الهندسة في الفضاء
توظيف الجداء السلمي لتعيين مجموعات نقط في الفضاء
الجواب أداة واحدة اسمها المرجح. مجموع أشعّة من الشكل الذي يظهر في هذه الأسئلة يُختصر دائما: إمّا في مضاعف لشعاع واحد ذاهب إلى نقطة ثابتة نسمّيها المرجح، و إمّا — إذا انعدم مجموع المعاملات — في شعاع ثابت لا يتعلّق بالنقطة المتحرّكة أصلا. و متى صار الشرط في شعاع واحد، صارت قراءته مباشرة.
- تعريف مرجح جملة نقط مثقلة و شرط وجوده
- استعمال علاقة التخفيض لاختصار مجموع أشعّة في شعاع واحد
- التعرّف على الحالة التي ينعدم فيها مجموع المعاملات و على الشعاع الثابت الناتج
- تمييز مستقيم و قطعة و مستو بالمرجح
- تعيين مجموعة نقط: سطح كرة، مستو محور، مستو عمودي، سطح كرة بقطر معلوم
- استعمال علاقة الكاشي المرجّحة لتحويل شرط على المسافات إلى شرط على مسافة واحدة
- الجداء السلمي في الفضاء و خواصه، و انعدامه كتعبير عن التعامد
- علاقة شال و حساب المرجح في المستوي
- المعادلة الديكارتية لسطح كرة و لمستو
1. المرجح و علاقة التخفيض
نسمّي نقطة مثقلة كلّ زوج مكوّن من نقطة و عدد حقيقي يسمّى معاملها. و لتكن جملة من n نقطة مثقلة مجموع معاملاتها يخالف الصفر: توجد عندئذ نقطة وحيدة تحقّق العلاقة التالية، تسمّى مرجح الجملة.
و إذا تساوت المعاملات غير المعدومة، سُمّي المرجح مركز ثقل الجملة. و المبرهنة التي تجعل هذا التعريف صالحا للعمل هي التالية: انطلاقا من أيّ نقطة M من الفضاء، يُختصر المجموع في شعاع واحد.
⭐ هذه هي العلاقة التي يقوم عليها الدرس كلّه: هي التي تحوّل شرطا على مجموع أشعّة إلى شرط على مسافة واحدة أو على جداء سلمي واحد، و عندئذ نعرف الشكل الموافق.
مجموع المعاملات هو اثنان ناقص واحد ناقص واحد، أي صفر؛ و I هي منتصف القطعة التي طرفاها B و C. النتيجة لا تحوي M أصلا: هذا هو معنى « ثابت ».
2. تمييز مستقيم و قطعة و مستو بالمرجح
لتكن ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة. المراجيح لا تعطي أشكالا غريبة، بل الأشكال التي نعرفها بالضبط:
- المستقيم المارّ بنقطتين هو مجموعة مراجيح هاتين النقطتين، بكلّ المعاملات الممكنة.
- القطعة التي طرفاها هاتان النقطتان هي مجموعة مراجيحهما بمعاملين من نفس الإشارة.
- المستوي المعيّن بالنقط الثلاث هو مجموعة مراجيح هذه النقط الثلاث.
برهان الحالة الأولى. إذا كانت M مرجح النقطتين بمعاملين مجموعهما غير معدوم، فإنّ الشعاع الذاهب من الأولى إلى M مضاعف للشعاع الذاهب من الأولى إلى الثانية، فالنقطة على المستقيم.
و العكس: إذا كانت M من المستقيم، فالشعاعان مرتبطان خطيا، أي يوجد عدد حقيقي k بحيث يكون الشعاع الذاهب من A إلى M مضاعفا له بالمعامل k. نفكّك بعلاقة شال و نرتّب:
⭐ مجموع المعاملين هنا هو واحد ناقص k زائد k، أي واحد، و هو يخالف الصفر دائما: فالمرجح موجود مهما كان k. و منه: M مرجح الجملة المكوّنة من A بالمعامل واحد ناقص k، و B بالمعامل k.
و الحالة الثانية هي الحالة الأولى نفسها مع قيد إضافي: المعاملان من نفس الإشارة يكافئ أن يكون العدد k محصورا بين الصفر و الواحد، و هذا بالضبط ما يعطي القطعة بدل المستقيم كلّه.
و الحالة الثالثة تُبرهن بالطريقة نفسها في المستوي: كلّ نقطة منه تُكتب انطلاقا من شعاعين غير مرتبطين خطيا، فتظهر ثلاثة معاملات مجموعها واحد.
