مدرستي
العلوم الفيزيائية🎓 هدف البكالوريا

التطورات المهتزة

الاهتزازات الحرة لجملة كهربائية: تفريغ مكثفة في وشيعة و المعادلة التفاضلية

🔊 المعلّمة تقرأ لك
مكثفة مشحونة ووشيعة، ولا مولّد بينهما: نغلق الدارة فيتناوب التوتّر بين طرفي المكثفة بين قيم موجبة وسالبة مرّات عديدة قبل أن يستقرّ عند الصفر. كيف تهتزّ دارة كهربائية من تلقاء نفسها دون مولّد، وما المعادلة التي تحكم توتّر مكثفتها ؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • أن تعرّف الجملة الكهربائية المهتزّة وتحدّد مكوّناتها الثلاثة
  • أن تقيم المعادلة التفاضلية لدارة تحوي وشيعة ومكثفة ومقاومة
  • أن تربط بين قيمة مقاومة الدارة والنظام الكهربائي الملاحظ على التسجيل
  • أن تكتب حلّ المعادلة في حالة إهمال التخامد وتستخرج عبارة الدور الذاتي
  • أن تبيّن أنّ طاقة الدارة تنحفظ إذا انعدمت المقاومة وتتناقص إن لم تنعدم
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • توتّر المكثفة وعلاقته بشحنتها، وثنائي القطب RC
  • توتّر الوشيعة بدلالة تغيّر شدّة التيار، وثنائي القطب RL
  • قانون جمع التوترات في دارة متسلسلة
  • اشتقاق دالّة جيبية بالنسبة إلى الزمن

❓إشكالية: في ثنائي القطب المكوّن من مقاومة ومكثفة، ينزل التوتّر إلى الصفر ولا يتجاوزه أبدا. فما الذي تضيفه الوشيعة حتّى يتجاوز التوتّر الصفر ويرجع، مرّة بعد مرّة، دون أيّ مولّد في الدارة ؟

تعريف: ندعو جملة كهربائية مهتزّة كلّ دارة تحتوي على وشيعة ومكثفة مشحونة ومقاومة.

نشاط 1: تفريغ مكثفة مشحونة في وشيعة

📌التجربة:

  1. نشحن مكثفة سعتها معلومة بواسطة مولّد، والبادلة في الوضع الأوّل، وننتظر تمام الشحن.
  2. نحوّل البادلة إلى الوضع الثاني، فتصير المكثفة موصولة بالوشيعة وبالمقاومة وحدهما، دون أيّ مولّد.
  3. نوصل راسم اهتزاز مهبطي بين طرفي المكثفة ونسجّل التوتّر بدلالة الزمن.
  4. نعيد التجربة بعد رفع قيمة المقاومة الكلّية للدارة، ثمّ مرّة أخرى بعد رفعها كثيرا.

🔍الملاحظة: التوتّر بين طرفي المكثفة لا ينزل إلى الصفر ويستقرّ: يتجاوزه إلى قيم سالبة ثمّ يرجع إلى قيم موجبة، وتتناقص سعة هذه التناوبات من واحد إلى آخر. وكلّما رفعنا المقاومة تلاشت التناوبات أسرع، حتّى تصير المكثفة تفرغ دون أيّ تناوب.

البادلة وحدها تفصل زمن الشحن عن زمن التفريغ: في التفريغ لا مولّد في الدارة.
المقاومة وحدها تفصل التسجيلين: هي التي تأكل سعة التناوبات.
المكثفة المشحونة والوشيعة تكوّنان جملة كهربائية مهتزّة: الطاقة تنتقل من إحداهما إلى الأخرى ذهابا وإيابا. والمقاومة هي التي تحدّد إن كان النظام شبه دوري أو لا دوري.

الدراسة التحليلية للدارة RLC

نطبّق قانون جمع التوترات على الدارة أثناء التفريغ، ثمّ نكتب كلّ توتّر بدلالة توتّر المكثفة وحده. ثلاث علاقات معروفة تكفي: توتّر الوشيعة، وشدّة التيار، وشحنة المكثفة.

