت يختصر.

تعريف

نقرأ: « التكامل من a إلى b لـ ⁦f(x)⁩ تفاضل x ». و المهمّ في التعريف أنّه لا يشترط شيئا على إشارة f و لا على ترتيب a و b: التكامل عدد حقيقي، موجبا كان أو سالبا.

∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
fدالة مستمرّة على مجال Iaالحدّ الأدنى للتكامل، عدد من Ibالحدّ الأعلى للتكامل، عدد من IFأيّ دالة أصلية للدالة f على I
الترميز العملي

القوسان المعقوفان يقولان « احسب هذه العبارة عند b ثمّ عند a و اطرح ». هما اختصار كتابة، لا عملية جديدة.

∫ab f(x) dx = [F(x)]ab
حرّية المتغيّر

المتغيّر داخل التكامل صامت: لا يظهر في النتيجة، فيمكن تسميته بأيّ حرف. تماما كما أنّ مجموع الأعداد من 1 إلى n لا يتعلّق بالحرف الذي نعدّ به.

∫ab f(x) dx = ∫ab f(t) dt
⛔ التكامل عدد، لا دالة. ⁦⁦∫ₐb f(x) dx⁩⁩ لا يتعلّق بـ x إطلاقا. كتابة نتيجة فيها x بعد التعويض بين الحدّين خطأ يظهر كثيرا في أوراق الباكالوريا.
مثال 1: تكامل كثير حدود

نعتبر الدالة ⁦x ↦ -3x² + 1⁩ على ℝ.

🎯المطلوب: احسب تكامل هذه الدالة من ⁦−1⁩ إلى 2.

🔹الخطوة 1: دالة أصلية

نبحث عن دالة مشتقّتها هي المدروسة. مشتقّة x³ هي 3x²، فمشتقّة ناقص x³ هي ناقص 3x²؛ و مشتقّة x هي 1.

F(x) = -x³ + x
🔹الخطوة 2: القيمة عند 2

نعوّض بالحدّ الأعلى.

F(2)=-(2)³ + 2=-8 + 2=-6
🔹الخطوة 3: القيمة عند ⁦−1⁩

ثمّ بالحدّ الأدنى. انتبه: مكعّب العدد السالب سالب، فناقضه موجب.

F(-1)=-(-1)³ + (-1)=1 - 1=0
✅النّتيجة

النتيجة هي الفرق، في هذا الترتيب.

∫-1² (-3x² + 1) dx=F(2) - F(-1)=-6 - 0=-6
النتيجة سالبة، و ليس في ذلك خطأ: الدالة سالبة على معظم المجال. تذكّر أنّ التكامل عدد حقيقي، و أنّ ربطه بالمساحة يستلزم شرطا على الإشارة سنراه في الدرس الموالي.
مثال 2: تكامل دالة أسّية

نعتبر الدالة ⁦x ↦ exp(2x - 1)⁩ على ℝ.

🎯المطلوب: احسب تكامل هذه الدالة من 0 إلى 1.

🔹الخطوة 1: دالة أصلية

نبحث عن دالة أصلية. مشتقّة ⁦exp(2x - 1)⁩ هي ⁦2 exp(2x - 1)⁩ بحكم مشتقّة المركّبة، ففي القسمة على 2 يستقيم الأمر.

(exp(2x - 1))' = 2 exp(2x - 1) ⟹ F(x) = exp(2x - 1)2
🔹الخطوة 2: القيمة عند 1

عند الحدّ الأعلى يصير الأسّ ⁦2×1 - 1 = 1⁩.

F(1)=exp(1)2=e2
🔹الخطوة 3: القيمة عند 0

و عند الحدّ الأدنى يصير الأسّ ⁦2×0 - 1 = −1⁩.

F(0)=exp(-1)2=12e
🔹الخطوة 4: الفرق

نطرح، ثمّ نوحّد المقامين: ⁦e/2⁩ مقامه 2، فنضربه بسطا و مقاما في e.

e2 - 12e=e²2e - 12e=e² - 12e
✅النّتيجة
∫0¹ exp(2x - 1) dx = e² - 12e
⭐ القاعدة التي تختصر نصف تمارين الباكالوريا: دالة أصلية لـ ⁦exp(a x + b)⁩ هي ⁦exp(a x + b)/a⁩. القسمة على معامل x، لا شيء آخر.

4. الخواص الثلاث

ثلاث خواص تحوّل التكامل من تعريف إلى أداة حساب. الأولى تقطّع المجال، الثانية تفكّك الدالة، و الثالثة تقارن دون حساب.

1. علاقة شال

البرهان سطر واحد: ⁦[F(b) - F(a)] + [F(c) - F(b)] = F(c) - F(a)⁩. و منها نتيجتان تُستعملان كثيرا: تكامل الدالة من a إلى a معدوم، و قلب الحدّين يقلب الإشارة.

∫ab f(x) dx + ∫bc f(x) dx = ∫ac f(x) dx
لدالّة موجبة، التكامل مساحة: مساحة الحيّز من a إلى c هي مجموع مساحتي الجزأين على جانبي b — و هذا بالضبط ما يقوله سطر البرهان.
نتيجتا شال

الأولى بديهية ⁦(F(a) - F(a))⁩. و الثانية تُستنتج من الأولى بأخذ ⁦c = a⁩ في علاقة شال.

∫aa f(x) dx = 0 ; ∫ab f(x) dx = -∫ba f(x) dx
2. الخطّية

لأنّ ⁦F + G⁩ دالة أصلية لـ ⁦f + g⁩، و kF دالة أصلية لـ kf. الخطّية هي ما يسمح بتفكيك كثير حدود حدّا حدّا.