3. الطريقة: كيف نعيّن مجموعة نقط
- نجمع معاملات كلّ طرف على حدة: هذا وحده يقرّر نوع الاختصار.
- نختصر كلّ طرف: بمرجح إن كان المجموع غير معدوم، و بشعاع ثابت إن كان معدوما.
- نعوّض في الشرط، و نبسّط المعاملات العددية المشتركة بين الطرفين.
- نقرأ الشكل الموافق للشرط المختصر، من الجدول الموالي.
- نعيّن عناصره: المركز و نصف القطر لسطح الكرة، أو النقطة و الاتّجاه العمودي للمستوي.
| الشرط بعد الاختصار | مجموعة النقط | عناصرها |
|---|---|---|
| المسافة إلى نقطة ثابتة تساوي عددا موجبا | سطح كرة | مركزه تلك النقطة و نصف قطره ذلك العدد |
| المسافة إلى نقطتين ثابتتين متساوية | مستو محور القطعة | يشمل منتصف القطعة و يعمد عليها |
| جداء سلمي معدوم لشعاعين ذاهبين إلى نقطتين ثابتتين | سطح كرة | قطره القطعة التي طرفاها هاتان النقطتان |
| جداء سلمي معدوم لشعاع متحرّك في شعاع ثابت | مستو | يشمل النقطة الثابتة و يعمد على الاتّجاه الثابت |
| مربّع المسافة إلى نقطة ثابتة يساوي عددا موجبا | سطح كرة | مركزه تلك النقطة و نصف قطره جذر ذلك العدد |
4. أمثلة
لتكن A و B و C ثلاث نقط من الفضاء، و G مركز ثقلها.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M من الفضاء التي يكون فيها طويلة مجموع الأشعّة الثلاثة الذاهبة من M إلى النقط الثلاث مساوية لثلاثة.
نجمع معاملات الطرف الأيسر: ثلاثة معاملات كلّها تساوي الواحد.
المجموع يخالف الصفر، فنختصر بمركز ثقل المثلّث.
نعوّض في الشرط، مع الانتباه إلى أنّ طويلة ثلاثة أمثال شعاع هي ثلاثة أمثال طويلته.
نقسم الطرفين على ثلاثة: هذه هي الخطوة التي تقفز عادة، و بدونها لا يُفهم من أين جاء نصف القطر.
المسافة إلى نقطة ثابتة تساوي عددا موجبا: هو سطح كرة.
مع النقط الثلاث نفسها و النقطة G نفسها.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M التي تتساوى فيها طويلتا المجموعين: مجموع الأشعّة الثلاثة من جهة، و مجموع الشعاع الذاهب إلى A مع ضعف الشعاع الذاهب إلى B من جهة أخرى.
نجمع معاملات الطرف الأيمن: مجموعها ثلاثة كذلك.
فنختصر الطرف الثاني بمرجح النقطتين A و B بالمعاملين واحد و اثنين، و نسمّيه H.
و الطرف الأوّل قد اختُصر في المثال السابق.
نعوّض في الشرط.
العامل ثلاثة موجب و مشترك بين الطرفين، فنبسّطه.
النقطة على مسافة واحدة من نقطتين ثابتتين متمايزتين: هو مستوي محور القطعة.
في معلم متعامد و متجانس من الفضاء، سطح الكرة الأوّل مركزه W( 2 ; 1 ; 0 ) و نصف قطره جذر اثنين؛ و سطح الكرة الثاني قطره القطعة التي طرفاها A( 1 ; 0 ; −2 ) و B( 0 ; −1 ; 2 ).
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية لكلّ من سطحي الكرة، ثمّ عيّن قيمتي العدد الحقيقي a حتّى تكون النقطة التي إحداثياتها a و واحد و صفر من سطح الكرة الثاني.
نكتب شرط الانتماء إلى سطح الكرة الأوّل: المسافة إلى المركز تساوي نصف القطر، و نربّع الطرفين.
ننشر و نرتّب فنحصل على المعادلة الديكارتية.
لسطح الكرة الثاني قطر معلوم، فنستعمل التمييز بالجداء السلمي: النقطة تراه تحت زاوية قائمة.
نحسب إحداثيات الشعاعين بدلالة إحداثيات النقطة المتحرّكة.
و الشعاع الثاني.
نضرب و ننشر و نرتّب.
نعوّض إحداثيات النقطة المطلوبة في هذه المعادلة.
نرتّب فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية.
نحلّلها إلى جداء عاملين.