قانون جمع التوترات
uC + ub + uR = 0
uCالتوتّر بين طرفي المكثفة(V)ubالتوتّر بين طرفي الوشيعة(V)uRالتوتّر بين طرفي المقاومة(V)
توتّر الوشيعة
ub = L didt
Lذاتية الوشيعة(H)iشدّة التيار في الدارة(A)
شدّة التيار
i = dqdt
شحنة المكثفة
q = C uC
Cسعة المكثفة(F)qشحنة إحدى صفيحتي المكثفة(C)
توتّر المقاومة بدلالة توتّر المكثفة
uR=R i=R C duCdt
بالتعويض في قانون جمع التوترات
uC + L C d²uCdt² + R C duCdt=0
المعادلة التفاضلية لدارة RLC
d²uCdt² + (RL) duCdt + (1L C) uC=0
مبدأ: توتّر المكثفة أثناء التفريغ يحقّق معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية. والمقاومة هي وحدها التي تحمل حدّ المشتقّ الأوّل، أي حدّ التخامد: هي التي تقرّر شكل التسجيل.
✅النّتيجة: النظام الكهربائي حسب قيمة المقاومة
قيمة مقاومة الدارةالنظام الكهربائيما نراه على التسجيل
صغيرةمتخامد شبه دوريتناوبات تتناقص سعتها، وشبه دورها قريب من الدور الذاتي
كبيرةلا دوريرجوع إلى الصفر دون أيّ تناوب
معدومةدوري غير متخامدتناوبات ثابتة السعة لا تتوقّف

الحلّ في حالة إهمال التخامد

إذا أهملنا مقاومة الدارة انعدم حدّ التخامد، ولم يبق في المعادلة إلّا المشتقّ الثاني والدالّة نفسها. وهي عندئذ الصيغة المعيارية التي حللناها في الميكانيك.

المعادلة عند انعدام المقاومة
d²uCdt² + (1L C) uC=0
الصيغة المعيارية
d²ydt² + ω₀² y = 0
النبض الذاتي للدارة بالمطابقة
ω₀ = 1√(L C)
ω₀النبض الذاتي للدارة(rad/s)
الحلّ الجيبي
uC(t) = Um cos(ω₀ t + φ)
Umالتوتّر الأعظمي بين طرفي المكثفة(V)
الدور الذاتي للدارة
T₀=2πω₀=2π√(L C)
نتيجة: عند انعدام المقاومة يكون النظام الكهربائي دوريّا غير متخامد، ودوره الذاتي لا يتعلّق إلّا بذاتية الوشيعة وسعة المكثفة، لا بالتوتّر الذي شُحنت به.
قارن العبارتين: في الميكانيك الدور جذر نسبة الكتلة إلى ثابت المرونة، وهنا جذر حاصل ضرب الذاتية في السعة. الذاتية تلعب دور الكتلة لأنّها تقاوم تغيّر التيار، وهذا يساعدك على تذكّر العبارتين معا بدل حفظهما منفصلتين.
مثال 1: الدور الذاتي والتواتر الذاتي لدارة مهتزّة

دارة مهتزّة مثالية تتكوّن من وشيعة ذاتيتها 0,10 هنري ومكثفة سعتها 4,7 ميكرو فاراد، ومقاومتها مهملة.

🎯المطلوب: احسب الدور الذاتي لهذه الدارة ثمّ استنتج تواترها الذاتي

📌المعطى
L = 0,10 H ; C = 4,7 × 10−6 F
🔹الخطوة 1: جذر حاصل الضرب

لأنّ عبارة الدور تحمل جذر حاصل ضرب الذاتية في السعة، فنبدأ بحساب هذا الجذر مرّة واحدة ونستعمله بعد ذلك

√(L C)=√(0,10 × 4,7 × 10−6)=√(4,7 × 10−7)=6,86 × 10−4
🔹الخطوة 2: الدور الذاتي

لأنّ الدور الذاتي هو اثنان باي مضروبا في هذا الجذر، والنتيجة بالثانية لأنّ الذاتية بالهنري والسعة بالفاراد

