الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة والحساب على الجذور › الحساب على الجذور
العدد الحقيقي
- معرفة متى يكون الجذر التربيعي لعدد عددا ناطقا ومتى لا يكون
- تعريف العدد غير الناطق وتعريف العدد الحقيقي
- تصنيف عدد معطى إلى ناطق أو غير ناطق مع التعليل
- ترتيب مجموعات الأعداد المعروفة داخل مجموعة الأعداد الحقيقية
- كتابة عدد على شكل كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان
- حساب الجذر التربيعي لمربع كامل
- التعرّف على المربعات الكاملة بين الأعداد الطبيعية
معارف — تذكير: العدد الناطق، ثم العدد غير الناطق
العدد الناطق هو كل عدد يمكن كتابته على شكل كسر، بسطه عدد صحيح ومقامه عدد صحيح غير معدوم. وكل الأعداد التي تعاملت معها إلى اليوم من هذا النوع: الأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة السالبة، والأعداد العشرية، والكسور.
كل عدد يمكن وضعه على هذا الشكل عدد ناطق، ولو لم يكن مكتوبا هكذا في البداية.
والعدد غير الناطق هو العدد الذي لا يمكن كتابته على هذا الشكل مهما حاولت: لا بكسر، ولا بعدد عشري له عدد منته من الأرقام بعد الفاصلة.
معارف — متى يكون الجذر التربيعي عددا ناطقا؟
القاعدة تنظر إلى العدد الذي تحت علامة الجذر: إن كان مربعا لعدد ناطق، فجذره التربيعي عدد ناطق؛ وإن لم يكن مربعا لأي عدد ناطق، فجذره التربيعي عدد غير ناطق.
أما العدد 57 فليس مربعا لأي عدد طبيعي: مربع 7 يساوي 49 ومربع 8 يساوي 64، و 57 يقع بينهما دون أن يكون مربع أي عدد. وجذره التربيعي عدد غير ناطق.
لا يوجد عدد طبيعي بين 7 و 8، فلا يوجد عدد طبيعي مربعه 57.
والقاعدة نفسها تصلح للكسور: العدد 9 على 4 هو مربع العدد 3 على 2، فجذره التربيعي عدد ناطق.
بسط الكسر ومقامه مربعان كاملان، فالكسر نفسه مربع لكسر ناطق.
الرمز يُقرأ «لا ينتمي إلى»: العدد موجود ويمكن وضعه على المستقيم المدرّج، لكنه ليس من الأعداد الناطقة.
معارف — تعريف العدد الحقيقي
العدد الحقيقي هو كل عدد ناطق أو غير ناطق. بعبارة أخرى: كل الأعداد التي التقيتها، سواء أمكن كتابتها على شكل كسر أو لم يمكن، هي أعداد حقيقية.
كل عدد ناطق عدد حقيقي، والعكس غير صحيح: هناك أعداد حقيقية غير ناطقة.
معارف — ترتيب مجموعات الأعداد
كل عدد طبيعي هو عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو عدد ناطق، وكل عدد ناطق هو عدد حقيقي. فالمجموعات إذن متداخلة، الواحدة داخل الأخرى، وأوسعها مجموعة الأعداد الحقيقية.
الرمز ⊂ يُقرأ «محتواة في»: كل عنصر من المجموعة الأولى عنصر في التي تليها.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نبيّن أن عددا ناطق؟
اكتبه على شكل كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان. العدد الصحيح يُكتب على مقام 1، والعدد العشري يُكتب على مقام 10 أو 100 حسب عدد الأرقام بعد الفاصلة، ثم يُختزل.
نعتبر الأعداد 0,75 و −5 و 7 على 4.
🎯المطلوب: بيّن أنّ كلا من الأعداد 0,75 و −5 و 7 على 4 عدد ناطق.
للعدد 0,75 رقمان بعد الفاصلة، فنكتبه على المقام 100 ثم نختزل بالقسمة على 25.
العدد الصحيح يُكتب دائما على المقام 1، فهو ناطق مباشرة.
والعدد 7 على 4 مكتوب على شكل كسر أصلا، بسطه ومقامه عددان صحيحان.
الأعداد الثلاثة كُتبت كلها على شكل كسر ببسط ومقام صحيحين.
