الحساب التكاملي
القيمة المتوسطة لدالة على مجال، و التكامل بالتجزئة
المتوسّط الحسابي يقسم مجموعا على عدد الحدود. و هنا المجموع تكامل، و « عدد الحدود » هو طول المجال. الفكرة نفسها، بأدوات التحليل.
- تعريف القيمة المتوسطة لدالة على مجال و تفسيرها بيانيا
- حصر تكامل انطلاقا من حصر الدالة
- تطبيق دستور المكاملة بالتجزئة
- اختيار u و v′ اختيارا يبسّط التكامل بدل أن يعقّده
- تعريف التكامل و خاصية المقارنة
- اشتقاق جداء دالتين
1. القيمة المتوسطة
بشرط a < b و f مستمرّة على [a ; b]. اضرب الطرفين في b - a فتظهر القراءة الحقيقية: m(b - a) = ∫ₐb f(x) dx.
و هذه القراءة الثانية هي التفسير البياني: إذا كانت f موجبة، فـ m(b − a) مساحة مستطيل قاعدته b − a. إذن m هو ارتفاع المستطيل الذي له نفس مساحة الحيّز تحت المنحنى. ما يفيض من المنحنى فوق المستطيل يعوّض تماما ما ينقص تحته:
2. حصر التكامل
أحيانا لا نستطيع حساب التكامل، و يكفينا أن نعرف بين أيّ عددين يقع. و خاصية المقارنة تعطي ذلك مجّانا انطلاقا من حصر الدالة:
البرهان: نكامل المتباينة الثلاثية حدّا حدّا بخاصية المقارنة، ثمّ نلاحظ أنّ تكامل الثابت m من a إلى b هو m(b - a).
هذه الصيغة تُستعمل حين لا نعرف إشارة الدالة، بل نعرف فقط أنّها لا تتجاوز عددا. و القيمة المطلقة على b - a تعفينا من ترتيب الحدّين.
نعتبر الدالة x ↦ x² على المجال [-1 ; 1].
🎯المطلوب: احسب القيمة المتوسطة للدالة على هذا المجال ثمّ فسّرها بيانيا.
نبدأ بطول المجال، و هو مقام الدستور.
ثمّ دالة أصلية.
نعوّض بين الحدّين: عند 1 نجد 1/3، و عند −1 نجد −1/3.
ثمّ نقسم على طول المجال.
نعتبر الدالة f المعرّفة على ]-1 ; +∞[ بـ f(x) = 1 + ln(x + 1).
🎯المطلوب: أدرس اتّجاه تغيّر الدالة ثمّ استنتج حصرا للتكامل من 1 إلى e - 1.
نشتقّ لنعرف اتّجاه التغيّر: المشتقّة موجبة تماما على مجموعة التعريف.
فطرفا المجال يعطيان الحصر مباشرة. و ln 1 = 0.
و عند الطرف الآخر، ln e = 1.
فتُحصر الدالة على المجال كلّه، و بالتالي على أيّ جزء منه.
و مجال التكامل جزء من هذا المجال، لأنّ e - 1 ≈ 1,72 أكبر من 1، فالحصر صالح فيه أيضا.
طول مجال التكامل، و هو ما يُضرب في الحدّين.
3. المكاملة بالتجزئة
بقيت دوال لا نعرف لها دالة أصلية مهما بحثنا في الجدول: x ex، x sin x، ln x. و مع ذلك نعرف اشتقاق الجداء. فلنقلب علاقة الاشتقاق و نكاملها:
البرهان في ثلاثة أسطر: (uv)' = u'v + uv'، ثمّ نكامل الطرفين من a إلى b، و نلاحظ أنّ uv دالة أصلية لـ (uv)'، فيكون [uv]ₐb = ∫u'v + ∫uv'. ننقل الحدّ الأوّل فنصل إلى الدستور.
الدستور لا يحسب التكامل: يستبدله بتكامل آخر. فكلّ فائدته في أن يكون الثاني أبسط من الأوّل، و هذا يتوقّف على اختيارك:
- نختار u الدالة التي تبسط باشتقاقها: كثير حدود يفقد درجة، و ln يصير كسرا نسبيا.
- و نترك لـ v′ الدالة التي لا تتعقّد بمكاملتها: ex، sin x، cos x.
نعتبر التكامل I للدالة x ↦ (x - 1) ex من 0 إلى 1.
🎯المطلوب: احسب هذا التكامل باستعمال المكاملة بالتجزئة.
كثير الحدود يبسط باشتقاقه، فهو u؛ و الأسّية لا تتعقّد بمكاملتها، فهي v′.
نشتقّ الأولى و نكامل الثانية.
نكتب الدستور بالمعطيات.
الحدّ الأوّل: عند 1 يكون القوس معدوما فالجداء معدوم، و عند 0 يكون القوس −1 و الأسّية 1.
و التكامل المتبقّي بسيط.
نطرح، مع توزيع الإشارة على حدّي القوس: 1 - e + 1.
نعتبر التكامل J للدالة x ↦ x sin x من 0 إلى π/3.
🎯المطلوب: احسب هذا التكامل باستعمال المكاملة بالتجزئة.
المتغيّر وحده يبسط باشتقاقه فيصير 1، فهو u.
و دالة أصلية للجيب هي ناقض جيب التمام: انتبه للإشارة.
نكتب الدستور.
الحدّ المُقوَّس: عند π/3 يكون جيب التمام 1/2، و عند 0 يكون الجداء معدوما لأنّ x = 0.
و ناقص تكامل ناقض جيب التمام هو زائد تكامل جيب التمام.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net