مدرستي
العلوم الفيزيائية🎓 هدف البكالوريا

تطور جملة ميكانيكية

نموذج السقوط الحر و المعادلات الزمنية للحركة

🔊 المعلّمة تقرأ لك
نترك في اللحظة نفسها كرية من الفولاذ وكرية من البلاستيك لهما نصف القطر نفسه من شرفة الطابق الأوّل، فتصلان إلى الأرض معا رغم أنّ إحداهما أثقل من الأخرى بكثير. لماذا لا تتعلّق حركة السقوط بكتلة الجسم الساقط ؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • أن تحدّد الشروط التي يصير فيها سقوط جسم صلب سقوطا حرّا
  • أن تكتب المعادلة التفاضلية لحركة السقوط الحر انطلاقا من القانون الثاني لنيوتن
  • أن تستنتج المعادلتين الزمنيتين للسرعة وللفاصلة بالتكامل، وتوظّفهما في حساب
  • أن تميّز بين محور موجّه نحو الأسفل ومحور موجّه نحو الأعلى، وأثر ذلك على إشارة التسارع
  • أن تبيّن أثر الشروط الابتدائية على شكل المعادلتين الزمنيتين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • القانون الثاني لنيوتن وشعاع تسارع مركز عطالة جسم صلب
  • تمثيل القوى الخارجية المطبّقة على جسم صلب في مرجع عطالي
  • الاشتقاق والتكامل لدالة كثير حدود من الدرجة الثانية

❓إشكالية: كلّ جسم يُترك يسقط. لكنّ سقوطه في الهواء تتدخّل فيه ثلاث قوى، لا قوّة واحدة. سنبدأ إذن بالسؤال الذي يسبق كلّ حساب: متى يحقّ لنا أن نُهمل قوّتين من الثلاث، وماذا يبقى من الحركة عندئذ ؟

نشاط 1: هل تسقط الأجسام الثقيلة أسرع من الخفيفة ؟

📌التجربة:

  1. نأخذ كريتين لهما نصف القطر نفسه، الأولى من الفولاذ والثانية من البلاستيك.
  2. نزن الكريتين، فنجد أنّ كتلة الأولى تفوق كتلة الثانية بعدّة مرّات.
  3. نمسك الكريتين على الارتفاع نفسه فوق الأرض، ثمّ نحرّرهما في اللحظة نفسها دون سرعة ابتدائية.
  4. نصوّر السقوط بآلة تصوير سريعة، ثمّ نقارن موضع الكريتين في كلّ صورة.

🔍الملاحظة: تحتلّ الكريتان الموضع نفسه في كلّ صورة، وتصلان إلى الأرض في اللحظة نفسها في حدود دقّة القياس: الفارق بينهما، إن وُجد، أصغر بكثير من الفارق بين كتلتيهما.

ما يقرّر موضع الكرية عند كلّ لحظة ليس كتلتها.
في حدود هذه الدقّة، للكريتين التسارع نفسه عند كلّ لحظة: حركة السقوط لا تتعلّق بكتلة الجسم الساقط. أمّا الفارق الصغير الباقي فمصدره الهواء، وهو ما سنقيسه في الفقرة الموالية.

القوى المطبّقة على جسم يسقط في الهواء

يخضع جسم صلب يسقط في الهواء لثلاث قوى خارجية: ثقله الموجّه دائما نحو مركز الأرض، ودافعة أرخميدس الموجّهة نحو الأعلى لأنّ الجسم يزيح حجما من الهواء، وقوّة احتكاك الهواء التي تعاكس دائما جهة الحركة وتكبر مع السرعة.

السقوط الحرّ لا يُعرَّف بما فيه، بل بما أُهمل منه: قوّتان من الثلاث.
الثقل
P = m × g
Pشدّة الثقل(N)mكتلة الجسم الصلب(kg)gشدّة حقل الجاذبية الأرضية(N/kg)
دافعة أرخميدس
π = ρ × V × g
πشدّة دافعة أرخميدس(N)ρالكتلة الحجمية للهواء(kg/m³)Vحجم الجسم المغمور في الهواء(m³)
الحرف اليوناني نفسه يؤدّي هنا دورين لا علاقة بينهما: فهو رمز دافعة أرخميدس، وهو أيضا العدد الثابت الذي يظهر في عبارة حجم الكرة. لا تخلط بينهما: تعرَّف على كلّ واحد بموضعه في العلاقة، فالأوّل قوّة تُقاس بالنيوتن والثاني عدد بلا وحدة.
مثال 1: هل يمكن إهمال دافعة أرخميدس أمام الثقل ؟

كرية خفيفة وكبيرة الحجم تسقط في الهواء. نعرف كتلتها ونصف قطرها والكتلة الحجمية للهواء، ونريد أن نعرف إن كان إهمال دافعة أرخميدس مشروعا قبل أن نتبنّى نموذج السقوط الحر.