طريقة 2: كيف نحكم على الجذر التربيعي لعدد؟
إذا كان العدد طبيعيا، فابحث عن مربعين كاملين متتاليين يحصرانه. إن وقع العدد على أحدهما فجذره ناطق، وإن وقع بينهما دون أن يساوي أيّا منهما فجذره غير ناطق. هذه الطريقة خاصة بالأعداد الطبيعية: العدد العشري أو الكسري قد يقع بين مربعين كاملين و يكون جذره ناطقا.
نعتبر الجذور التربيعية للأعداد 36 و 57 و 2.
🎯المطلوب: حدّد لكل عدد من الجذور التربيعية للأعداد 36 و 57 و 2 إن كان ناطقا أو غير ناطق، مع التعليل.
العدد 36 مربع كامل لأن مربع 6 يساوي 36، فجذره التربيعي عدد ناطق.
العدد 57 يقع بين المربعين الكاملين 49 و 64 دون أن يساوي أيّا منهما، فليس مربعا لأي عدد ناطق: جذره التربيعي عدد غير ناطق.
والعدد 2 يقع بين المربعين الكاملين 1 و 4، فجذره التربيعي عدد غير ناطق كذلك.
واحد ناطق واثنان غير ناطقين، والثلاثة أعداد حقيقية.
طريقة 3: كيف نبيّن أن عددا حقيقي؟
يكفي أن تبيّن أنه ناطق، أو أنه غير ناطق: الحالتان معا تدخلان في مجموعة الأعداد الحقيقية. لهذا لا يوجد عدد من أعداد هذه السنة خارج هذه المجموعة.
نعتبر الأعداد 11 و 0,5 و −2 على 3 والجذر التربيعي للعدد 5 والعدد π.
🎯المطلوب: بيّن أنّ كل عدد من هذه الأعداد الخمسة عدد حقيقي.
كل واحد منها يُكتب على شكل كسر ببسط ومقام صحيحين؛ والعدد −2 على 3 مكتوب على هذا الشكل أصلا، فالثلاثة أعداد ناطقة.
العدد 5 يقع بين المربعين الكاملين 4 و 9، فليس مربعا لعدد ناطق: جذره التربيعي عدد غير ناطق.
كتابته العشرية لا تنتهي ولا تتكرّر دوريا، والعدد 3,14 ليس إلا قيمة مقرّبة له.
ثلاثة منها ناطقة واثنان غير ناطقين، والعدد الحقيقي هو الناطق أو غير الناطق: فالخمسة كلها أعداد حقيقية.
طريقة 4: كيف نعيّن المجموعات التي ينتمي إليها عدد؟
ابدأ بأصغر مجموعة ممكنة وصاعد: هل العدد طبيعي؟ فإن لم يكن، هل هو صحيح؟ فإن لم يكن، هل هو ناطق؟ وإلا فهو حقيقي غير ناطق. ومتى انتمى العدد إلى مجموعة، انتمى تلقائيا إلى كل المجموعات التي تحتويها.
نعتبر الأعداد −3 و 2,5 والجذر التربيعي للعدد 16 والجذر التربيعي للعدد 10.
🎯المطلوب: عيّن أصغر مجموعة تحتوي كل عدد من هذه الأعداد الأربعة.
العدد سالب، فهو ليس عددا طبيعيا، لكنه عدد صحيح: أصغر مجموعة تحتويه هي مجموعة الأعداد الصحيحة.
العدد ليس صحيحا لأن له رقما بعد الفاصلة، لكنه يُكتب على شكل كسر: فهو ناطق.
الجذر التربيعي للعدد 16 يساوي 4، وهو عدد طبيعي.
العدد 10 يقع بين المربعين الكاملين 9 و 16، فجذره التربيعي غير ناطق: أصغر مجموعة تحتويه هي مجموعة الأعداد الحقيقية.
الجذر التربيعي للعدد 16 طبيعي، و −3 صحيح، و 2,5 ناطق، والجذر التربيعي للعدد 10 حقيقي غير ناطق؛ والأربعة كلها أعداد حقيقية.
ويُلخَّص كل ذلك في جدول واحد، مجموعة في كل عمود، وعلامة عند كل انتماء.
| العدد | طبيعي | صحيح | ناطق | حقيقي |
|---|---|---|---|---|
| √16 | نعم | نعم | نعم | نعم |
| −3 | لا | نعم | نعم | نعم |
| 2,5 | لا | لا | نعم | نعم |
| √10 | لا | لا | لا | نعم |
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net