مدرستي
Mathematics

الأشعة والانسحاب والمعلم الاشعة والانسحاب

الشعاعان المتعاكسان ( الشعاع المعدوم )

🔊 The teacher reads for you
تخرج صباحا من البيت A إلى المدرسة B، وتعود مساء من B إلى A. الانتقالان لهما نفس الطول ونفس المنحى، لكنّ اتجاهيهما متعاكسان، وفي آخر اليوم تجد نفسك في نقطة الانطلاق نفسها. فما الشعاع الذي يمثّل هذين الانتقالين معا، وكيف نكتب معاكس شعاع معلوم؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على الشعاع المعدوم وكتابته على الشكل AA أو 0
  • معرفة متى يكون شعاعان متعاكسين، وحساب مجموعهما
  • كتابة معاكس شعاع بقلب حرفيه أو بالرمز ⁦−AB⁩
  • التعرّف على شعاعين متعاكسين في رسم، وتبسيط عبارة شعاعية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • معنى الشعاع: مبدؤه ونهايته ومنحاه واتجاهه وطوله
  • علاقة شال: ⁦AB + BC = AC⁩
  • معنى منتصف قطعة مستقيمة
قبل أن تقرأ، ارسم على ورقتك مستقيما وضع عليه نقطتين A و B، ثمّ ارسم سهما من A إلى B وسهما آخر من B إلى A. ستحتاج إلى هذا الرسم في كلّ فقرة من فقرات الدرس.

معارف — الشعاع المعدوم

عندما يكون مبدأ الشعاع ونهايته نقطة واحدة، فإنّ الانتقال لم يحدث أصلا: لم نغادر النقطة ولم نتحرّك في أيّ جهة. الشعاع الذي يصف هذه الحالة يسمّى الشعاع المعدوم، ونرمز له بالرمز 0.

تعريف: الشعاع المعدوم

مهما كانت النقطة التي ننطلق منها، فإنّ الانتقال منها إليها هو نفسه: لا حركة. ولهذا فالشعاع المعدوم واحد، وله كتابات كثيرة.

AA=BB=CC=0
Aنقطة من المستويBنقطة أخرى من المستويCنقطة ثالثة من المستوي
طول الشعاع المعدوم يساوي 0، لأنّ مبدأه ونهايته نقطة واحدة. ولهذا لا نستطيع أن نرسم له سهما: النقطة وحدها هي كلّ ما نراه.

معارف — شعاعان متعاكسان

شعاعان يسمّيان متعاكسين إذا كان مجموعهما يساوي الشعاع المعدوم. أي أنّ الثاني يلغي أثر الأوّل تماما: ما ربحناه في الانتقال الأوّل نخسره في الثاني، فنعود إلى حيث بدأنا.

تعريف: شعاعان متعاكسان
u + v = 0
uالشعاع الأوّلvالشعاع الثاني، معاكس الأوّل

وأوّل مثال على ذلك يعطيك إيّاه أيّ زوج من النقاط: ننتقل من A إلى B، ثمّ من B إلى A. بعلاقة شال يصير المجموع هو الانتقال من A إلى A، أي الشعاع المعدوم.

الخاصّية: الشعاعان AB و BA متعاكسان

نطبّق علاقة شال: نهاية الشعاع الأوّل هي مبدأ الشعاع الثاني، فيبقى الانتقال من المبدأ A إلى النهاية A.

AB + BA=AA=0
لا تخلط بين الشعاع المعدوم ومعاكس شعاع: الشعاع المعدوم هو 0 نفسه، طوله معدوم ولا اتجاه له. أمّا معاكس شعاع فهو شعاع حقيقي له نفس الطول واتجاه مقابل، وإنّما مجموعه مع الشعاع الأوّل هو الذي يساوي 0.

معارف — كتابة معاكس شعاع بالرمز −

للحصول على معاكس شعاع، نقلب مبدأه ونهايته: معاكس الشعاع AB هو الشعاع BA. ولهذا المعاكس كتابة ثانية أقصر، نضع فيها إشارة ناقص أمام الشعاع الأوّل.

الترميز: معاكس الشعاع AB

الكتابتان تدلّان على الشيء نفسه: كلّ واحد من الشعاعين معاكس للآخر، لأنّ مجموعهما هو الشعاع المعدوم.

BA = −AB , AB = −BA
إشارة الناقص أمام شعاع تقلب الاتجاه وحده: الطول لا يتغيّر والمنحى لا يتغيّر. فلا تقرأ ⁦−AB⁩ على أنّه شعاع أقصر أو شعاع سالب الطول، فالطول لا يكون أبدا سالبا.

