مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية الإشتقاقية 1

تذكير حول المشتقات و معادلة المماس لمنحنى دالة

🔊 المعلّمة تقرأ لك
منحنى دالة يصعد ثمّ يهبط. لو أردنا معرفة ميله في نقطة واحدة بالضبط، لا على مجال، فلا يكفي أن ننظر: نحتاج عددا يُحسب. فأيّ عدد يقيس ميل منحنى في نقطة واحدة؟

هذا العدد هو العدد المشتق، و الدالة التي تعطيه في كلّ نقطة هي الدالة المشتقة. من دون هذا الدرس لا يمكن دراسة اتجاه تغيّر دالة، و هو موضوع الدرس الموالي.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعيين الدالة المشتقة لدالة كثيرة حدود أو ناطقة
  • استعمال العمليات على المشتقات: المجموع، الجداء و القسمة
  • كتابة معادلة المماس لمنحنى عند نقطة معلومة الفاصلة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • قراءة معادلة مستقيم و معامل توجيهه
  • حساب صورة عدد بدالة معطاة

1. مشتقات الدوال المألوفة

ليكن k و a و b أعدادا حقيقية، و f دالة و ⁦f′⁩ دالتها المشتقة. هذه المشتقّات الخمس تُحفظ عن ظهر قلب، فكلّ ما بعدها يُبنى عليها.

الدالة الثابتة
f(x) = k ; f'(x) = 0
الدالة التآلفية
f(x) = a x + b ; f'(x) = a
المربّع
f(x) = x² ; f'(x) = 2x
القوّة
f(x) = xn ; f'(x) = n xn⁻¹
nعدد طبيعي أكبر من أو يساوي 2
المقلوب
f(x) = 1x ; f'(x) = -1x²
مجالات قابلية الاشتقاق ليست كلّها ℝ. الأربع الأولى قابلة للاشتقاق على ℝ كلّها، أمّا المقلوب فعلى المجالين المفتوحين قبل الصفر و بعده، لأنّ الدالة نفسها غير معرّفة في 0.
خمس مشتقّات تُحفظ عن ظهر قلب، و معها مجالاتها: الأربع الأولى على ℝ كلّها، و المقلوب على المجالين المفتوحين قبل الصفر و بعده.

2. العمليات على المشتقات

لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I من ℝ، و k عددا حقيقيا. عندئذ:

المجموع
(f + g)' = f' + g'
الضرب في عدد
(k f)' = k f'
الجداء
(f g)' = f' g + g' f
مقلوب دالة
(1g)' = -g'g²
قسمة دالتين
(fg)' = f' g - g' fg²
في القسمة و المقلوب، الدالة المشتقة معرّفة على I باستثناء القيم التي ينعدم عندها المقام. اكتب هذا الشرط قبل الحساب، لا بعده: هو جزء من الجواب، لا تعليق عليه.
خمس قواعد على المجال نفسه I، و شرط واحد يُضاف في المقلوب و القسمة: أن لا ينعدم المقام.
مثال 1: مشتقّات ثلاث كثيرات حدود

🎯المطلوب: عيّن الدالة المشتقّة لكلّ من الدوال الثلاث المعرّفة على ℝ.

📌المعطى

كثيرة الحدود قابلة للاشتقاق على ℝ دائما، فنشتقّ حدّا حدّا.

f(x) = -3x + 1
🔹الخطوة 1

دالة تآلفية: مشتقّها هو معامل x، و الثابت يذهب.

f'(x) = -3
📌المعطى
f(x) = x² - 4x + 5
🔹الخطوة 2

مشتق المربّع هو 2x، مشتق ⁦−4x⁩ هو ⁦−4⁩، و مشتق الثابت 5 هو 0.

f'(x) = 2x - 4
📌المعطى
f(x)=2x³ - x² + 5x + 3
🔹الخطوة 3

مشتق x³ هو 3x²، فمشتق 2x³ هو 6x². ثمّ ⁦−2x⁩، ثمّ 5، ثمّ 0.

f'(x) = 6x² - 2x + 5
✅النّتيجة
-3 ; 2x - 4 ; 6x² - 2x + 5
لا تحفظ مشتقّات كثيرات الحدود واحدة واحدة: احفظ قاعدة القوّة و حدّها. كلّ كثيرة حدود ليست إلاّ مجموع قوى مضروبة في أعداد.
مثال 2: مشتقّة دالة ناطقة

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالة ثمّ احسب دالتها المشتقّة.

📌المعطى

نضع البسط و المقام و نحدّد المجال قبل كلّ شيء.

f(x)=2x + 3x + 1
المجال
]−∞ ; −1[ ∪ ]−1 ; +∞[
🔹الخطوة 1

نطبّق قاعدة القسمة: مشتق البسط في المقام، ناقص مشتق المقام في البسط، على مربّع المقام.

f'(x)=2(x + 1) - 1(2x + 3)(x + 1)²
🔹الخطوة 2

ننشر البسط وحده، و لا نلمس المقام.

2(x + 1) - 1(2x + 3)=2x + 2 - 2x - 3
🔹الخطوة 3
2x + 2 - 2x - 3=-1
✅النّتيجة
f'(x) = -1(x + 1)²
لاحظ أنّ البسط تلاشى فيه x تماما و بقي عدد. هذا يحدث كثيرا في الدوال التناظرية، و هو علامة جيّدة على أنّ الحساب صحيح.
مثال 3: معادلة المماس

نواصل مع نفس الدالة، و نبحث عن مماس منحناها عند النقطة التي فاصلتها 0.

🎯المطلوب: اكتب معادلة مماس المنحنى عند النقطة التي فاصلتها 0.

📌المعطى

معادلة المماس عند النقطة التي فاصلتها a تُكتب دائما بنفس الشكل.

y = f'(a)(x - a) + f(a)
🔹الخطوة 1: هنا
a = 0
🔹الخطوة 2

نحسب صورة 0 بالدالة نفسها.

f(0)=2 × 0 + 30 + 1=31=3
🔹الخطوة 3

نحسب صورة 0 بالدالة المشتقة المحسوبة في المثال 2.

f'(0)=-1(0 + 1)²=-11=-1
🔹الخطوة 4

نعوّض في الشكل العام، و a معدوم فيبقى x وحده.

y=-1 × (x - 0) + 3
✅النّتيجة
y = -x + 3
لا تخلط بين ⁦f(a)⁩ و ⁦f′(a)⁩: الأولى تعطي الارتفاع الذي يمرّ منه المماس، و الثانية تعطي ميله. نسيان إحداهما يعطي مستقيما موازيا أو مارّا بجانب.
سؤال المماس يأتي في كلّ موضوع تقريبا، و هو من أسهل النقاط. اكتب الشكل العام أوّلا حتّى قبل أن تحسب شيئا: هذا السطر وحده يُنقّط، حتّى لو أخطأت بعده في عدد.
الخلاصة: لكلّ دالة مألوفة مشتقّة تُحفظ، و العمليات على المشتقات تسمح باشتقاق أيّ تركيب منها. و معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة a هي ⁦y = f′(a)(x − a) + f(a)⁩، حيث ⁦f′(a)⁩ هو الميل و ⁦f(a)⁩ هو الارتفاع.

الصفحة 1/6

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net