تمويل التثبيتات و الاستثمار · القروض العادية المسددة على دفعات ثابتة بفوائد مركبة — الفائدة المركبة

المبلغ الموظّف أو المقترض بفائدة بسيطة ينتج فائدة ثابتة طول مدّة التوظيف أو الاقتراض. أمّا في المعاملات المالية طويلة الأجل، أي التي تتجاوز مدّتها سنة، فيستطيع الدائن أن يضيف الفائدة البسيطة المحصّل عليها في نهاية كلّ دورة إلى رأس المال، ليكوّن رأس مال جديدا منتجا للفائدة؛ وبالتالي تصبح الفائدة متزايدة من دورة إلى أخرى.

فالفائدة تُعتبر مركّبة إذا كانت تُحسب على جملة المبلغ في كلّ وحدة زمنية، وليس على الأصل فقط: تُضمّ الفائدة إلى الأصل (أو الجملة) في كلّ مرّة، وتُحسب على أساسه. فالفائدة المركّبة، اختصارا، تعني حساب الفائدة للفائدة.

نتتبّع مؤسسة «النسيم» في حالتين: نجيب عن سؤالها الأوّل في آخر هذه الفقرة، وعن سؤالها الثاني في الفقرة 2، وعن سؤالها الثالث في الفقرة 4.

مثال — نوظّف مبلغ 5000 دج بمعدّل فائدة مركّبة ⁦8%⁩ سنويا، ونتتبّع رأس المال سنة بعد سنة: في نهاية كلّ سنة تُضاف فائدتها إلى رأس المال، فتُحسب فائدة السنة الموالية على المجموع.

نلاحظ أنّ فائدة السنة الثانية، 432 دج، مركّبة من فائدتين: فائدة على رأس المال الأصليّ (400 دج، الخطوة 1)، وفائدة على فائدة السنة الأولى:

تكبير الصورة

ونرمز في حساب القيمة المكتسبة بما يلي:

نستخرج الصيغة العامة فترة بعد فترة: في نهاية كلّ فترة، رأس المال الجديد هو رأس مال بدايتها مضافا إليه الفائدة المتحصّل عليها خلالها:

إذن الصيغة العامة لحساب القيمة المكتسبة بفائدة مركّبة هي:

الفائدة هي الفرق بين القيمة المكتسبة ورأس المال الموظّف أو المقترض:

مثال — الفائدة التي تحصّل عليها مؤسسة «النسيم» في نهاية السنة التاسعة، نحسبها بطريقتين تعطيان النتيجة نفسها: بالفرق، ثمّ بالصيغة.

إذا كانت مدّة التوظيف عددا غير كامل من الدورات، فإنّها تُكتب عددا صحيحا ⁦s⁩ من الدورات، مضافا إليه ⁦m⁩ شهرا:

مثال — نحسب القيمة المكتسبة من توظيف مبلغ 90000 دج بمعدّل فائدة مركّبة ⁦6%⁩ سنويا لمدّة 5 سنوات و4 أشهر. ولحساب القيمة المكتسبة حلّان: الحلّ العقلانيّ، والحلّ التجاريّ.

الحلّ العقلانيّ — نحسب القيمة المكتسبة للعدد الصحيح من الدورات بالفائدة المركّبة، ثمّ نضيف إليها الفائدة البسيطة لهذه القيمة عن الأشهر الباقية، وهي تُحسب بالعلاقة:

الحلّ التجاريّ — نستعمل الصيغة العامة للقيمة المكتسبة مباشرة، بالمدّة كلّها:

إنّ الطريقة التي تُحسب بها الفوائد تؤثّر على مردودية توظيف مبلغ ما أو على تكلفة تمويل قرض ما؛ ولهذا من المهمّ أن نجعل معدّلات الفائدة محدّدة على الأسس نفسها عندما تُطبَّق على مدد مختلفة. وهذا يقودنا إلى دراسة المعدّلات المتناسبة والمعدّلات المتكافئة.

أي إذا كان المعدّل ⁦t₁⁩ المتعلّق بالدورة ⁦n₁⁩ يتناسب مع المعدّل ⁦t₂⁩ المتعلّق بالدورة ⁦n₂⁩، فإنّ:

مثال — نوجد المعدّلين السداسيّ والثلاثيّ المتناسبين مع المعدّل السنويّ ⁦8%⁩: السنة 12 شهرا، والسداسيّ 6 أشهر، والثلاثيّ 3 أشهر.

