مدرستي
العلوم الفيزيائية🎓 هدف البكالوريا

دراسة ظواهر كهربائية

ثنائي القطب ⁦RC⁩: ثابت الزمن، المعادلة التفاضلية و الطاقة المخزنة

🔊 المعلّمة تقرأ لك
حين نغلق القاطعة في دارة فيها ناقل أومي ومكثفة، لا يقفز التوتر بين طرفي المكثفة إلى قيمته النهائية، بل يتسلّق إليها في مدّة يمكن قياسها: قد تكون أجزاء من الثانية، وقد تكون عدّة ثوان. فما القانون الذي يحكم هذا التدرّج، وبأيّ مقدار نقيس بطأه أو سرعته ؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • أن تكتب المعادلة التفاضلية للتوتر بين طرفي المكثفة عند الشحن وعند التفريغ
  • أن تعرف الحلّ الأسّي لهذه المعادلة وتستنتج منه عبارة شدّة التيار
  • أن تعرّف ثابت الزمن وتبيّن بالتحليل البعدي أنّه متجانس مع الزمن
  • أن تعيّن ثابت الزمن بيانيا بطريقتين مختلفتين
  • أن تحسب الطاقة المخزّنة في مكثفة وزمن تناقصها إلى النصف
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • بنية المكثفة وسعتها والعلاقة بين شحنتها والتوتر بين طرفيها
  • قانون جمع التوترات وقانون أوم في دارة متسلسلة
  • اشتقاق الدالة الأسية وحلّ معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى

❓إشكالية: ثنائي القطب RC هو ناقل أومي ومكثفة على التسلسل. عند وضع القاطعة في وضع الشحن يمرّ تيار يتناقص، وعند تحويلها إلى وضع التفريغ يمرّ تيار في الاتجاه المعاكس. فكيف نكتب هذا التطوّر بمعادلة، وما المقدار الذي يميّز سرعته ؟

نشاط 1: كيف يتطوّر التوتر بين طرفي المكثفة عند الشحن ؟

🧰الأدوات:

  • مولد توتر ثابت
  • ناقل أومي
  • مكثفة
  • قاطعة ذات وضعين
  • راسم اهتزاز مهبطي مزوّد بذاكرة

📌التجربة:

  1. نحقّق دارة على التسلسل: مولد توتر ثابت، وناقل أومي، ومكثفة، مع قاطعة ذات وضعين تسمح بالانتقال من الشحن إلى التفريغ دون فكّ أيّ سلك.
  2. نصل راسم اهتزاز مهبطيا مزوّدا بذاكرة بين طرفي المكثفة، لأنّ الظاهرة أسرع من أن تتابعها العين المجرّدة.
  3. نضع القاطعة في وضع الشحن ونسجّل المنحنى.
  4. نعيد التسجيل بعد استبدال الناقل الأومي بآخر مقاومته أكبر، ثمّ بعد استبدال المكثفة بأخرى سعتها أكبر.

🔍الملاحظة: ينطلق التوتر من الصفر ويتزايد بسرعة في البداية ثمّ يتباطأ حتى يستقرّ عند قوّة المولد المحرّكة الكهربائية. وكلّما كبرت المقاومة، أو كبرت السعة، كان بلوغ هذه القيمة أبطأ.

اتجاه الأسهم الثلاثة هو ما يحدّد إشارات المعادلة التفاضلية.
التوتر والتيار يتحرّكان في اتجاهين متعاكسين: أحدهما يبني، والآخر يذوي.
كلّما كبرت المقاومة أو كبرت السعة كان الصعود أبطأ، وابتعد ثابت الزمن على محور الأزمنة.
الاستنتاج: تطوّر التوتر عند الشحن تدريجي وليس تلقائيا، وشكله أسّي. وبطء هذا التطوّر يزداد مع المقاومة ومع السعة معا: فهو مرتبط بجدائهما، لا بأحدهما وحده.