T₀=2π√(L C)=6,283 × 6,86 × 10−4=4,3 × 10−3 s
🔹الخطوة 3: التواتر الذاتي

لأنّ التواتر هو مقلوب الدور، وهو عدد التناوبات الكاملة في الثانية الواحدة

f₀=1T₀=14,31 × 10−3
✅النّتيجة

لأنّ مقلوب أربعة ميلي ثانية تقريبا يقارب مئتين واثنين وثلاثين تناوبا في الثانية

f₀ = 232 Hz
انتبه إلى الوحدات قبل أيّ حساب: الذاتية بالهنري والسعة بالفاراد، لا بالميكرو فاراد. نسيان العامل مليون هنا يضرب الدور في ألف، وهو أكثر أخطاء البكالوريا شيوعا في هذا الدرس.

الدراسة الطاقوية للدارة

طاقة الدارة في أيّ لحظة هي مجموع الطاقة المخزّنة في المكثفة والطاقة المخزّنة في الوشيعة. ولنعرف إن كانت تنحفظ، نشتقّها بالنسبة إلى الزمن ونستعمل المعادلة التفاضلية مكتوبة بدلالة الشحنة.

طاقة الدارة في أيّ لحظة
E=q²2C + (12) L i²
باشتقاق الطاقة بالنسبة إلى الزمن
dEdt=(qC) dqdt + L i didt
و بما أنّ شدّة التيار هي مشتقّ الشحنة
dEdt=i [qC + L d²qdt²]
المعادلة التفاضلية بدلالة الشحنة
L d²qdt² + qC=− R i
بالتعويض
dEdt = − R i²
مبدأ: تغيّر طاقة الدارة غير معدوم ما دامت فيها مقاومة، وهو سالب دائما: الطاقة تضيع في المقاومة بمفعول جول. وإذا انعدمت المقاومة انعدم هذا التغيّر وانحفظت طاقة الدارة.
الطاقة المنحفظة في الدارة المثالية
E=q₀²2C=(12) L I₀²
q₀الشحنة الأعظمية للمكثفة(C)I₀شدّة التيار الأعظمية في الدارة(A)
ما تفقده المكثفة تكسبه الوشيعة في اللحظة نفسها: الخطّ الأفقي لا يتحرّك.
المنحنى الأزرق ينزل: هذا هو الفرق الوحيد، وهو كلّ مفعول جول.
مثال 2: الشحنة الأعظمية وشدّة التيار الأعظمية

نشحن مكثفة الدارة السابقة، وسعتها 4,7 ميكرو فاراد، تحت توتّر ستّة فولط، ثمّ نفرّغها في وشيعة ذاتيتها 0,10 هنري. نهمل مقاومة الدارة.

🎯المطلوب: احسب الشحنة الأعظمية للمكثفة وطاقة الدارة، ثمّ استنتج شدّة التيار الأعظمية

📌المعطى
C = 4,7 × 10−6 F ; Um = 6,0 V ; L = 0,10 H
🔹الخطوة 1: الشحنة الأعظمية بالكولوم

لأنّ شحنة المكثفة تتناسب مع التوتّر بين طرفيها، ومعامل التناسب هو سعتها

q₀=C Um=4,7 × 10−6 × 6,0=2,82 × 10−5
🔹الخطوة 2: طاقة الدارة

لأنّ التيار معدوم لحظة بدء التفريغ، فطاقة الوشيعة معدومة عندئذ وتكون كلّ طاقة الدارة مخزّنة في المكثفة

E=(12) C Um²=0,5 × 4,7 × 10−6 × 36=8,46 × 10−5 J
🔹الخطوة 3: شدّة التيار الأعظمية

لأنّ الطاقة تنحفظ في غياب المقاومة، فعند انعدام توتّر المكثفة تصير الطاقة كلّها مخزّنة في الوشيعة، ومنها نستخرج التيار الأعظمي

I₀=√(2EL)=√(2 × 8,46 ×10−50,10)=√(1,692 × 10−3)
✅النّتيجة

لأنّ الجذر التربيعي للعدد المحصل عليه يساوي 0,0411 تقريبا، أي نحو 41 ميلي أمبير

I₀ = 4,11 × 10−2 A
تحقّق من نتيجتك بطريق ثان: التيار الأعظمي هو حاصل ضرب الشحنة الأعظمية في النبض الذاتي. هنا يعطي القيمة نفسها، وتطابق طريقين مستقلّين هو أفضل ضمان في ورقة الامتحان.
مثال 3: اختيار الوشيعة من أجل دور مفروض

نريد تحقيق دارة مهتزّة مثالية دورها الذاتي ميلي ثانيتان، والمكثفة الوحيدة المتوفّرة في المخبر سعتها 4,7 ميكرو فاراد.

