دراسة ظواهر كهربائية
ثنائي القطب RL: الوشيعة، المعادلة التفاضلية و الطاقة المخزنة
- أن تصف بنية الوشيعة وتذكر المقدارين اللذين يميّزانها
- أن تكتب العلاقة بين التوتر بين طرفي وشيعة وشدّة التيار الذي يعبرها
- أن تبيّن تجريبيا أنّ الوشيعة تمانع التغيّر المفاجئ في شدّة التيار
- أن تكتب المعادلة التفاضلية لشدّة التيار عند غلق القاطعة وعند فتحها وتعرف حلّها
- أن تحسب ثابت الزمن لثنائي القطب RL والطاقة المخزّنة في الوشيعة
- قانون جمع التوترات وقانون أوم في دارة متسلسلة
- دراسة ثنائي القطب RC وثابت الزمن والنظامان الانتقالي والدائم
- اشتقاق الدالة الأسية وحلّ معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى
❓إشكالية: في ثنائي القطب RC كانت المكثفة تمانع التغيّر المفاجئ في التوتر. فهل يوجد ثنائي قطب يمانع، بالمقابل، التغيّر المفاجئ في شدّة التيار ؟ وإن وُجد، فبأيّ معادلة نصف تطوّر التيار فيه، وبأيّ مقدار نقيس بطأه ؟
الوشيعة: التعريف والرمز
تتكوّن الوشيعة من سلك ناقل طويل جدا من النحاس، معزول بطبقة من الورنيش وملفوف على شكل حلقات. ويميّزها مقداران: ذاتيتها، وتُقدَّر بالهنري نسبة إلى الفيزيائي جوزيف هنري، ومقاومتها الداخلية، وتُقدَّر بالأوم وتأتي من طول السلك نفسه. والوشيعة الصافية أو الصرفة هي التي نهمل مقاومتها الداخلية.
نشاط 1: هل يظهر التيار في كلّ فروع الدارة في اللحظة نفسها ؟
🧰الأدوات:
- مولد قوّته المحرّكة الكهربائية 9 V
- مصباحان متماثلان
- ناقل أومي
- وشيعة ذاتيتها كبيرة
- قاطعة بسيطة
- أسلاك توصيل
📌التجربة:
- نحقّق دارة فيها فرعان متفرعان: الأوّل يحمل ناقلا أوميا ثمّ المصباح الأوّل، والثاني يحمل وشيعة ذاتيتها كبيرة ثمّ المصباح الثاني.
- نختار الناقل الأومي بحيث تكون مقاومته مساوية للمقاومة الداخلية للوشيعة، حتى تكون شدّة التيار في الفرعين واحدة في النظام الدائم.
- نغلق القاطعة ونراقب المصباحين في اللحظة نفسها.
- نفتح القاطعة ونراقب كيف ينطفئان.
🔍الملاحظة: عند غلق القاطعة يتوهّج المصباح الأوّل مباشرة، أمّا الثاني فيتوهّج متأخّرا عنه، ثمّ تصير إنارة المصباحين متماثلة بعد ثوان. وعند فتح القاطعة ينطفئ المصباحان معا، لكن تدريجيا لا فجأة.
نشاط 2: كيف يتطوّر التيار عند غلق القاطعة وعند فتحها ؟
📌التجربة:
- نحقّق دارة على التسلسل: مولد، وقاطعة، وناقل أومي، ووشيعة.
- نصل راسم اهتزاز مهبطيا مزوّدا بذاكرة بين الوشيعة والناقل الأومي، لأنّ الظاهرة أسرع من أن تتابعها العين المجرّدة.
- نضيف على فرع العودة مركّبا لا يمرّر التيار إلا في اتجاه واحد، ليجد التيار مسلكا يمرّ فيه عند فتح القاطعة فلا يتلف التركيب.
- نسجّل المنحنى عند غلق القاطعة، ثمّ نسجّله عند فتحها.
🔍الملاحظة: عند الغلق تتزايد شدّة التيار ببطء حتى تثبت عند قيمة عظمى. وعند الفتح تتناقص ببطء حتى تنعدم. وفي الحالتين تمرّ الدارة بنظام انتقالي قبل أن تستقرّ في نظام دائم.
ثابت الزمن لثنائي القطب RL
والتحليل البعدي يؤكّد أنّ هذه النسبة زمن. ننطلق من عبارة التوتر بين طرفي وشيعة صافية، ومن قانون أوم بين طرفي ناقل أومي.