∫ab [f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx ; ∫ab k f(x) dx = k ∫ab f(x) dx
3. المقارنة

بشرط ⁦a ≤ b⁩. البرهان: إذا كانت f موجبة فإنّ F متزايدة، فـ ⁦F(a) ≤ F(b)⁩. و الخاصية الثانية هي الأولى مطبّقة على g - f.

f(x) ≥ 0 ⟹ ∫ab f(x) dx ≥ 0 ; f(x) ≤ g(x) ⟹ ∫ab f(x) dx ≤ ∫ab g(x) dx
⛔ الشرط ⁦a ≤ b⁩ ليس تفصيلا في خاصية المقارنة: بحدّين مقلوبين تنقلب المتباينة. راجعه قبل أن تكتب « إذن التكامل موجب »، فهو من أكثر ما يُخصم عليه في التصحيح.
مثال 3: قيمة مطلقة، إذن علاقة شال

نعتبر الدالة ⁦x ↦ |x² - 1|⁩ على المجال ⁦[0 ; 3]⁩.

🎯المطلوب: احسب تكامل هذه الدالة من 0 إلى 3.

🔹الخطوة 1: جذرا العبارة

نبحث عن موضع تغيّر الإشارة: جذرا كثير الحدود.

x² - 1 = 0 ⟺ x = -1 ; x = 1
🔹الخطوة 2: على المجال من 0 إلى 1

على الجزء الأوّل من المجال العبارة سالبة، فالقيمة المطلقة تقلبها.

x² - 1 ≤ 0 ⟹ |x² - 1| = -x² + 1
🔹الخطوة 3: على المجال من 1 إلى 3

و على الجزء الثاني هي موجبة، فالقيمة المطلقة لا تغيّر شيئا.

x² - 1 ≥ 0 ⟹ |x² - 1| = x² - 1
🔹الخطوة 4: التقطيع

علاقة شال تقطع التكامل عند نقطة تغيّر الإشارة.

∫0³ |x² - 1| dx=∫0¹ (-x² + 1) dx + ∫1³ (x² - 1) dx
🔹الخطوة 5: الجزء الأوّل

التكامل الأوّل: دالة أصلية ناقص x³ على 3 زائد x.

[-x³3 + x]0¹=(-13 + 1) - 0=23
🔹الخطوة 6: الجزء الثاني

و التكامل الثاني: عند 3 نجد ⁦27/3 - 3 = 6⁩، و عند 1 نجد ⁦1/3 - 1 = −2/3⁩.

[x³3 - x]1³=(273 - 3) - (13 - 1)=6 - (-23)=203
✅النّتيجة

نجمع الجزأين بعد توحيد المقام.

∫0³ |x² - 1| dx=23 + 203=223
⛔ لا توجد دالة أصلية لعبارة فيها قيمة مطلقة تُكتب دفعة واحدة. الخطوة الأولى دائما هي رفع القيمة المطلقة، أي تقطيع المجال حسب الإشارة. من نسي هذه الخطوة لم يخطئ في الحساب: أخطأ في المنهج.
مثال 4: تكاملان لا يُحسبان فرادى

نعتبر A تكامل ⁦(cos x)²⁩ و B تكامل ⁦(sin x)²⁩، كليهما من 0 إلى ⁦π/4⁩.

🎯المطلوب: احسب ⁦A + B⁩ و A - B ثمّ استنتج A و B.

🔹الخطوة 1: المجموع

الخطّية تسمح بجمع التكاملين في تكامل واحد.

A + B = ∫0π4 [(cos x)² + (sin x)²] dx
🔹الخطوة 2: تبسيط المجموع

و العلاقة المثلّثية الأساسية تبسّط ما تحت التكامل إلى 1.

(cos x)² + (sin x)² = 1 ⟹ A + B = ∫0π4 dx = [x]0π4 = π4
🔹الخطوة 3: الفرق

و الفرق يعطي، بالخطّية أيضا، عبارة نعرف لها دالة أصلية.

A - B=∫0π4 [(cos x)² - (sin x)²] dx=∫0π4 cos(2x) dx
🔹الخطوة 4: حساب الفرق

دالة أصلية لـ ⁦cos(2x)⁩ هي ⁦sin(2x)/2⁩، و ⁦sin(π/2) = 1⁩.

[sin(2x)2]0π4=sin(π2)2 - 0=12
🔹الخطوة 5: جمع المعادلتين

بجمع المعادلتين يختفي B.

(A + B) + (A - B) = π4 + 12 ⟹ 2A = π4 + 12
🔹الخطوة 6: استنتاج A

نقسم على 2، ثمّ نكتب الرُبع على المقام 8.

A=π8 + 14=π8 + 28=π + 28
✅النّتيجة

ثمّ نطرح A من المجموع، بعد كتابة ⁦π/4⁩ على المقام 8.

B=π4 - A=2π8 - π + 28=π - 28
⭐ حيلة تُطلب في الباكالوريا كلّ سنة تقريبا. لا نعرف دالة أصلية لـ ⁦(cos x)²⁩ مباشرة، لكنّنا نعرف واحدة للمجموع و أخرى للفرق. حين يبدو تكامل مستعصيا، اسأل: هل يوجد تكامل شقيق يعطي مجموعه أو فرقه شيئا بسيطا؟
الخلاصة: التكامل من a إلى b هو ⁦F(b) − F(a)⁩، و لا يتعلّق باختيار الدالة الأصلية. ثلاث خواص تكفي للحساب: شال تقطّع المجال، الخطّية تفكّك الدالة، و المقارنة تحصر دون حساب. و التكامل عدد، لا دالة: المتغيّر داخله صامت.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net