الدراسة النظرية للشحن

نوجّه الدارة ونطبّق قانون جمع التوترات على المسلك المغلق، ثمّ نستبدل كلّ توتر بعبارته.

قانون جمع التوترات عند الشحن
E = uR + uC
قانون أوم بين طرفي الناقل الأومي
uR = R × i
العلاقة بين التيار والتوتر عند المكثفة
i = C × duCdt

وبتعويض العبارتين الأخيرتين في قانون جمع التوترات، وقسمة الطرفين على جداء المقاومة في السعة، نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى.

المعادلة التفاضلية للتوتر عند الشحن
duCdt + uCR×C=ER×C
حلّ المعادلة: التوتر بين طرفي المكثفة عند الشحن
uC(t)=E × (1 - e-tτ)
Eالقوّة المحرّكة الكهربائية للمولد(V)τثابت الزمن للثنائي القطب(s)

وباشتقاق هذا الحلّ وضربه في السعة نحصل على شدّة التيار: فهي تنطلق من قيمة عظمى عند اللحظة الابتدائية ثمّ تتناقص أسّيا حتى تنعدم.

شدّة التيار عند الشحن
i(t)=I0 × e-tτ
الشدّة العظمى عند اللحظة الابتدائية
I0 = ER
انتبه إلى المفارقة: عند اللحظة الابتدائية يكون التوتر بين طرفي المكثفة معدوما بينما تكون شدّة التيار عظمى؛ وفي النهاية يكون التوتر أعظميا بينما تنعدم شدّة التيار. المقداران متعاكسان تماما، وهذا أكثر ما يُخطئ فيه التلميذ.

ثابت الزمن

تعريف: نسمّي جداء المقاومة في السعة ثابت الزمن للثنائي القطب، ونرمز له بـ τ. وهو الزمن اللازم لكي تُشحن المكثفة أو تُفرَّغ بنسبة ثلاثة وستّين بالمائة.
ثابت الزمن
τ = R × C
Rمقاومة الناقل الأومي(Ω)Cسعة المكثفة(F)

والتحليل البعدي يؤكّد أنّ هذا الجداء زمن. ننطلق من علاقتين معروفتين: قانون أوم يربط التوتر بالمقاومة وبشدّة التيار، والشحنة تُكتب بطريقتين، بدلالة السعة والتوتر أو بدلالة الشدّة والزمن.

بعد التوتر انطلاقا من قانون أوم
[u] = [R] × [i]
بعد الشحنة مكتوبا بطريقتين
[C] × [u] = [i] × [t]

وبتعويض بعد التوتر في العلاقة الثانية يزول بعد الشدّة من الطرفين، فلا يبقى إلا ما يلي:

✅نتيجة التحليل البعدي
[R] × [C] = [t]
✅النّتيجة: القيم المميّزة عند الشحن
t0τ5τ∞
⁦u (V)⁩0⁦0,63 E⁩⁦0,99 E⁩E
⁦i (A)⁩I₀⁦0,37 I₀⁩⁦0,01 I₀⁩0
بعد خمسة أضعاف ثابت الزمن تُعتبر المكثفة مشحونة: التوتر بلغ تسعة وتسعين بالمائة من قيمته النهائية.

نسمّي المرحلة التي يتطوّر فيها التوتر بين طرفي المكثفة، من اللحظة 0 إلى 5τ تقريبا، النظام الانتقالي؛ وبعد 5τ تكون المكثفة مشحونة: يبقى التوتر ثابتا عند E وتنعدم شدّة التيار، وهذا هو النظام الدائم.

لثابت الزمن قراءتان على البيان، وهما متكاملتان: فاصلة النقطة التي يقطع فيها المماس في المبدأ المستقيمَ المقارب، وفاصلة النقطة التي يبلغ عندها التوتر ثلاثة وستّين بالمائة من قيمته النهائية. استعمل الأولى للرسم والثانية للتحقّق.