معارف — كيف يظهر التعاكس على الرسم

إذا رسمت شعاعا ومعاكسه، رأيتهما على مستقيم واحد أو على مستقيمين متوازيين، بنفس الطول، ورأس أحدهما في جهة ورأس الآخر في الجهة المقابلة. هذه العلامات الثلاث هي التي تجعلك تتعرّف عليهما بالنظر، قبل أيّ حساب.

شعاعان متعاكسان في الرسم:
  1. لهما نفس الطول
  2. لهما نفس المنحى: يحملهما مستقيم واحد، أو مستقيمان متوازيان
  3. اتجاهاهما متعاكسان: أحدهما يشير إلى جهة والآخر إلى الجهة المقابلة
السهمان متساويان في الطول ومتقابلان في الاتجاه: هذا هو التعاكس كما يُرى بالعين.

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نحسب مجموع شعاعين متعاكسين؟

ابحث في المجموع عن شعاعين يحملان نفس الحرفين بالترتيب المقلوب. متى وجدتهما، طبّق علاقة شال: تصير النهاية هي المبدأ نفسه، والمجموع هو الشعاع المعدوم.

مثال 1: مجموع شعاعين متعاكسين

M و N نقطتان مختلفتان من المستوي.

🎯المطلوب: احسب المجموع ⁦MN + NM⁩، ثمّ استنتج معاكس الشعاع MN.

🔹الخطوة 1: تطبيق علاقة شال

نهاية الشعاع الأوّل هي N، وهي نفسها مبدأ الشعاع الثاني: هذا هو شرط تطبيق علاقة شال.

MN + NM = MM
Mمبدأ الشعاع الأوّلNنهايته، ومبدأ الشعاع الثاني
🔹الخطوة 2: قراءة الشعاع MM

مبدأ الشعاع MM ونهايته هما النقطة M نفسها، فهو الشعاع المعدوم.

MM = 0
✅النتيجة: المجموع

مجموعهما معدوم، وهذا بالضبط تعريف شعاعين متعاكسين.

MN + NM = 0
✅الاستنتاج: معاكس الشعاع MN

نكتب المعاكس بالرمز الأقصر: نضع ناقص أمام الشعاع الأوّل.

NM = −MN
كلّما رأيت في تمرين شعاعين بنفس الحرفين مقلوبين، اشطبهما فورا من المجموع: مجموعهما معدوم ولا يضيف شيئا.

طريقة 2: كيف نكتب معاكس شعاع؟

أمامك طريقتان، وهما تعطيان الشيء نفسه: إمّا أن تقلب الحرفين فتكتب مبدأ الشعاع في مكان النهاية، وإمّا أن تضع إشارة ناقص أمام الشعاع كما هو. ثمّ تحقّق دائما بالمجموع.

مثال 2: كتابة معاكس شعاعين

A و B و C و D أربع نقاط من المستوي.

🎯المطلوب: اكتب معاكس كلّ من الشعاعين AB و CD، ثمّ تحقّق من جوابك بالمجموع.

🔹الخطوة 1: معاكس الشعاع AB

نقلب المبدأ والنهاية: الشعاع الذي يبدأ من B وينتهي عند A له نفس الطول ونفس المنحى، واتجاهه معاكس.

−AB = BA
🔹الخطوة 2: التحقّق

نتحقّق بالتعريف: مجموع الشعاع ومعاكسه يجب أن يكون الشعاع المعدوم.

AB + BA=AA=0
🔹الخطوة 3: معاكس الشعاع CD

نعيد الخطوة نفسها على الشعاع الثاني: نقلب الحرفين C و D.

−CD = DC
Cمبدأ الشعاع الثانيDنهاية الشعاع الثاني
✅النتيجة: المعاكسان
−AB = BA , −CD = DC
قلب الحرفين ليس تفصيلا في الكتابة: AB و BA شعاعان مختلفان، ولا يجوز استبدال أحدهما بالآخر إلّا مع إشارة ناقص.

طريقة 3: كيف نثبت أنّ شعاعين متعاكسان؟

لا تعتمد على شكل الرسم وحده. ارجع إلى التعريف: احسب مجموع الشعاعين، وإن وجدته يساوي الشعاع المعدوم فقد أثبتّ التعاكس. والمعطيات المعتادة التي تقودك إلى ذلك هي المنتصف وعلاقة شال.

مثال 3: التعاكس عند منتصف قطعة

I منتصف القطعة ⁦[AB]⁩، وطول القطعة 6 سم.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الشعاعين IA و IB متعاكسان.

