تمويل التثبيتات و الاستثمار › القروض العادية المسددة على دفعات ثابتة بفوائد مركبة
تمويل التثبيتات و الاستثمار · القروض العادية المسددة على دفعات ثابتة بفوائد مركبة — القيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة
- تعريف الدفعات الثابتة، والتمييز بين دفعات بداية المدّة ودفعات نهايتها
- حساب القيمة المكتسبة لسلسلة دفعات ثابتة، واستعمال صيغتها لإيجاد الدفعة وعدد الدفعات والمعدّل
- حساب القيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة، ومنها قيمة القرض، واستعمال صيغتها بالطريقة نفسها
- تقييم رأس مال أو سلسلة دفعات ثابتة في أيّ تاريخ
- القيمة المكتسبة لرأس مال بفائدة مركّبة: VA = k(1 + i)n
- القيمة الحالية لرأس مال بفائدة مركّبة: k = VA(1 + i)⁻n
- مجموع حدود متتالية هندسية
- اللوغاريتم العشريّ وخواصّه
1- تعريف الدفعة الثابتة
تلجأ المؤسسات والأفراد إلى دفع مبالغ مالية بصورة منتظمة للبنوك والمؤسسات المالية، من أجل تسديد دين متعاقد عليه، أو من أجل تكوين رأس مال في فترة زمنية معيّنة.
وتهدف الدفعات إلى تحقيق أحد هدفين:
- تكوين رأس مال: وهي دفعات الاستثمار، وتُدفع في نهاية كلّ وحدة زمنية، كدفعات «الهناء» أدناه، أو في بدايتها، وتُسمّى هذه الأخيرة دفعات بداية المدّة.
- تسديد دين (قرض): وهي دفعات السداد، وتُدفع في نهاية كلّ وحدة زمنية.
نتتبّع مؤسسة «الهناء» في حالتين: نجيب عن سؤالها الأوّل في آخر هذه الفقرة، وعن سؤالها الثاني في الفقرة 2، وعن سؤالها الثالث في الفقرة 3.
• وظّفت مؤسسة «الهناء» في البنك الوطنيّ الجزائريّ، في نهاية كلّ سنة ولمدّة 8 سنوات، مبلغ 25000 دج، بمعدّل فائدة مركّبة 9,50% سنويا. • ومن أجل اقتناء تجهيزات جديدة، تحصّلت مؤسسة «الهناء» على قرض بنكيّ يُسدَّد بواسطة 10 دفعات سنوية ثابتة، بقيمة 81875,50 دج للدفعة، بمعدّل فائدة مركّبة 7,50% سنويا، الأولى منها تستحقّ سنة بعد الاقتراض. ☞ ما المقصود بالدفعات الثابتة؟ ☞ كيف تُحسب القيمة المكتسبة لسلسلة من الدفعات الثابتة؟ ☞ كيف تُحسب القيمة الحالية لسلسلة من الدفعات الثابتة؟
☞ ما المقصود بالدفعات الثابتة؟☞ ما المقصود بالدفعات الثابتة؟
الدفعات الثابتة مبالغ متساوية تُدفع على فترات زمنية منتظمة، خلال المدّة كلّها. وفي حالتي «الهناء» دفعات ثابتة: 25000 دج كلّ سنة لمدّة 8 سنوات لتكوين رأس مال، و81875,50 دج كلّ سنة لمدّة 10 سنوات لتسديد قرض. فالمبلغ لا يتغيّر من دفعة إلى أخرى، والفترة بين دفعتين هي نفسها: سنة.
2- القيمة المكتسبة لسلسلة دفعات ثابتة
لتحديد القيمة المكتسبة لسلسلة دفعات ثابتة، نستخرج صيغتها العامة مباشرة عند دفع الدفعة الأخيرة، ثمّ نستنتج منها صيغتها دورة واحدة بعد آخر دفعة.