وبما أنّ شحنة المكثفة تتناسب مع التوتر بين طرفيها، ⁦q = C × uC⁩، فهي تتبع القانون نفسه بالضبط: تتزايد أثناء الشحن نحو قيمتها النهائية ⁦Q = C × E⁩، وتبلغ ⁦0,63 × Q⁩ عند اللحظة τ، وتُقرأ τ على بيانها بالمماس نفسه في المبدأ.

شحنة المكثفة أثناء الشحن
q(t)=Q × (1 - e-tτ)
الشحنة تتبع قانون التوتر نفسه: تبلغ ثلاثة وستّين بالمائة من قيمتها النهائية عند اللحظة τ، والمماس في المبدأ يعطي τ.
مثال 1: حساب ثابت الزمن والتوتر عند اللحظة τ

ثنائي قطب RC مكوّن من ناقل أومي مقاومته ⁦10 kΩ⁩ ومكثفة سعتها ⁦100 µF⁩، يُشحن تحت قوّة محرّكة كهربائية قدرها ⁦12 V⁩.

🎯المطلوب: احسب ثابت الزمن لهذا الثنائي القطب، ثمّ استنتج التوتر بين طرفي المكثفة عند اللحظة τ

🔹الخطوة 1: تطبيق تعريف ثابت الزمن

لأنّ ثابت الزمن هو جداء المقاومة في السعة، ولا بدّ من تحويل الكيلو أوم إلى أوم والميكروفاراد إلى فاراد قبل الضرب

τ=R × C=104 × 10-4
🔹الخطوة 2: قيمة ثابت الزمن

لأنّ الجداء يعطي مباشرة زمنا بالثانية، وهو ما أثبته التحليل البعدي أعلاه

τ = 1,0 s
🔹الخطوة 3: تطبيق الحلّ عند اللحظة τ

لأنّ الأسّ عند اللحظة τ يساوي ناقص واحد، فيصير المعامل واحدا ناقص مقلوب العدد النيبيري، أي 0,632 تقريبا

uC(τ)=E × (1 - e-1)=12 × 0,632
✅النّتيجة

لأنّ هذه القيمة هي ثلاثة وستّون بالمائة من ⁦12 V⁩: وهذا بالضبط هو المعنى التجريبي لثابت الزمن

uC(τ) = 7,6 V
لا تحفظ العدد 0,63 وحده: هو واحد ناقص مقلوب العدد النيبيري. وعند التفريغ يبقى 0,37، ومجموع العددين واحد دائما — فإن وجدت مجموعا مخالفا فالخطأ في الحساب لا في الفهم.

نشاط 2: كيف يتطوّر التوتر عند التفريغ ؟

📌التجربة:

  1. ننتظر نهاية عملية الشحن، ثمّ نحوّل القاطعة إلى الوضع الثاني: المولد يخرج من الدارة وتبقى المكثفة موصولة بالناقل الأومي وحده.
  2. نسجّل بالراسم منحنى التوتر بين طرفي المكثفة.
  3. نسجّل في الوقت نفسه منحنى شدّة التيار في الدارة.

🔍الملاحظة: ينطلق التوتر من قيمته العظمى ويتناقص أسّيا حتى ينعدم، بينما تنطلق شدّة التيار من قيمة سالبة وترتفع نحو الصفر: التيار يمرّ في الاتجاه المعاكس لاتجاه الشحن.

الإشارة السالبة ليست خطأ في القراءة: التيار يعبر الدارة في الاتجاه المعاكس لاتجاه الشحن.
الاستنتاج: التفريغ يخضع للقانون الأسّي نفسه، وبثابت الزمن نفسه، لأنّ المقاومة والسعة لم تتغيّرا. والفرق الوحيد هو أنّ التوتر يتناقص بدل أن يتزايد، وأنّ التيار يغيّر إشارته.

