الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الحساب

الاستدلال بالتراجع

🔊 المعلّمة تقرأ لك

صفّ طويل من قطع الدومينو المنتصبة. لتُسقطها كلها يكفي شرطان: أن تُسقط الأولى، و أن تكون كل قطعة قريبة بما يكفي لتُسقط التي بعدها. لا حاجة إلى دفع كل قطعة. فكيف نُثبت خاصية من أجل كل عدد طبيعي، و هي لا نهائية العدد؟

الجواب هو الاستدلال بالتراجع: نتحقّق من الخاصية عند أوّل رتبة، ثمّ نبيّن أنّها تنتقل من رتبة إلى التي تليها. المرحلتان معا تغطّيان عددا لا نهائيا من الحالات.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

استعمال مبدأ الاستدلال بالتراجع في مرحلتيه
تحرير فرضية التراجع بدقّة و التمييز بينها و بين ما يُطلب برهانه
معرفة لماذا تبقى مرحلة التحقّق ضرورية حتى إذا بدت بديهية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

التعويض في عبارة بدلالة عدد طبيعي
صياغة خاصية من أجل كل عدد طبيعي

1. المبدأ

لتكن ⁦P(n)⁩ خاصية متعلقة بعدد طبيعي n، و ليكن n₀ عددا طبيعيا. للبرهان على صحة ⁦P(n)⁩ من أجل كل عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي n₀، يكفي أمران:

المرحلة الأولى: نتأكد من صحة الخاصية من أجل n₀، أي ⁦P(n₀)⁩.
المرحلة الثانية: نفرض الخاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي n أكبر من أو يساوي n₀ — و هذه هي فرضية التراجع — ثم نبرهن صحتها من أجل ⁦n+1⁩.

صفّ من قطع الدومينو: ندفع الأولى، فتُسقط كلّ قطعة التي بعدها، حتّى يسقط الصفّ كلّه دون أن نمسّ البقيّة. — مرحلتان لا واحدة: دفعة أولى، و ضمان أن كل قطعة تُسقط التي بعدها.

2. لماذا المرحلة الأولى ضرورية

المرحلة الأولى تبدو تحقّقا بسيطا، و كثيرا ما يُهملها التلميذ. لكنها ضرورية، لأن خاصية يمكن أن تكون وراثية و خاطئة في الوقت نفسه.

الخاصية « من أجل كل عدد طبيعي n، العدد 3ⁿ مضاعف للعدد 5 » خاطئة قطعا، و مع ذلك هي وراثية: إذا كان ⁦3ⁿ = 5k⁩ فإن ⁦3ⁿ⁺¹ = 3 × 5k = 5(3k)⁩، فهو مضاعف للعدد 5 بدوره. الوراثة وحدها لا تُثبت شيئا: ما ينقصها هو أن تكون صحيحة مرة واحدة على الأقل. و هي ليست صحيحة من أجل أي n.

3. تحرير البرهان

الخطأ الشائع ليس في الحساب بل في التحرير: يجب أن يظهر بوضوح ما نفترضه و ما نبرهنه. اكتب فرضية التراجع في سطر مستقل، و ما يُطلب برهانه في سطر آخر، قبل أن تبدأ الحساب.

مثال 1: مجموع الأعداد الطبيعية الأولى

🎯المطلوب: أثبت بالتراجع أنّ مجموع الأعداد الطبيعية الأولى يساوي ⁦n(n + 1)/2⁩.

📌المعطى

1 + 2 + 3 + … + n=n(n + 1)2

🔹الخطوة 1: التحقق

نتحقق من أجل ⁦n = 1⁩.

1 = 1 × 22

🔹الخطوة 2: الوراثة

نفرض الخاصية صحيحة من أجل n، ثم نضيف الحد ⁦n+1⁩.

1 + 2 + … + n + (n + 1)=n(n + 1)2 + (n + 1)

🔹الخطوة 3: التبسيط

نضع ⁦(n+1)⁩ عاملا مشتركا.

n(n + 1) + 2(n + 1)2=(n + 1)n + 22

✅النّتيجة

1 + 2 + … + n=n(n + 1)2

هذه هي صيغة غوص نفسها التي رأيناها في باب المتتاليات، و هنا نبرهنها بالتراجع.

مثال 2: خاصية وراثية و خاطئة

🎯المطلوب: بيّن أنّ الوراثة وحدها لا تكفي، و أنّ مرحلة التحقّق ضرورية.

📌المعطى

3ⁿ = 5×k

🔹الخطوة 1: الوراثة

نفترض الخاصية و ننتقل إلى ⁦n+1⁩.

3ⁿ⁺¹=3 × 5×k=5 × (3×k)

🔹الخطوة 2: التحقق

الوراثة تمّت، لكن التحقّق يفشل.

3⁰ = 1

✅النّتيجة

1 = 5×k

لا توجد قيمة صحيحة لـ k تحقّق ذلك: الوراثة صحيحة و الخاصية خاطئة، و هذا يُثبت أن المرحلة الأولى ليست شكلية.

مثال 3: خاصية الأسّ في الموافقات

🎯المطلوب: أثبت بالتراجع أنّ التوافق يبقى صحيحا عند الرفع إلى أسّ.

📌المعطى

a ≡ b [n]

🔹الخطوة 1: التحقق

نتحقق من أجل ⁦p = 1⁩.

a¹ ≡ b¹ [n]

🔹الخطوة 2: الوراثة

نفرض ⁦a^p ≡ b^p [n]⁩ ثم نضرب في ⁦a ≡ b [n]⁩ بخاصية التلاؤم مع الضرب.

a^p × a ≡ b^p × b [n]

✅النّتيجة

a^p⁺¹ ≡ b^p⁺¹ [n]

هكذا تُبرهن الخاصية السادسة للموافقات: الدرسان متكاملان، و البكالوريا تجمعهما كثيرا.

« برهن بالتراجع » سؤال يُنقّط على البنية قبل الحساب، و النقاط موزّعة على أربعة عناصر: التحقّق، فرضية التراجع محرّرة صراحة، ما يُطلب برهانه محرّرا بدوره، ثم الخلاصة. من يقفز إلى الحساب مباشرة يفقد ثلاثة أرباع النقطة و لو كان حسابه سليما. اكتب المرحلتين بعنوانيهما، دائما.

الخلاصة: لإثبات خاصية من أجل كل عدد طبيعي ⁦n ≥ n₀⁩، نتحقّق منها عند n₀ ثم نبرهن أنها تنتقل من n إلى ⁦n+1⁩. المرحلتان لازمتان معا: الوراثة وحدها قد تحمل خاصية خاطئة، كما في « 3ⁿ مضاعف للعدد 5 »، و التحقّق وحده لا يتجاوز حالة واحدة.

الصفحة 1/6