الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية المتتاليات الحسابية

استعمال المتتاليات الحسابية و الهندسية في حل المشكلات اليومية

🔊 المعلّمة تقرأ لك

مدينتان لهما في سنة 2005 العدد نفسه من السكان: 6000 نسمة. المدينة A تكسب كل سنة 130 نسمة، والمدينة B تكبر كل سنة بنسبة 2٪. بعد خمس سنوات تبدو A في المقدمة. فمتى تتجاوزها B، إن تجاوزتها أصلا؟

هذا سؤال حقيقي يُطرح على المخططين. ونمذجته تُظهر أن الزيادة الثابتة والزيادة بنسبة مئوية لا تنتميان إلى العالم نفسه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

نمذجة زيادة بمقدار ثابت بمتتالية حسابية
نمذجة زيادة بنسبة مئوية بمتتالية هندسية
تحويل نسبة مئوية إلى أساس متتالية هندسية
المقارنة بين نموّين على المدى الطويل

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

دستور الحد العام لمتتالية حسابية و هندسية
حساب نسبة مئوية من عدد

1. نمذجة الوضعية

نرمز بـ uₙ إلى عدد سكان A و بـ vₙ إلى عدد سكان B خلال السنة ⁦2005 + n⁩. الزيادة الثابتة تعطي متتالية حسابية، والزيادة بنسبة مئوية تعطي متتالية هندسية.

المدينة A — حسابية

uₙ = 6000 + 130n

المدينة B — هندسية

vₙ = 6000 × 1,02ⁿ

الزيادة بنسبة 2٪ تعني الضرب في 1,02، لا إضافة 0,02: هذا هو المفصل الذي تُبنى عليه المسألة.

منحنيان ينطلقان من النقطة نفسها: مستقيم المدينة A، و منحنى المدينة B الذي يلحق به ثمّ يتجاوزه نحو السنة التاسعة. — الزيادة الثابتة تسبق في البداية، والزيادة بنسبة مئوية تلحق ثم تتجاوز.

للمقارنة العملية بين متتاليتين، أنجز جدولا للقيم بحاسبة بيانية: تظهر لحظة التجاوز في سطر واحد بدل حل متراجحة.

مثال 1: المقارنة سنة 2010

🎯المطلوب: قارن بين عدد سكّان المدينتين بعد خمس سنوات.

📌المعطى

n = 5

🔹الخطوة 1: المدينة A

u₅ = 6000 + 650

🔹الخطوة 2: المدينة B

v₅ = 6000 × 1,02⁵

🔹الخطوة 3: إتمام حساب المدينة A

الزيادة الكلّية في خمس سنوات هي 130 نسمة في السنة مضروبة في 5، ثمّ نضيفها إلى العدد الابتدائي.

130 × 5 = 650 ; 6000 + 650 = 6650

🔹الخطوة 4: إتمام حساب المدينة B

نحسب القوّة أوّلا، ثمّ نضرب فيها العدد الابتدائي، ثمّ نقرّب إلى منزلة عشرية واحدة.

1,02⁵ ≈ 1,104081 ; 6000 × 1,104081 = 6624,486 ≈ 6624,5

✅النّتيجة

u₅ = 6650 , v₅ = 6624,5

بعد خمس سنوات A ما تزال في المقدمة: النتيجة القريبة لا تُنبئ بالنتيجة البعيدة.

مثال 2: لحظة التجاوز

🎯المطلوب: عيّن السنة التي يتجاوز فيها سكّان المدينة الثانية سكّان الأولى.

📌المعطى

n = 9

🔹الخطوة 1: المدينة A

u₉ = 6000 + 1170

🔹الخطوة 2: المدينة B

v₉ = 6000 × 1,02⁹

🔹الخطوة 3: إتمام حساب المدينة A

الزيادة الكلّية في تسع سنوات هي 130 نسمة في السنة مضروبة في 9، ثمّ نضيفها إلى العدد الابتدائي.

130 × 9 = 1170 ; 6000 + 1170 = 7170

🔹الخطوة 4: إتمام حساب المدينة B

نحسب القوّة أوّلا، ثمّ نضرب فيها العدد الابتدائي، ثمّ نقرّب إلى منزلة عشرية واحدة.

1,02⁹ ≈ 1,195093 ; 6000 × 1,195093 = 7170,558 ≈ 7170,6

✅النّتيجة

u₉ = 7170 , v₉ = 7170,6

ابتداء من السنة التاسعة، أي 2014، تتجاوز B المدينة A ولا تعود إلى الوراء.

مثال 3: رصيد يكبر بنسبة مئوية

🎯المطلوب: احسب الحدّ العام للرصيد الذي يكبر كلّ سنة بنسبة مئوية ثابتة.

📌المعطى

u₀ = 10000 , q = 1,05

🔹الخطوة 1: الحد العام

زيادة 5٪ تعني الضرب في 1,05.

uₙ = 10000 × 1,05ⁿ

🔹الخطوة 2: بعد عشر سنوات

u₁₀ = 10000 × 1,05¹⁰

✅النّتيجة

u₁₀ ≈ 16289

الفائدة المركّبة هندسية لا حسابية: 5٪ في عشر سنوات تعطي 63٪ لا 50٪.

مسائل الوضعيات في البكالوريا تُنقّط على النمذجة قبل الحساب. خصّص السطرين الأولين لتسمية ما ترمز إليه بـ uₙ وفي أي سنة — « uₙ عدد سكان A في السنة ⁦2005 + n⁩ » — ثم برّر نوع المتتالية قبل أن تكتب أي دستور. زيادة بنسبة p٪ تعني الضرب في ⁦1 + p/100⁩: هذا هو الخطأ الأكثر كلفة في هذا النوع من التمارين.

الخلاصة: الزيادة بمقدار ثابت تُنمذج بمتتالية حسابية، والزيادة بنسبة مئوية بمتتالية هندسية. الحسابية تسبق في البداية، لكن الهندسية تتجاوزها حتما إذا كان أساسها أكبر من 1. النمذجة الصحيحة تسبق الحساب وتحدّد نتيجته.

الصفحة 1/5