وبتعويض بعد التوتر في العلاقة الأولى يزول بعد الشدّة من الطرفين، فتصير الذاتية جداء مقاومة في زمن، أي إنّ نسبة الذاتية إلى المقاومة زمن:
| t | 0 | τ | 5τ | ∞ |
|---|---|---|---|---|
| i (A) | 0 | 0,63 I₀ | 0,99 I₀ | I₀ |
الدراسة النظرية لتطوّر شدّة التيار
نطبّق قانون جمع التوترات على الدارة عند غلق القاطعة، ونعوّض التوتر بين طرفي الوشيعة بعبارته، ثمّ نجمع الحدّين المقاومين في مقاومة كلّية واحدة.
وعند فتح القاطعة يخرج المولد من الدارة، فيصير الطرف الأيمن معدوما وتبقى المعادلة نفسها بلا طرف ثابت.
ومن عبارة شدّة التيار نستنتج التوتر بين طرفي الوشيعة. وفي حالة وشيعة صافية تأخذ العبارة شكلا بسيطا، لكنّها تغيّر إشارتها بين الغلق والفتح.
ثنائي قطب RL مكوّن من ناقل أومي مقاومته 90 Ω ووشيعة ذاتيتها 0,50 H ومقاومتها الداخلية 10 Ω، موصول بمولد قوّته المحرّكة الكهربائية 6,0 V.
🎯المطلوب: احسب ثابت الزمن لهذه الدارة، ثمّ استنتج شدّة التيار عند اللحظة τ
لأنّ المقاومة الداخلية للوشيعة على التسلسل مع الناقل الأومي: التياران المارّان فيهما هما التيار نفسه، فتُجمع المقاومتان
لأنّ ثابت الزمن نسبة الذاتية إلى المقاومة الكلّية، لا إلى مقاومة الناقل الأومي وحدها
لأنّ الشدّة العظمى هي التي تبلغها الدارة في النظام الدائم، حيث تتصرّف الوشيعة كناقل أومي فيسري قانون أوم على المقاومة الكلّية
لأنّ الأسّ عند اللحظة τ يساوي ناقص واحد، فيصير المعامل 0,632 تقريبا، وهو معنى ثابت الزمن نفسه
لأنّ هذه الشدّة هي ثلاثة وستّون بالمائة من الشدّة العظمى؛ أمّا الشدّة العظمى نفسها فلا تُعتبر مبلوغة إلا بعد خمسة أضعاف ثابت الزمن، أي بعد 25 ms
نبقى في الدارة نفسها: المقاومة الداخلية للوشيعة 10 Ω وشدّة التيار في النظام الدائم 0,060 A.
🎯المطلوب: احسب التوتر بين طرفي الوشيعة في النظام الدائم
لأنّ شدّة التيار في النظام الدائم ثابتة، فمشتقّها معدوم، فيسقط الحدّ التحريضي من عبارة التوتر ولا يبقى إلا الحدّ المقاومي
لأنّ شدّة التيار في النظام الدائم هي الشدّة العظمى المحسوبة في المثال الأول
لأنّ باقي التوتر، أي 5,4 V، يقع على الناقل الأومي: ومجموع التوترين يساوي القوّة المحرّكة الكهربائية 6,0 V
الطاقة المخزّنة في الوشيعة
تخزّن الوشيعة بفعل ذاتيتها طاقة كهرومغناطيسية عند مرور التيار فيها، وهي الطاقة التي تعيدها إلى الدارة عند فتح القاطعة فتؤخّر انطفاء المصباح.
نعود إلى الدارة نفسها: ذاتية الوشيعة 0,50 H وشدّة التيار في النظام الدائم 0,060 A.
🎯المطلوب: احسب الطاقة المخزّنة في الوشيعة في النظام الدائم
لأنّ الطاقة المخزّنة تتعلّق بشدّة التيار وحدها، وهي في النظام الدائم تساوي الشدّة العظمى المحسوبة في المثال الأول
لأنّ الذاتية معطاة بالهنري وشدّة التيار بالأمبير، فالنتيجة تكون بالجول مباشرة دون أيّ تحويل
لأنّ الطاقة تتعلّق بمربّع شدّة التيار: لو ضاعفنا الشدّة لتضاعفت الطاقة أربع مرّات، تماما كما تتعلّق طاقة المكثفة بمربّع التوتر
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net