فنجد قيمتين، و هما القيمتان المطلوبتان.
5. تطبيق كامل في المكعّب
نعتبر مكعّبا رؤوس وجهه السفلي هي O و A و B و C، و رؤوس وجهه العلوي فوقها على الترتيب. نأخذ حرف المكعّب وحدة للطول، و نعمل في المعلم الذي مبدؤه O و أشعّته الثلاثة هي الأشعّة الذاهبة من O إلى A و إلى C و إلى الرأس العلوي المقابل لـ O. لتكن J منتصف القطعة التي طرفاها O و A، و G مرجح الجملة المكوّنة من O و A بمعامل واحد لكلّ منهما، و C بالمعامل ثلاثة.
نجمع المعاملات فنجد خمسة، ثمّ نجمع النقط مضروبة في معاملاتها و نقسم على خمسة: الفاصلة تأتي من الرأس A وحده، و الترتيب من الرأس C بمعامله ثلاثة.
⭐ الشعاعان مرتبطان خطيا، فالنقطة G تقع على المستقيم المارّ بـ C و J، عند خُمسين من الطريق. و هكذا تُعيَّن على الشكل دون قياس.
في المكعّب و المعلم السابقين.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة مجموعة النقط M من الفضاء التي ينعدم فيها الجداء السلمي للمجموع الشعاعي السابق في الشعاع الذاهب من M إلى الرأس B، ثمّ احسب عناصرها.
نجمع معاملات المجموع الشعاعي: واحد و واحد و ثلاثة.
المجموع يخالف الصفر، فنختصر بالمرجح G.
نعوّض في الشرط.
نقسم على خمسة، و هو عدد غير معدوم.
انعدام الجداء السلمي لشعاعين ذاهبين من M إلى نقطتين ثابتتين: النقطة ترى القطعة تحت زاوية قائمة، فهي على سطح الكرة الذي قطره تلك القطعة.
مركز سطح الكرة هو منتصف القطعة.
و مربّع نصف القطر هو ربع مربّع طول القطعة.
فنأخذ الجذر و نُنطِق المقام.
في المكعّب نفسه، مع الشعاع الثابت الذي سنحسبه.
🎯المطلوب: عيّن المجموعة ( F ) للنقط M من الفضاء التي ينعدم فيها الجداء السلمي للعاملين MO + MA + 3 MC و MO + MA − 2 MC.
نجمع معاملات العامل الأوّل: مجموعها خمسة، فنختصره بالمرجح G.
نجمع معاملات العامل الثاني: واحد و واحد و مقابل الاثنين.
المجموع معدوم، فالعامل الثاني شعاع ثابت لا يتعلّق بالنقطة المتحرّكة. نحسبه بأخذ M في المبدأ O.
و هذا الشعاع الثابت هو ضعف الشعاع الذاهب من C إلى J.
نعوّض العاملين في الشرط.
نقسم على عشرة.
الشعاع الذاهب من M إلى نقطة ثابتة عمودي على اتّجاه ثابت: هو مستو يشمل تلك النقطة و يعمد على ذلك الاتّجاه.
و يُتحقّق من أنّ الرأس B ينتمي إلى هذا المستوي بجداء سلمي واحد، لا أكثر:
و الرأس العلوي المقابل لـ B ينتمي إليه كذلك، لأنّ المركّبة الثالثة للشعاع الذاهب من C إلى J معدومة: الارتفاع لا يغيّر شيئا في الحساب.
في المكعّب و المعلم نفسيهما.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة مجموعة النقط M من الفضاء التي يساوي فيها المجموع المرجّح لمربّعات المسافات إلى الرؤوس الثلاثة العددَ أربعة.
نكتب كلّ مسافة بالمرور بالمرجح، بعلاقة شال، ثمّ ننشر مربّع الطويلة.
نفعل الشيء نفسه مع المسافتين الأخريين، ثمّ نجمع مع مراعاة المعاملات.
الحدّ الأوسط معدوم: القوس هو بالضبط العلاقة التي تعرّف المرجح.
نحسب المسافات الثلاث من إحداثيات المرجح.
نجمعها مع معاملاتها.
فتصير العلاقة العامة قصيرة.
نعوّض الشرط المطلوب.
نستخرج مربّع المسافة.
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، ثمّ نضرب البسط و المقام في جذر 5 لجعل المقام ناطقا: جداء جذر 2 في جذر 5 هو جذر 10.
و نأخذ الجذر مع إنطاق المقام: المجموعة سطح كرة مركزه المرجح.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net