الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

المتتاليات من الشكل ⁦u(n+1) = a·u(n) + b⁩: حساب الحد العام و المجموع

🔊 المعلّمة تقرأ لك

رصيد يُضرب كل سنة في 1,05 ثم يُضاف إليه 2000 دينار. الضرب وحده يعطي متتالية هندسية، والإضافة وحدها تعطي متتالية حسابية، أما اجتماعهما فلا يعطي لا هذه ولا تلك. فكيف نحسب الحد العام لمتتالية ليست من النوعين المعروفين؟

الحيلة قديمة وفعّالة: نبني متتالية مساعدة ⁦(vₙ)⁩ تكون هندسية، نحسب حدها العام، ثم نعود إلى ⁦(uₙ)⁩. ندرس الحالات الثلاث.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

التعرّف على الشكل ⁦uₙ₊₁ = a·uₙ + b⁩ و تمييز حالاته الثلاث
حساب النقطة الثابتة ⁦b/(1−a)⁩
بناء المتتالية المساعدة و استنتاج الحد العام و المجموع

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

التوليد بالتراجع لمتتالية
مجموع حدود متتابعة من متتالية هندسية

الشكل المدروس

uₙ₊₁ = a·uₙ + b

الحالة ⁦1: a = 1⁩

العلاقة تصير ⁦uₙ₊₁ = uₙ + b⁩: المتتالية حسابية أساسها b، ولا حاجة إلى أي متتالية مساعدة.

الحالة ⁦2: a ≠ 1⁩ و الحد الأول يساوي ⁦b/(1−a)⁩

العدد ⁦b/(1−a)⁩ هو الحل الوحيد للمعادلة ⁦x = a·x + b⁩. إذا انطلقنا منه بقينا فيه: المتتالية ثابتة.

النقطة الثابتة

x = b1 − a

الحالة ⁦3: a ≠ 1⁩ و الحد الأول يخالف ⁦b/(1−a)⁩

نطرح النقطة الثابتة من كل حد. المتتالية الناتجة هندسية أساسها a، وهذا هو مفتاح الحل كله.

المتتالية المساعدة

vₙ=uₙ − b1 − a

خاصيتها

vₙ₊₁ = a × vₙ

ذهاب و إياب: نطرح القيمة الثابتة فنحصل على متتالية هندسية، نحسب حدّها العامّ، ثمّ نضيف القيمة الثابتة لنعود إلى المتتالية الأولى. — الطريق كامل: نطرح النقطة الثابتة، نحلّ في العالم الهندسي، ثم نعود.

مثال 1: الحالة ⁦a = 1⁩

🎯المطلوب: عيّن الحدّ العام للمتتالية في الحالة ⁦a = 1⁩، و بيّن أنّها حسابية.

📌المعطى

u₁ = 2 , uₙ₊₁ = uₙ − 3

🔹الخطوة 1: الحد العام

المعامل يساوي 1، فالمتتالية حسابية أساسها ⁦−3⁩.

uₙ = 5 − 3n

🔹الخطوة 2: المجموع

Sₙ=n × 7 − 3n2

✅النّتيجة

uₙ = 5 − 3n

تحقّق من قيمة a قبل كل شيء: إذا كانت 1 فالمسألة حسابية بسيطة، ولا داعي للمتتالية المساعدة.

مثال 2: الحالة الثابتة

🎯المطلوب: أوجد النقطة الثابتة ثمّ بيّن أنّ المتتالية ثابتة إذا انطلقت منها.

📌المعطى

u₁ = −3 , uₙ₊₁ = 2uₙ + 3

🔹الخطوة 1: النقطة الثابتة

نحسب النقطة الثابتة ونقارنها بالحد الأول.

x = 31 − 2

🔹الخطوة 2: الحدود

الحد الأول يساويها، فكل الحدود تساويها.

u₂ = −3 , u₃ = −3

✅النّتيجة

Sₙ = −3n

احسب ⁦b/(1−a)⁩ أولا وقارنه بالحد الأول: إن تساويا فالمسألة تنتهي في سطر واحد.

مثال 3: الحالة العامة

🎯المطلوب: احسب الحدّ العام في الحالة العامة، مستعينا بمتتالية مساعدة هندسية.

📌المعطى

u₁ = 1 , uₙ₊₁ = 2uₙ + 3

🔹الخطوة 1: المتتالية المساعدة

النقطة الثابتة هي ⁦−3⁩، فنضع ⁦vₙ = uₙ + 3⁩.

vₙ = uₙ + 3

🔹الخطوة 2: التحقق

نتحقق أنها هندسية بحساب ⁦vₙ₊₁⁩.

vₙ₊₁ = 2vₙ

🔹الخطوة 3: حدها العام

الحد الأول ⁦v₁ = 4⁩ و الأساس 2.

vₙ = 4 × 2ⁿ⁻¹

✅النّتيجة

uₙ = 4 × 2ⁿ⁻¹ − 3

لا تنس العودة: الجواب المطلوب هو uₙ لا vₙ. نسيان الخطوة الأخيرة خطأ متكرر.

هذا الشكل حاضر في كل دورة تقريبا، ودائما بالسيناريو نفسه: السؤال يعطيك vₙ جاهزة ويطلب « بيّن أن ⁦(vₙ)⁩ هندسية ». لا تبحث عنها إذن، بل تحقّق منها بحساب ⁦vₙ₊₁⁩ بدلالة vₙ. ثم انتبه إلى الأس: إذا كان الحد الأول u₁ فالدستور هو ⁦vₙ = v₁ × qⁿ⁻¹⁩، وإذا كان u₀ فهو ⁦v₀ × qⁿ⁩. خطأ في هذا الأس وحده يُسقط بقية التمرين.

الخلاصة: أمام ⁦uₙ₊₁ = a·uₙ + b⁩، افحص a أولا. إن كان ⁦a = 1⁩ فالمتتالية حسابية. وإلا فاحسب النقطة الثابتة ⁦b/(1−a)⁩: إن ساوت الحد الأول فالمتتالية ثابتة، وإلا فاطرحها لتحصل على متتالية هندسية أساسها a، ثم عد إلى uₙ.

الصفحة 1/6