🎯المطلوب: قارن بين شدّة الثقل وشدّة دافعة أرخميدس المطبّقتين على الكرية، ثمّ استنتج هل يمكن إهمال إحداهما أمام الأخرى

📌المعطى
m = 2,3 × 10−3 kg ; r = 1,9 × 10−2 m ; ρ = 1,3 kgm3
🔹الخطوة 1: عبارة حجم الكرية

لأنّ دافعة أرخميدس تتناسب مع حجم الهواء المُزاح، وهذا الحجم هو حجم الكرية نفسها

V=(43) × π × r3
🔹الخطوة 2: القيمة العددية للحجم

لأنّ نصف القطر وحده معطى، فالتعويض فيه يعطي الحجم مباشرة

V=(43) × π × (1,9 × 10−2)3=2,87 × 10−5 m3
🔹الخطوة 3: نسبة الثقل إلى الدافعة

لأنّ ما يقرّر ليس قيمة كلّ قوّة على حدة بل النسبة بينهما؛ ولأنّ شدّة الجاذبية تظهر في البسط وفي المقام معا، فإنّها تُختزل وتختفي من النسبة

Pπ=m × gρ × V × g=mρ × V
🔹الخطوة 4: التعويض العددي

لأنّ التعويض العددي هو وحده الذي يكشف رتبة هذه النسبة، وهي المطلوبة

Pπ=2,3 × 10−31,3 × 2,87 × 10−5
✅النّتيجة

لأنّ الثقل يفوق الدافعة بأكثر من ستّين مرّة، فإنّ حذف الدافعة يغيّر الحصيلة بأقلّ من اثنين في المائة: وهذا ما يبرّر إهمال الدافعة؛ ويبقى احتكاك الهواء، الذي يُدرس على حدة، قبل تبنّي نموذج السقوط الحر

Pπ ≈ 62
لا تُهمل قوّة لأنّها تبدو صغيرة، بل لأنّك حسبت نسبتها إلى القوّة الغالبة. قاعدة عملية: نسبة تفوق العشرين تسمح بالإهمال في مسائل هذا المستوى، وما دونها يُناقَش.
تعريف: نقول إنّ جسما صلبا في حركة سقوط حرّ إذا كان الثقل هو القوّة الخارجية الوحيدة المطبّقة عليه، أي عند إهمال دافعة أرخميدس وقوّة احتكاك الهواء معا.

المعادلة التفاضلية لحركة السقوط الحر

لدراسة أيّ حركة نتّبع الترتيب نفسه، ولا نغيّره أبدا:

خطوات الدراسة
  1. نختار المرجع: المرجع الأرضي، ونفترضه عطاليّا.
  2. نحدّد الجملة المدروسة: الجسم الصلب الساقط.
  3. نختار المعلم ونوجّه محوره: هنا محور شاقولي مبدؤه نقطة الترك.
  4. نجري حصيلة القوى الخارجية: الثقل وحده، لأنّ السقوط حرّ.
  5. نطبّق القانون الثاني لنيوتن، ثمّ نُسقط العلاقة الشعاعية على المحور.
القانون الثاني لنيوتن
ΣFext = m × aG
aGشعاع تسارع مركز عطالة الجسم(m/s²)
الجملة خاضعة للثقل وحده
m × g = m × aG
تسارع السقوط الحر
aG = g
قانون: شعاع تسارع مركز عطالة جسم في سقوط حرّ يساوي شعاع تسارع الجاذبية، في الجهة وفي الطويلة. وبما أنّ الكتلة تُختزل من طرفي المعادلة، فإنّ هذا التسارع لا يتعلّق بكتلة الجسم ولا بطبيعته: وهو ما شاهدناه في النشاط الأوّل.
انتبه إلى ما يقوله اختزال الكتلة وما لا يقوله: الثقل نفسه يتعلّق بالكتلة، لكنّ التسارع لا يتعلّق بها. الجسم الأثقل يُجذَب بقوّة أكبر، لكنّه أصعب في التحريك بالقدر نفسه بالضبط، فيتعادل الأثران.