مثال — مبلغ 10000 دج وُظّف لمدّة سنة بمعدّل فائدة ⁦9%⁩ سنويا؛ ثمّ وُظّف المبلغ نفسه، للمدّة نفسها، بالمعدّلات المتناسبة: ⁦4,5%⁩ سداسيا، و⁦2,25%⁩ ثلاثيا، و⁦0,75%⁩ شهريا. نحسب القيمة المكتسبة في نهاية السنة بالفائدة البسيطة، ثمّ بالفائدة المركّبة. بالفائدة البسيطة، المعدّل مضروبا في عدد الفترات يبقى هو نفسه:

أمّا بالفائدة المركّبة، فنطبّق الصيغة العامة بمعدّل كلّ فترة وعدد فترات السنة:

فبالفائدة البسيطة تبقى القيمة المكتسبة 10900 دج مهما كان المعدّل المتناسب؛ أمّا بالفائدة المركّبة فتكبر كلّما قصرت مدّة حساب الفائدة، من 10900 دج بالمعدّل السنويّ إلى ⁦10938,06⁩ دج بالمعدّل الشهريّ.

إذا وُظّف مبلغ 1 دج بمعدّل سنويّ ⁦i_a⁩ لمدّة سنة، أو بمعدّل سداسيّ ⁦i_s⁩ للمدّة نفسها، أي سداسيّين، فإنّ قيمته المكتسبة في نهاية السنة هي:

ونقول عن المعدّلين إنّهما متكافئان إذا تساوت قيمتاهما المكتسبتان:

وبصفة عامّة، إذا كان ⁦i_a⁩ المعدّل السنويّ لـ 1 دج لفترة زمنية واحدة، و⁦i_j⁩ معدّل فترة هي جزء من ⁦q⁩ أجزاء من هذه الفترة الواحدة، فإنّ المعدّلين متكافئان إذا كان:

وبمعرفة المعدّل السنويّ نحدّد المعدّل المكافئ له: نأخذ الجذر من الرتبة ⁦q⁩ للطرفين، أي نرفعهما إلى القوّة ⁦1/q⁩، ثمّ نطرح 1:

مثال — نحسب المعدّلات السداسيّ ثمّ الثلاثيّ ثمّ الشهريّ المتكافئة مع المعدّل السنويّ ⁦8%⁩، أي ⁦i_a = 0,08⁩، والسنة سداسيّان، أو 4 أشهر ثلاثية، أو 12 شهرا:

وتُعرَّف على أنّها القيمة الأصلية لرأس مال عُرفت قيمته في نهاية مدّة معيّنة من التوظيف؛ وتُحدَّد القيمة الحالية بطرح (خصم) الفائدة المركّبة من المبلغ الواجب تسديده. فهي الطريق المعاكس للرسملة:

تكبير الصورة

ننطلق من الصيغة العامة لحساب القيمة المكتسبة، ونستخرج منها رأس المال:

☞ كيف تُحسب القيمة الحالية لرأس مال بفائدة مركّبة؟☞ كيف تُحسب القيمة الحالية لرأس مال بفائدة مركّبة؟

نطبّق الصيغة على قرض مؤسسة «النسيم»: المبلغ الواجب تسديده بعد 7 سنوات هو ⁦1132891,74⁩ دج، بمعدّل ⁦8,50%⁩ سنويا، ونبحث عن أصل المبلغ المقترض، أي عن قيمته الحالية:

تكبير الصورة

📌المعطى

المبلغ الواجب تسديده	معدّل الفائدة المركّبة	المدّة
⁦1132891,74⁩ دج	⁦8,50%⁩ سنويا	7 سنوات

🔹الخطوة 1: الفائدة المركّبة لـ 1 دج

i=8,5100=0,085

🔹الخطوة 2: القيمة الحالية لـ 1 دج يُستحقّ بعد 7 سنوات (6 أرقام بعد الفاصلة)

(1,085)⁻⁷ ≈ 0,564926

🔹الخطوة 3: القيمة الحالية للمبلغ، مقرّبة إلى الدينار (دج)

k = 1132891,74 × 0,564926 ≈ 640000

✅النّتيجة: أصل المبلغ المقترض (دج)

k ≈ 640000

فالقيمة الحالية تُحسب بضرب المبلغ الواجب تسديده في الحدّ ⁦(1 + i)⁻ⁿ⁩، أي بخصم الفائدة المركّبة منه: اقترضت مؤسسة «النسيم» 640000 دج، وستسدّد بعد 7 سنوات أصل القرض وفوائده المركّبة.