2-1. الصيغة العامة للقيمة المكتسبة
أ- الدفعة الأخيرة تُدفع في نهاية الوحدة الزمنية الأخيرة — نرمز بما يلي:
| الرمز | ما يمثّله |
|---|---|
| a | قيمة الدفعة الثابتة |
| n | عدد الدفعات |
| i | فائدة 1 دج، أي معدّل الفائدة المركّبة |
| Aₙ | القيمة المكتسبة مباشرة بعد دفع الدفعة الأخيرة |
القيمة المكتسبة لسلسلة الدفعات الثابتة هي مجموع القيم المكتسبة لكلّ دفعة عند آخر دفعة:
الطرف الأيمن من هذه المساواة متتالية هندسية حدّها الأوّل a، وأساسها (1 + i)، وعدد حدودها n. ومجموع حدود متتالية هندسية حدّها الأوّل a وأساسها q وعدد حدودها n هو:
وبتطبيق هذه العلاقة على سلسلة الدفعات نجد:
☞ كيف تُحسب القيمة المكتسبة لسلسلة من الدفعات الثابتة؟☞ كيف تُحسب القيمة المكتسبة لسلسلة من الدفعات الثابتة؟
نطبّق الصيغة العامة على الحالة الأولى لمؤسسة «الهناء»: 8 دفعات في نهاية كلّ سنة، والقيمة المطلوبة عند دفع آخر دفعة.
| قيمة الدفعة | عدد الدفعات | معدّل الفائدة المركّبة |
|---|---|---|
| 25000 دج | 8 | 9,5% سنويا |
| السنة | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| الدفعة (دج) | 25000 | 25000 | 25000 | 25000 | 25000 | 25000 | 25000 | 25000 |
فالقيمة المكتسبة لسلسلة دفعات ثابتة تُحسب عند آخر دفعة بضرب الدفعة في الحدّ الذي يمثّل القيمة المكتسبة من دفعات بقيمة 1 دج.
ب- الدفعة الأخيرة تُدفع في بداية الوحدة الزمنية الأخيرة، أي أنّ أوّل دفعة عند التاريخ 0:
| التاريخ | 0 | 1 | 2 | … | n-2 | n-1 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| الدفعة | a | a | a | … | a | a | — |
القيمة المكتسبة عند آخر دفعة، أي عند التاريخ n-1، تُحسب بالصيغة العامة؛ ثمّ نرسملها دورة واحدة لنحصل على القيمة المكتسبة عند التاريخ n:
2-2. استعمال الصيغة العامة للقيمة المكتسبة
أ- حساب القيمة المكتسبة — توظّف مؤسسة في نهاية كلّ سنة مبلغ 12000 دج في أحد البنوك، بمعدّل فائدة مركّبة 6,5%؛ الدفعة الأولى بتاريخ 31 ديسمبر 2004، والأخيرة بتاريخ 31 ديسمبر 2010. نحدّد رصيد المؤسسة بتاريخ 31 ديسمبر 2012، علما أنّه لم يُدفع ولم يُسحب أيّ مبلغ بعد 31 ديسمبر 2010.
| السنة | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| الدفعة (دج) | 12000 | 12000 | 12000 | 12000 | 12000 | 12000 | 12000 | — | A₍ₙ₊₂₎ |
قيمة الدفعة الثابتة 12000 دج، وعدد الدفعات 7، ونحسب القيمة المكتسبة دورتين بعد آخر دفعة: نرسمل القيمة المكتسبة عند آخر دفعة سنتين.
ب- حساب قيمة الدفعة الثابتة — بلغت القيمة المكتسبة لـ 15 دفعة ثابتة سنوية، عند دفع آخر دفعة، 1305918,23 دج، بمعدّل 7,50% سنويا. نحسب قيمة الدفعة: نستخرجها من الصيغة العامة للقيمة المكتسبة عند آخر دفعة.
ج- حساب عدد الدفعات — توظّف مؤسسة في نهاية كلّ سنة مبلغ 60000 دج بمعدّل فائدة مركّبة 6%. نحدّد عدد الدفعات اللازمة للحصول على قيمة مكتسبة، عند دفع آخر دفعة، قدرها 689478,96 دج. نستخرج من الصيغة العامة الحدّ (1 + i)n، ثمّ نستعمل خواصّ اللوغاريتم:
د- حساب معدّل الفائدة المركّبة — بلغت القيمة المكتسبة من دفع 12 دفعة ثابتة بقيمة 35000 دج، عند دفع آخر دفعة، 684223,74 دج. ما معدّل الفائدة المركّبة المطبّق؟
لإيجاد المعدّل نفرض له قيمتين متقاربتين: واحدة تعطي نتيجة أكبر من 19,549249، والأخرى تعطي نتيجة أصغر منها:
نبحث عن المعدّل الواجب إضافته إلى المعدّل 7% لكي ترتفع القيمة 17,888451 إلى القيمة 19,549249: فرق المعدّلين 2% يقابله فرق القيمتين، وفرق Δi يقابله ما ينقص للوصول إلى القيمة المطلوبة.
| المعدّل | قيمة الحدّ |
|---|---|
| 9% | 20,140719 |
| 7% | 17,888451 |
| الفرق 2% | 2,252268 |
| Δi | 1,660798 |
هذا الحساب يعطي تقديرا للمعدّل، قريبا من 8,5%؛ فنتحقّق بهذا المعدّل:
فالحدّ بالمعدّل 8,5% يساوي الحدّ المطلوب، والمعدّل المطبّق هو 8,50%.
3- القيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة
3-1. الصيغة العامة للقيمة الحالية
أ- القيمة الحالية دورة واحدة قبل أول دفعة — الدفعة الأولى تُدفع في نهاية الوحدة الأولى، ونقيّم السلسلة عند التاريخ 0:
| التاريخ | 0 | 1 | 2 | … | n-1 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| الدفعة | — | a | a | … | a | a |
نعلم أنّ القيمة المكتسبة عند آخر دفعة هي Aₙ، وأنّ قيمتها الحالية عند التاريخ 0 تُحسب بصيغة القيمة الحالية لرأس مال؛ ثمّ نعوّض Aₙ بدلالة الدفعات:
ب- القيمة الحالية عند أول دفعة — إذا دُفعت الدفعة الأخيرة في بداية الوحدة الزمنية الأخيرة، كانت أوّل دفعة عند التاريخ 0:
| التاريخ | 0 | 1 | 2 | … | n-1 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| الدفعة | a | a | a | … | a | — |
القيمة الحالية دورة واحدة قبل أول دفعة تُحسب بالصيغة (أ)؛ ثمّ نرسملها دورة واحدة لنصل إلى تاريخ أول دفعة:
☞ كيف تُحسب القيمة الحالية لسلسلة من الدفعات الثابتة؟☞ كيف تُحسب القيمة الحالية لسلسلة من الدفعات الثابتة؟
نطبّق الصيغة على قرض مؤسسة «الهناء»: الدفعة الأولى تستحقّ سنة بعد الاقتراض، فقيمة القرض هي القيمة الحالية للدفعات دورة واحدة قبل أول دفعة.
| قيمة الدفعة | عدد الدفعات | معدّل الفائدة المركّبة |
|---|---|---|
| 81875,50 دج | 10 | 7,50% سنويا |
فالقيمة الحالية لسلسلة دفعات ثابتة تُحسب دورة واحدة قبل أول دفعة، بضرب الدفعة في الحدّ الذي يمثّل القيمة الحالية من دفعات بقيمة 1 دج: وهي هنا المبلغ الذي اقترضته مؤسسة «الهناء».
3-2. استعمال الصيغة العامة للقيمة الحالية
أ- حساب القيمة الحالية لقرض مؤجّل — اقترضت مؤسسة مبلغا يُسدَّد بواسطة 8 دفعات سنوية ثابتة بقيمة 52187,80 دج للدفعة، الأولى منها تستحقّ بعد سنتين من تاريخ الاقتراض. نحدّد قيمة القرض بمعدّل فائدة مركّبة 9% سنويا.
| السنة | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| الدفعة | — | — | a | a | a | a | a | a | a | a |
القيمة الحالية دورة واحدة قبل أول دفعة تقع عند السنة 1، لا عند تاريخ الاقتراض؛ فنخصمها سنة أخرى لنصل إلى التاريخ 0:
ب- حساب قيمة الدفعة الثابتة — اقترضت مؤسسة مبلغ 5000000 دج، يُسدَّد بواسطة 20 دفعة سنوية ثابتة، الأولى تستحقّ سنة بعد الاقتراض. نحدّد قيمة الدفعة إذا كان معدّل الفائدة المركّبة 6,5%:
ج- حساب عدد الدفعات — نحدّد عدد الدفعات السنوية الثابتة الواجب تسديدها، بقيمة 119135,20 دج للدفعة، للتخلّص من قرض قيمته 580000 دج، الدفعة الأولى تستحقّ سنة بعد الاقتراض، ومعدّل الفائدة المركّبة المطبّق 10% سنويا:
د- حساب المعدّل — اقترضت مؤسسة مبلغ 5000000 دج، يُسدَّد بواسطة 12 دفعة سنوية ثابتة بقيمة 612840,85 دج للدفعة، والدفعة الأولى سنة بعد الاقتراض. نحدّد معدّل الفائدة المركّبة المطبّق:
باستعمال الآلة الحاسبة العلمية، وعن طريق التجريب، نحدّد معدّلين متقاربين: أحدهما يعطي قيمة أكبر من 8,158725 والآخر يعطي قيمة أصغر منها، فيكون المعدّل المطلوب محصورا بينهما:
فالحدّ بالمعدّل 6,5% يساوي الحدّ المطلوب، والمعدّل المطبّق هو 6,50%.