المعادلتان الزمنيتان للسقوط الحر

نأخذ في هذه الفقرة محورا شاقوليّا موجّها نحو الأسفل، فيكون التسارع موجبا. التسارع هو مشتقّ السرعة بالنسبة إلى الزمن، فالمعادلة التفاضلية تُكتب مباشرة:

المعادلة التفاضلية للسرعة
dvdt = g

وحلّ هذه المعادلة هو إيجاد الدالة التي مشتقّها ثابت، أي دالة تآلفية في الزمن. الثابت الذي يظهر عند التكامل ليس اعتباطيّا: إنّه قيمة السرعة عند اللحظة صفر.

المعادلة الزمنية للسرعة
v(t) = g t + v0
v0السرعة الابتدائية عند اللحظة صفر(m/s)

والسرعة بدورها هي مشتقّ الفاصلة بالنسبة إلى الزمن. نُكامل مرّة ثانية، فيظهر ثابت ثان هو الفاصلة الابتدائية:

تعريف السرعة على المحور
v = dzdt
المعادلة الزمنية للفاصلة
z(t)=(12) g t2 + v0 t + z0
z0الفاصلة الابتدائية عند اللحظة صفر(m)
تعريف: تُسمّى العلاقتان اللتان تعطيان السرعة والفاصلة بدلالة الزمن المعادلتين الزمنيتين لحركة السقوط الحر. الأولى تآلفية في الزمن، والثانية من الدرجة الثانية فيه.

ونفس الحساب مع محور موجّه نحو الأعلى يعطي معادلتين مختلفتي الإشارة، لأنّ الثقل يصير عندئذ معاكسا لاتّجاه المحور. الحركة واحدة، والوصف اثنان:

✅النّتيجة: أثر اختيار المحور
اتّجاه المحورالتسارعمعادلة السرعةمعادلة الفاصلة
نحو الأسفل⁦a = + g⁩⁦v(t) = g t + v0⁩⁦z(t) = (12) g t2 + v0 t + z0⁩
نحو الأعلى⁦a = − g⁩⁦v(t) = − g t + v0⁩⁦z(t) = − (12) g t2 + v0 t + z0⁩
الحركة نفسها موصوفة مرّتين: ما تغيّر هو الاصطلاح، لا الظاهرة.
إشارة التسارع ليست خاصّية للحركة: إنّها نتيجة اختيارنا لاتّجاه المحور.
هذه المعادلة التفاضلية هي بعينها ما تدرسه في الرياضيات تحت اسم معادلة تفاضلية بسيطة: دالة مشتقّها معلوم. حلّها في الفيزياء ليس شيئا آخر، وثابت التكامل الذي تسمّيه هناك عددا كيفيّا يحمل هنا اسما ومعنى: الشرط الابتدائي.

أثر الشروط الابتدائية

المعادلة التفاضلية واحدة لكلّ سقوط حرّ، لكنّ حلّها ليس واحدا: الشرطان الابتدائيان، أي السرعة الابتدائية والفاصلة الابتدائية، هما اللذان يفصلان بين كرية تُترك دون سرعة وكرية تُقذف نحو الأعلى. المثالان التاليان يبيّنان ذلك.

مثال 2: كرية تُترك دون سرعة ابتدائية

نترك كرية تسقط سقوطا حرّا من ارتفاع معلوم فوق سطح الأرض، دون أن ندفعها.

🎯المطلوب: احسب المدّة التي تستغرقها الكرية لتصل إلى الأرض، ثمّ احسب سرعتها لحظة الوصول

📌المعطى
h = 20,0 m ; v0 = 0 ; z0 = 0 ; g = 9,8 ms2
🔹الخطوة 1: المعادلة الزمنية في هذه الشروط

لأنّ اختيار محور موجّه نحو الأسفل ومبدؤه نقطة الترك يجعل الفاصلة الابتدائية والسرعة الابتدائية معدومتين معا، فتختصر المعادلة الزمنية إلى حدّها الأوّل

z(t) = (12) g t2
🔹الخطوة 2: زمن الوصول إلى الأرض

لأنّ الوصول إلى الأرض يعني أنّ الفاصلة صارت تساوي الارتفاع، فنعوّض ونستخرج الزمن من المعادلة نفسها

t=√(2 hg)=√(2 × 20,09,8)=2,02 s
🔹الخطوة 3: السرعة عند الوصول

لأنّ السرعة عند لحظة معلومة تُقرأ في المعادلة الزمنية للسرعة، وقد صارت هنا جداء التسارع في الزمن لأنّ السرعة الابتدائية معدومة

v=g t=9,8 × 2,02
✅النّتيجة

لأنّ هذه هي السرعة التي تلمس بها الكرية الأرض، وهي تقارب سبعين كيلومترا في الساعة: وهذا وحده يفسّر خطورة سقوط جسم من هذا الارتفاع

v = 19,8 ms
اختر المحور ووجّهه قبل أن تكتب أيّ معادلة، ثمّ لا تغيّره في منتصف الحلّ. أغلب أخطاء الإشارة في هذا الدرس سببها اصطلاح تغيّر في الطريق.
مثال 3: كرة تُقذف شاقوليّا نحو الأعلى

نقذف كرة شاقوليّا نحو الأعلى من مستوى اليد، ونهمل احتكاك الهواء.