الدراسة النظرية للتفريغ

قانون جمع التوترات عند التفريغ
0 = uR + uC
المعادلة التفاضلية للتوتر عند التفريغ
duCdt + uCR×C=0
حلّ المعادلة: التوتر بين طرفي المكثفة عند التفريغ
uC(t)=E × e-tτ
شدّة التيار عند التفريغ
i(t)=-I0 × e-tτ
نتيجة: عند الشحن يبلغ التوتر 0,63 من قيمته النهائية عند اللحظة τ، وعند التفريغ يبقى منه 0,37 عند اللحظة نفسها. ومجموع العددين يساوي واحدا بالضبط، لأنّ ما اكتسبه أحدهما هو ما فقده الآخر.
مثال 2: التوتر بين طرفي المكثفة بعد ضِعف ثابت الزمن من بداية التفريغ

نعزل المولد عن الثنائي القطب السابق بعد نهاية شحنه، فتتفرّغ المكثفة عبر الناقل الأومي نفسه.

🎯المطلوب: احسب التوتر بين طرفي المكثفة عند اللحظة ⁦2,0 s⁩ من بداية التفريغ

🔹الخطوة 1: عدد ثوابت الزمن المنقضية

لأنّ ثابت الزمن لم يتغيّر: المقاومة والسعة هما نفساهما في الشحن وفي التفريغ

tτ=2,01,0=2,0
🔹الخطوة 2: تطبيق حلّ التفريغ

لأنّ حلّ معادلة التفريغ أسّي متناقص ينطلق من التوتر الذي بلغته المكثفة في نهاية الشحن

uC = E × e-2
🔹الخطوة 3: التعويض العددي

لأنّ مقلوب العدد النيبيري تربيعا يساوي 0,135 تقريبا

uC = 12 × 0,135
✅النّتيجة

لأنّ المكثفة فقدت بذلك أكثر من ستّة وثمانين بالمائة من توترها بعد ضِعف ثابت الزمن فقط: التفريغ يبدأ سريعا ثمّ يتباطأ

uC = 1,6 V

الطاقة المخزّنة في المكثفة

ما تخزّنه المكثفة ليس شحنة فحسب، بل طاقة كهربائية تعيدها إلى الدارة أثناء التفريغ. وتُكتب هذه الطاقة بثلاث صور متكافئة، نختار منها ما يوافق المعطيات.

الطاقة المخزّنة في المكثفة
EC=(12) × C × uC2=(12) × q × uC=q22×C
ECالطاقة المخزّنة في المكثفة(J)

وأثناء التفريغ تتناقص هذه الطاقة أسّيا، لكن أسرع من التوتر: لأنّها تتعلّق بمربّعه. ولهذا يُعرَّف لها زمن خاصّ هو زمن تناقصها إلى النصف.

زمن تناقص طاقة المكثفة إلى النصف
t12 = τ × ln22
مثال 3: الطاقة المخزّنة في نهاية الشحن

نعود إلى الثنائي القطب نفسه: سعة المكثفة ⁦100 µF⁩ والقوّة المحرّكة الكهربائية ⁦12 V⁩.

🎯المطلوب: احسب الطاقة المخزّنة في المكثفة في نهاية عملية الشحن

🔹الخطوة 1: التوتر في نهاية الشحن

لأنّ التوتر بين طرفي المكثفة في نهاية الشحن يساوي القوّة المحرّكة الكهربائية للمولد: التيار انعدم، فلم يعد على الناقل الأومي أيّ توتر

uC=E=12 V
🔹الخطوة 2: التعويض في عبارة الطاقة

لأنّ المعطيات هي السعة والتوتر، فالصورة المناسبة من الصور الثلاث هي التي تجمع بينهما

EC = 0,5 × 10-4 × 122
✅النّتيجة

لأنّ الطاقة تتعلّق بمربّع التوتر: لو ضاعفنا القوّة المحرّكة الكهربائية لتضاعفت الطاقة أربع مرّات لا مرّتين

EC=7,2 × 10-3 J=7,2 mJ
مثال 4: زمن تناقص الطاقة المخزّنة إلى النصف

نبقى في الثنائي القطب نفسه، حيث ثابت الزمن يساوي ثانية واحدة.