🎯المطلوب: احسب ذاتية الوشيعة التي يجب اختيارها

📌المعطى
T₀ = 2,0 × 10−3 s ; C = 4,7 × 10−6 F
🔹الخطوة 1: رفع عبارة الدور إلى المربّع

لأنّ المجهول تحت الجذر، فنرفع طرفي عبارة الدور إلى المربّع حتّى يخرج منه

T₀² = 4π² L C
🔹الخطوة 2: عزل الذاتية

لأنّ الذاتية صارت وحدها في الطرف بعد القسمة على الحدّين المعلومين

L=T₀²4π² C=4,0 ×10−639,48 × 4,7 × 10−6
✅النّتيجة

لأنّ المقام يساوي ⁦1,856 × 10⁻⁴⁩، وحاصل القسمة يعطي نحو اثنين وعشرين ميلي هنري

L = 2,16 × 10−2 H
أعد الحساب في الاتّجاه المعاكس قبل أن تسلّم ورقتك: عوّض الذاتية التي وجدتها في عبارة الدور، ويجب أن تجد ميلي ثانيتين بالضبط. هذا التحقّق يكلّف سطرا واحدا ويكشف كلّ خطأ في الأسّ.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في تمرين تفريغ مكثّفة في وشيعة: «أثبت المعادلة التفاضلية التي يحقّقها uC»، و«في حالة إهمال المقاومة، تحقّق من الحلّ الجيبي واستنتج الدور الذاتي»، و«سمِّ النظام الملاحظ على التسجيل»، و«ماذا يحدث للطاقة؟». جهّز ثلاثة عناصر: ① الإقامة من قانون جمع التوترات: ⁦uC + ub + uR = 0⁩ مع ⁦ub = L × di/dt⁩ و ⁦i = C × duC/dt⁩، فتأتي ⁦d²uC/dt² + (R/L) × duC/dt + uC/(L × C) = 0⁩ ؛ ② الحلّ دون تخامد: ⁦ω₀ = 1/√(L × C)⁩ و ⁦T₀ = 2π √(L × C)⁩ ؛ ③ النظام والطاقة: مقاومة صغيرة ⟸ شبه دوريّ، ومقاومة كبيرة ⟸ لادوريّ ؛ وبلا مقاومة تنحفظ الطاقة متبادلة بين المكثّفة والوشيعة، ومعها تضيع بمفعول جول. ⚠️ الخطأ الشائع: الخطأ في الإشارات عند إقامة المعادلة ؛ اتّبع اصطلاح التوجيه من أوّل سطر، فإشارة خاطئة واحدة تعطي معادلة لا تهتزّ. ⚠️ وخطأ ثانٍ: كتابة ⁦T₀ = 2π √(L/C)⁩ بدل ⁦2π √(L × C)⁩.
خلاصة: الجملة الكهربائية المهتزّة دارة فيها وشيعة ومكثفة مشحونة ومقاومة. عند تفريغ المكثفة في الوشيعة يحقّق توتّر المكثفة معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية تحمل المقاومة فيها حدّ التخامد: النظام شبه دوري إن كانت المقاومة صغيرة، ولا دوري إن كانت كبيرة (والنظام الحرج هو الحدّ بين النظامين). وإذا أهملنا التخامد صار الحلّ دالّة جيبية دورها الذاتي اثنان باي في جذر حاصل ضرب الذاتية في السعة، وانحفظت طاقة الدارة وهي تتبادل بين المكثفة والوشيعة. أمّا وجود المقاومة فيجعل تغيّر الطاقة سالبا، لأنّها تضيع بمفعول جول.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net