🎯المطلوب: حدّد التاريخ الذي تبلغ فيه الكرة أقصى ارتفاع، ثمّ احسب هذا الارتفاع

📌المعطى
v0 = 14,0 ms ; z0 = 0 ; g = 9,8 ms2
🔹الخطوة 1: المعادلة الزمنية للسرعة

لأنّ الحركة نحو الأعلى، فمن الأنسب توجيه المحور نحو الأعلى: يصير التسارع سالبا والسرعة الابتدائية موجبة

v(t) = − 9,8 t + 14,0
🔹الخطوة 2: تاريخ بلوغ أقصى ارتفاع

لأنّ الكرة تتوقّف لحظة واحدة في أعلى مسارها قبل أن تعود: فأقصى ارتفاع هو بالضبط اللحظة التي تنعدم فيها السرعة

t=14,09,8=1,43 s
🔹الخطوة 3: التعويض في معادلة الفاصلة

لأنّ الارتفاع عند لحظة معلومة يُقرأ في المعادلة الزمنية للفاصلة، فنعوّض فيها التاريخ الذي وجدناه

z=− (12) × 9,8 × (1,43)2 + 14,0 × 1,43
✅النّتيجة

لأنّ هذه القيمة هي أقصى ما تبلغه الكرة فوق نقطة الانطلاق؛ ولاحظ أنّها لا تتعلّق بكتلة الكرة، بل بسرعة القذف وحدها

zmax = 10,0 m
احفظ هذا الشرط لأنّه يُستعمل في كلّ المسائل: السرعة الشاقولية تنعدم في الذروة، ولا تنعدم السرعة كلّها إلّا إذا كان القذف شاقوليّا.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في أسئلة من نوع: «بيّن أنّ السقوط حرّ»، و«بتطبيق القانون الثاني لنيوتن أوجد المعادلة التفاضلية للسرعة»، و«استنتج المعادلتين الزمنيتين ⁦v(t)⁩ و ⁦z(t)⁩»، ثمّ حساب مدّة السقوط أو السرعة عند الوصول. جهّز ثلاثة عناصر: ① شرط السقوط الحرّ: الثقل هو القوّة الوحيدة، بعد التحقّق عدديّا من إمكان إهمال دافعة أرخميدس واحتكاك الهواء ؛ ② من القانون الثاني إلى المعادلتين: ⁦m × g = m × aG ⟹ aG = g⁩، ثمّ بالتكامل مرّتين ⁦v(t) = g × t + v0⁩ و ⁦z(t) = ½ × g × t² + v0 × t + z0⁩، والثوابت هي الشروط الابتدائية ؛ ③ اتّجاه المحور يقرّر الإشارة: محور نحو الأسفل ⟸ التسارع ⁦+g⁩، ومحور نحو الأعلى ⟸ ⁦−g⁩، فأعلن اتّجاهه في أوّل سطر. ⚠️ الخطأ الشائع: القول إنّ الجسم الأثقل يسقط أسرع ؛ الثقل يتعلّق بالكتلة لكنّ التسارع لا يتعلّق بها، لأنّ الكتلة تُختزل. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الخلط بين الحرف π رمزا لدافعة أرخميدس والعدد π في عبارة حجم الكرة.
خلاصة: يكون سقوط جسم صلب حرّا لمّا يكون الثقل هو القوّة الوحيدة المطبّقة عليه، وذلك بعد التحقّق عدديّا من إمكان إهمال دافعة أرخميدس واحتكاك الهواء. عندئذ يساوي تسارع مركز العطالة تسارع الجاذبية ولا يتعلّق بالكتلة، والمعادلتان الزمنيتان تتبعان بالتكامل مرّتين: السرعة تآلفية في الزمن والفاصلة من الدرجة الثانية. أمّا إشارة الحدود فيقرّرها اتّجاه المحور، وقيمتا ثابتَي التكامل هما الشرطان الابتدائيّان.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net