4- التقييم في أزمنة مختلفة
4-1. تقييم رأس مال في أي تاريخ
إذا كان لدينا رأس مال k في التاريخ 0، فإنّه يمكن تقييمه في أيّ تاريخ لاحق n باستعمال صيغة القيمة المكتسبة، كما يمكن تقييمه في تاريخ سابق −m، حيث m أكبر من 0، باستعمال صيغة القيمة الحالية:
مثال — مؤسسة «النسيم» مدينة بمبلغ 270000 دج يستحقّ الدفع بتاريخ 1 ماي N، ويتضمّن العقد إمكانيتين لتسديد الدين: التسديد المسبق بتاريخ 1 ماي N-3، أو تأجيل التسديد إلى تاريخ 1 ماي N+2. نحسب المبلغ الواجب تسديده في الحالتين، بمعدّل فائدة مركّبة 8% سنويا.
| التاريخ (1 ماي) | N-3 | N-2 | N-1 | N | N+1 | N+2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| المبلغ (دج) | k₋₃ | — | — | 270000 | — | k₂ |
4-2. تقييم سلسلة دفعات ثابتة في أزمنة مختلفة
قيمة سلسلة من الدفعات الثابتة عند التاريخ 0 هي A₀، وعند التاريخ n هي Aₙ. ومن خلال هاتين القيمتين يمكن تقييم سلسلة الدفعات في أيّ تاريخ آخر، باستعمال الصيغة العامة للقيمة المكتسبة أو للقيمة الحالية لرأس مال بفائدة مركّبة:
أ- التقييم في التاريخ p، حيث p محصور بين 0 وn:
ب- التقييم في التاريخ m، حيث m أكبر من n:
ج- التقييم في التاريخ −j، حيث j أكبر من 0:
مثال — اشترت مؤسسة تجهيزات، وكان لها الاختيار بين طريقتين للتسديد، بمعدّل فائدة مركّبة 9% سنويا: الطريقة 1، التسديد بواسطة 5 دفعات سنوية ثابتة بقيمة 45000 دج للدفعة، الأولى تستحقّ بعد 5 سنوات من تاريخ الشراء؛ الطريقة 2، التسديد دفعة واحدة عند تاريخ الشراء، أو بعد سنتين، أو بعد 8 سنوات، أو بعد 13 سنة من تاريخ الشراء. نحدّد قيمة كلّ دفعة حسب الطريقة الثانية، مقرّبة إلى الدينار.
| السنة | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| دفعات الطريقة 1 | — | — | — | — | — | 45000 | 45000 | 45000 | 45000 | 45000 | — | — | — | — |
| الدفعة الواحدة للطريقة 2 | A₀ | — | A₂ | — | — | — | — | — | A₈ | — | — | — | — | A₁₃ |
الدفعات الخمس تقع في السنوات من 5 إلى 9: قيمتها الحالية دورة واحدة قبل أول دفعة تقع عند السنة 4، وقيمتها المكتسبة عند آخر دفعة تقع عند السنة 9. نحسب أوّلا الحدّين:
ثمّ ننقل القيمة من السنة 4 إلى كلّ تاريخ مطلوب، بخصم أو برسملة عدد السنوات الفاصلة:
ونتحقّق بطرق أخرى تعطي النتائج نفسها: انطلاقا من القيمة المكتسبة عند السنة 9، أو من قيمة سبق حسابها:
| تاريخ التسديد دفعة واحدة | المبلغ الواجب تسديده (دج) |
|---|---|
| عند تاريخ الشراء | 123999 |
| بعد سنتين | 147323 |
| بعد 8 سنوات | 247075 |
| بعد 13 سنة | 380156 |
فكلّ هذه المبالغ تكافئ الدفعات الخمس للطريقة الأولى، بمعدّل الفائدة نفسه؛ وكلّما تأخّر تاريخ التسديد كبر المبلغ، لأنّه يحمل فوائد السنوات الإضافية.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net