الرسم لا يحمل أيّ سهم: المعطى هو المنتصف وحده، وأمّا التعاكس فهو ما نبرهن عليه.
🔹الخطوة 1: ترجمة المنتصف بشعاعين متساويين

النقطة I منتصف القطعة، فالانتقال من A إلى I هو نفسه الانتقال من I إلى B: نفس الطول ونفس المنحى ونفس الاتجاه.

AI = IB
Iمنتصف القطعة التي طرفاها A و B
🔹الخطوة 2: التعويض في المجموع

نعوّض IB بما يساويه في المجموع المطلوب.

IA + IB = IA + AI
🔹الخطوة 3: تطبيق علاقة شال

نطبّق علاقة شال على الطرف الأيمن: من I إلى A ثمّ من A إلى I.

IA + AI = II
✅النتيجة: الشعاعان متعاكسان

مجموعهما هو الشعاع المعدوم، وهذا هو تعريف شعاعين متعاكسين. ونكتب كذلك ⁦IB = −IA⁩.

IA + IB = 0
كلّ منتصف يعطيك زوجين في آن واحد: شعاعان متساويان (AI و IB) وشعاعان متعاكسان (IA و IB). ترتيب الحرفين وحده هو الذي يفرّق بينهما، فاقرأه بتأنّ.

طريقة 4: كيف نبسّط عبارة شعاعية؟

اجمع أوّلا الشعاعين اللذين تكون نهاية أوّلهما مبدأ ثانيهما، بعلاقة شال. ثمّ ابحث في العبارة الجديدة عن شعاع ومعاكسه: مجموعهما معدوم، فتسقط العبارة كلّها أو يبقى منها شعاع واحد.

مثال 4: تبسيط عبارة شعاعية

A و B و C ثلاث نقاط من المستوي.

🎯المطلوب: احسب المجموع ⁦AB + BC + CA⁩، ثمّ اكتب أبسط عبارة له.

المسار يغلق على نفسه: انطلقنا من A وعدنا إلى A.
🔹الخطوة 1: جمع الشعاعين الأوّلين

نبدأ بالشعاعين الأوّلين: نهاية الأوّل B هي مبدأ الثاني، فنطبّق علاقة شال.

AB + BC = AC
🔹الخطوة 2: العبارة بعد التعويض

نعوّض في العبارة، فتصير مجموع شعاعين فقط.

AB + BC + CA = AC + CA
🔹الخطوة 3: مجموع شعاعين متعاكسين

الشعاعان AC و CA يحملان نفس الحرفين بالترتيب المقلوب: هما متعاكسان.

AC + CA = AA
✅النتيجة: المجموع معدوم
AB + BC + CA = 0
لاحظ الحرف الأخير من كلّ شعاع والحرف الأوّل من الذي يليه: إن تطابقا فالجمع ممكن مباشرة. وإن عادت العبارة إلى نقطة الانطلاق فالمجموع معدوم دائما.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في سؤال «بسّط العبارة الشعاعية»، أو «بيّن أنّ الشعاعين متعاكسان»، أو «اكتب معاكس الشعاع». ثلاثة عناصر جاهزة: ① الشعاع المعدوم: مبدؤه ونهايته نقطة واحدة: ⁦AA = BB = 0⁩ ② المتعاكسان: شعاعان مجموعهما 0، ومثالهما ⁦AB + BA = AA = 0⁩ ؛ ويُكتب معاكس AB بقلب حرفيه BA أو بالرمز ⁦−AB⁩ ③ على الرسم: نفس الطول، والمستقيم نفسه أو مستقيمان متوازيان، والسير معاكس. ⛔ والخطأ الشائع: الخلط بين الشعاع المعدوم ومعاكس شعاع ؛ 0 طوله معدوم، أمّا المعاكس فشعاع حقيقي له نفس الطول، ومجموعه مع الأوّل هو الذي يساوي 0. وخطأ ثانٍ: قراءة ⁦−AB⁩ على أنّه شعاع أقصر أو سالب الطول ؛ إشارة الناقص تقلب السير وحده، والطول لا يكون سالبا أبدا.
خلاصة: الشعاع المعدوم 0 هو الشعاع الذي مبدؤه ونهايته نقطة واحدة، ونكتبه AA مهما كانت النقطة A. وشعاعان متعاكسان هما شعاعان مجموعهما يساوي الشعاع المعدوم، ومثالهما الأوّل AB و BA لأنّ ⁦AB + BA = AA = 0⁩. ونكتب معاكس الشعاع AB بقلب حرفيه BA أو بالرمز ⁦−AB⁩. وعلى الرسم يظهر التعاكس بثلاث علامات: نفس الطول، نفس المنحى، واتجاهان متعاكسان.

Page 1/9

© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net