🎯المطلوب: احسب الزمن اللازم لكي تتناقص الطاقة المخزّنة في المكثفة إلى نصفها

🔹الخطوة 1: العلاقة المستعملة

لأنّ الطاقة تتعلّق بمربّع التوتر، فأسّ الدالة الأسّية يتضاعف: ولهذا يظهر العدد اثنان في المقام

t12 = τ × ln22
🔹الخطوة 2: التعويض العددي

لأنّ ثابت الزمن حُسب في المثال الأول ويساوي ثانية واحدة، ولوغاريتم اثنين النيبيري يساوي 0,693 تقريبا

t12 = 1,0 × 0,6932
✅النّتيجة

لأنّ الطاقة تفقد نصفها قبل أن يفقد التوتر نصفه: التوتر لا يزال عند تلك اللحظة أكبر من سبعين بالمائة من قيمته الابتدائية

t12 = 0,35 s
لا تخلط بين مقدارين اثنين: ثابت الزمن τ يوافق بقاء 0,37 من التوتر عند التفريغ، أمّا زمن نصف الطاقة فيوافق بقاء 0,50 من الطاقة. المقداران مختلفان لأنّ المقدارين اللذين يقيسانهما مختلفان، والخلط بينهما هو الخطأ الأكثر شيوعا في هذا الدرس.
ما يُقرأ هنا هو النصف، لا سبعة وثلاثون بالمائة: مقدار آخر وزمن آخر.
جسر نحو الرياضيات: المعادلة التفاضلية للشحن هي بالضبط المعادلة الخطية من الدرجة الأولى التي تدرسها في حصّة الرياضيات. حلّها العام هو مجموع حلّ خاصّ ثابت ودالة أسّية، وهذا ما يفسّر ظهور الحدّ الثابت وحدّ الأسّ في العبارة. الدرسان واحد، بلغتين.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في تمرين الدارة RC بأسئلة متسلسلة: «أثبت المعادلة التفاضلية التي يحقّقها uC»، ثمّ «تحقّق أنّ ⁦uC(t) = E × (1 − e−t/τ)⁩ حلّ لها وعبّر عن τ»، ثمّ «عيّن τ بيانيّا»، ثمّ الطاقة. جهّز ثلاثة عناصر: ① المعادلة من قانون جمع التوترات: ⁦E = uR + uC⁩ مع ⁦uR = R × C × duC/dt⁩، فتصير ⁦duC/dt + uC/(R × C) = E/(R × C)⁩ ؛ ② ⁦τ = R × C⁩ بقراءتين: المستوى ⁦63 %⁩ من القيمة العظمى، أو تقاطع المماس عند المبدأ مع المستقيم ⁦uC = E⁩ ؛ ويُعدّ النظام منتهيا عند 5τ ؛ ③ الطاقة: ⁦EC = ½ × C × uC²⁩، وزمن تناقصها إلى النصف ⁦τ × ln2/2⁩. ⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين التوتر والتيار عند الغلق ؛ التوتر ينطلق من الصفر، وشدّة التيار تنطلق من قيمتها العظمى ⁦E/R⁩. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الخلط بين ثابت الزمن، يُقرأ على التوتر، وزمن تناقص الطاقة إلى النصف ؛ هما مختلفان لأنّ الطاقة تتناسب مع مربّع التوتر.
خلاصة: عند شحن ثنائي القطب RC يخضع التوتر بين طرفي المكثفة لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى، حلّها دالة أسّية تبلغ ⁦63 %⁩ من قيمتها النهائية عند اللحظة τ وتُعتبر مكتملة عند 5τ. وشدّة التيار تسير عكسها تماما: عظمى في البداية، معدومة في النهاية. وثابت الزمن هو جداء المقاومة في السعة، ويقيس وحده بطء الشحن والتفريغ معا. والمكثفة تخزّن طاقة تتعلّق بمربّع التوتر، وتتناقص إلى النصف في زمن يساوي نصف جداء ثابت الزمن في لوغاريتم اثنين.

الصفحة 1/11

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net