الحساب الحرفي › المعادلات و المترجحات من الدرجة الاولى بمجهول واحد
المعادلات من الشكل (ax+b)(cx+d)=0
- معرفة خاصية الجداء المعدوم و التعبير عنها بالرموز
- التعرف على معادلة الجداء المعدوم من الشكل (ax + b)(cx + d) = 0
- حلّ معادلة جداء معدوم بردّها إلى معادلتين من الدرجة الأولى
- التحقق من الحلول بالتعويض في كل عامل على حدة
- حلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد على الشكل ax = b
- ضرب الأعداد الناطقة و قاعدة إشارة الجداء
- نشر جداء قوسين باستعمال التوزيعية المضاعفة
معارف — متى يكون جداء عددين معدوما؟
إذا ضربت عددين يخالفان الصفر كان جداؤهما يخالف الصفر: لا سبيل إلى الحصول على صفر من عاملين لا صفر فيهما. و لذلك، إذا كان جداء عددين معدوما فلا بد أن يكون أحدهما على الأقل معدوما. و العكس صحيح كذلك: يكفي أن ينعدم أحد العاملين لينعدم الجداء.
إن كان a معدوما فالجداء معدوم مهما كان b، و إن كان b معدوما فالجداء معدوم مهما كان a. و لا توجد حالة ثالثة.
- إما أن يكون العامل الأول معدوما: a = 0
- و إما أن يكون العامل الثاني معدوما: b = 0
معارف — معادلة الجداء المعدوم و حلولها
المعادلة التي يكون طرفها الأول جداء عاملين من الدرجة الأولى و طرفها الثاني معدوما تسمى معادلة الجداء المعدوم. و هي المعادلة التي يقوم عليها هذا الدرس.
و حسب خاصية الجداء المعدوم، ينعدم هذا الجداء إذا انعدم أحد قوسيه. فحلول المعادلة هي حلول المعادلتين الآتيتين مجتمعة، و كلتاهما من الدرجة الأولى، و أنت تعرف حلّهما.
معارف — الحل الذي يعطيه كل عامل
كل عامل من الشكل ax + b يعطي حلا واحدا: ننقل الحد المعلوم إلى الطرف الثاني، ثم نقسم على معامل المجهول.
ننقل b فتصير ax = −b، ثم نقسم الطرفين على a، و القسمة ممكنة لأن a يخالف الصفر.
و لهذا تقبل معادلة الجداء المعدوم حلين في العادة: حلا من كل عامل. و قد يتصادف أن يعطي العاملان العدد نفسه، فلا يكون للمعادلة إلا حل واحد.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نستعمل خاصية الجداء المعدوم؟
نقرأ العاملين واحدا واحدا، و نسأل عن كل واحد: هل يمكن أن ينعدم؟ العامل الذي هو عدد ثابت يخالف الصفر لا ينعدم أبدا، فلا يعطي أي حل؛ و العامل الذي فيه المجهول هو الذي يحمل الحل.
لدينا الجداء 5(x − 3)، و نريد أن نعرف قيم x التي تجعله معدوما.
🎯المطلوب: حدّد قيم x التي تجعل الجداء 5(x − 3) معدوما
نكتب الجداء بعامليه ظاهرين: العامل الأول عدد ثابت، و العامل الثاني قوس فيه المجهول.
العدد 5 يخالف الصفر، فلا يمكن أن يكون هو العامل المعدوم.
و ما دام الجداء معدوما و العامل الأول لا ينعدم، فالعامل الثاني هو المعدوم.
ننقل −3 إلى الطرف الثاني فيصير +3.
طريقة 2: كيف نحلّ معادلة جداء معدوم؟
نتأكد أولا من أن الطرف الثاني معدوم و أن الطرف الأول جداء. ثم نساوي كل عامل بالصفر على حدة، فنحصل على معادلتين من الدرجة الأولى نحلّهما واحدة بعد الأخرى.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة (3x + 5)(2 − x) = 0
الطرف الثاني معدوم و الطرف الأول جداء عاملين: نطبّق خاصية الجداء المعدوم، فإما أن ينعدم العامل الأول و إما أن ينعدم العامل الثاني.
نحلّ المعادلة الأولى: ننقل 5 إلى الطرف الثاني فيصير −5.
نقسم الطرفين على 3.
نحلّ المعادلة الثانية: ننقل x إلى الطرف الثاني فيصير الطرف الأول عددا وحده.
للمعادلة إذن حلان، واحد من كل عامل.
طريقة 3: كيف نحلّ معادلة عاملاها من الدرجة الأولى معا؟
لا يتغير شيء: كل عامل يعطي معادلة من الدرجة الأولى، و نحلّها بنقل الحد المعلوم ثم القسمة على المعامل. و الحلان قد يكونان كسرين، و هذا عادي.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة (2x − 7)(5x + 3) = 0
جداء معدوم: نساوي كل عامل بالصفر.
في المعادلة الأولى ننقل −7 فيصير +7، ثم نقسم على 2.
و في المعادلة الثانية ننقل +3 فيصير −3، ثم نقسم على 5.
نكتب الحلين معا، مرتبين من الأصغر إلى الأكبر.
طريقة 4: كيف نحلّ معادلة أحد عامليها هو المجهول وحده؟
قد يكون أحد العاملين هو المجهول x وحده، بلا معامل و لا حد معلوم. لا شيء يتغيّر: هذا العامل ينعدم لما ينعدم المجهول، فيعطي الحل 0 مباشرة. و احفظ هذا الشكل جيدا، فسيعود كثيرا في الدرس الموالي.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة x(2x − 10) = 0
جداء معدوم: نساوي كل عامل بالصفر. و العامل الأول هو المجهول وحده.
المعادلة الأولى تعطي الحل مباشرة، بلا أي حساب.
في المعادلة الثانية ننقل −10 فيصير +10، ثم نقسم على 2.
للمعادلة إذن حلان، واحد من كل عامل.
طريقة 5: كيف نتحقق من أن عددا حل لمعادلة جداء معدوم؟
نعوّض في كل عامل على حدة، ثم نضرب. و ما إن نجد عاملا معدوما حتى نتوقف: الجداء معدوم مهما كانت قيمة العامل الآخر.
🎯المطلوب: تحقّق من أن العددين 2 و −5/3 حلان للمعادلة (3x + 5)(2 − x) = 0
نعوّض x بالعدد 2 في كل عامل على حدة.
العامل الثاني معدوم، فالجداء معدوم.
نعوّض x بالعدد −5/3 في العامل الأول.
العامل الأول معدوم هذه المرة، و العامل الثاني يساوي 11/3، فالجداء معدوم كذلك.
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net