مدرستي
Mathematics

جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — الدالة الخطية — تطبيقات التناسبية — الدالة التآلفية

الدالة الخطية

🔊 The teacher reads for you
على السبورة علاقة واحدة ترفق بكلّ عدد جداءه في العدد ⁦−2⁩: العدد 1 يُرفق بالعدد ⁦−2⁩، والعدد 3 يُرفق بالعدد ⁦−6⁩. العلاقة ثابتة والأعداد وحدها تتغيّر. فما اسم هذه العلاقة، وكيف نكتبها بحرف واحد، وكيف نرسمها في معلم؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على دالة خطية وتعيين معاملها
  • حساب صورة عدد بدالة خطية
  • إيجاد العدد الذي صورته معلومة بدالة خطية
  • إنشاء التمثيل البياني لدالة خطية وقراءة معاملها عليه
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعليم نقطة وقراءة إحداثيّيها في معلم متعامد ومتجانس
  • الضرب والقسمة في الأعداد النسبية وقاعدة الإشارات
  • كتابة عدد ناطق على شكل كسر واختزال هذا الكسر
احتفظ بورقة مربّعات ومسطرة قرب هذا الدرس: نصفه الثاني كلّه رسم، وقراءة المعامل على المستقيم لا تُتقن إلاّ باليد.

معارف — تعريف الدالة الخطية ومعاملها

ليكن a عددا معلوما. العلاقة التي ترفق كلّ عدد x بالعدد ax تسمّى دالة خطية معاملها a. الكلمة المهمّة هنا هي « كلّ »: العلاقة نفسها تعمل على كلّ الأعداد، والعدد a وحده هو ما يميّز دالة خطية عن أخرى.

كتابتان لنفس الدالة الخطية

الكتابة الأولى تقول ما تساويه صورة العدد x، والكتابة الثانية تقول ما تفعله الدالة بالعدد x. المعنى واحد، والاستعمالان مختلفان.

f(x) = ax ; f : x ⟶ ax
fاسم الدالة الخطيةxالعدد الذي نطبّق عليه الدالةaمعامل الدالة الخطية، وهو عدد ثابت
لا يكون الحدّ الثابت أبدا جزءا من دالة خطية: العلاقة التي ترفق x بالعدد ⁦ax + b⁩ مع b غير معدوم ليست دالة خطية. وأبسط اختبار: كلّ دالة خطية ترفق العدد 0 بالعدد 0.

معارف — صورة عدد، وعدد صورته معلومة

العدد ax يسمّى صورة العدد x بالدالة الخطية f. وحساب صورة عدد هو تعويض بسيط: نضع العدد مكان x ونضرب في المعامل.

صورة العدد x بالدالة الخطية f
f(x) = ax

وقد يُعطى العكس: تُعطى الصورة ويُطلب العدد الذي أعطاها. عندئذ لا نعوّض، بل نحلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، وهو x.

العدد الذي صورته y معلومة

نقسم الطرفين على المعامل a، وهذا ممكن ما دام a غير معدوم؛ فإن كان a معدوما كانت كلّ الصور معدومة.

ax = y ⟹ x = ya
yالصورة المعطاة، أي العدد المطلوب بلوغه

معارف — تعيين دالة خطية انطلاقا من عدد وصورته

عدد واحد وصورته يكفيان لمعرفة الدالة الخطية كلّها، لأنّ ما ينقصنا عدد واحد فقط هو المعامل. وهذا ما يجعل الدالة الخطية أبسط الدوال التي ستدرسها.

معامل دالة خطية انطلاقا من عدد غير معدوم وصورته

ننطلق من ⁦f(x) = ax⁩ ونقسم الطرفين على x؛ وهذا مشروع ما دام العدد x غير معدوم، لأنّ القسمة على 0 غير ممكنة.

a = f(x)x
معامل الدالة الخطية واحد لا يتغيّر: مهما اخترت العدد، ما دام غير معدوم، أعطتك قسمة صورته عليه العدد نفسه. وهذه خاصّية عملية: إن أعطاك عددان مختلفان معاملين مختلفين فالدالة ليست خطية، أو في حسابك خطأ.
العدد 0 لا يصلح أبدا لتعيين معامل: صورته معدومة مهما كان المعامل، فهو لا يميّز دالة خطية عن أخرى. اختر دائما عددا غير معدوم.

معارف — التمثيل البياني لدالة خطية

نشتغل في معلم متعامد ومتجانس. التمثيل البياني لدالة خطية هو مستقيم يشمل مبدأ المعلم، أي النقطة التي فاصلتها معدومة وترتيبتها معدومة. ولمّا كان المستقيم يُعيَّن بنقطتين، ولدينا واحدة مجّانا وهي المبدأ، فنقطة أخرى واحدة تكفي.

مستقيم يشمل مبدأ المعلم

صورة العدد 0 بأيّ دالة خطية معدومة، فالنقطة التي فاصلتها 0 وترتيبتها 0 تنتمي دائما إلى التمثيل البياني.

f(0)=a × 0=0

ولحساب النقطة الثانية نأخذ عادة الفاصلة 1: صورتها هي المعامل نفسه. مثلا الدالة التي معاملها ⁦−2⁩ تعطي جدول القيم الآتي.

📌المعطى: جدول قيم الدالة التي معاملها ⁦−2⁩
x⁦f(x)⁩
00
1⁦−2⁩
نقطة واحدة غير المبدأ تكفي لرسم التمثيل البياني لدالة خطية: المبدأ محجوز سلفا.

والعكس صحيح كذلك: كلّ نقطة من هذا المستقيم ترتيبتها هي صورة فاصلتها. وهذه هي القاعدة التي تسمح بقراءة قيم الدالة على الرسم بدل حسابها.

نقطة تنتمي إلى التمثيل البياني للدالة f

ترتيبة نقطة من المستقيم هي بالتعريف صورة فاصلتها، ولهذا تُكتب كلّ نقطة من التمثيل البياني على الشكل الذي فاصلته x وترتيبته ⁦f(x)⁩.

M(x ; y) ⟹ y = f(x)
Mنقطة من التمثيل البياني للدالة f

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نتعرّف على دالة خطية ونعيّن معاملها؟

حاول أن تكتب الدالة على شكل جداء عدد ثابت في x. إن نجحت، فالعدد الثابت هو المعامل؛ وإن بقي حدّ لا يحتوي x فالدالة ليست خطية.

مثال 1: التعرّف على الدوال الخطية وتعيين معاملها

نعتبر أربع دوال معرّفة بصيغها، وهي f و g و h و k.

🎯المطلوب: عيّن معامل كلّ دالة خطية من بين هذه الدوال، وبيّن أيّها ليست خطية ولماذا.

📌المعطى: الدوال الأربع

نكتب الصيغ الأربع كما هي قبل أيّ تحويل.

f(x) = x5 ; g(x) = 0x ; h(x) = −√3 × x ; k(x) = 3x + 1
🔹الخطوة 1: معامل الدالة f

قسمة x على 5 هي ضربه في الكسر الذي بسطه 1 ومقامه 5، فالصيغة صارت جداء عدد في x.

a = 15
🔹الخطوة 2: معامل الدالة g

الصيغة مكتوبة أصلا جداء عدد في x، والعدد هو 0.

a = 0
🔹الخطوة 3: معامل الدالة h

العدد الثابت هنا غير ناطق، وهذا لا يمنع شيئا: المعامل عدد كيفما كان.

a = −√3
🔹الخطوة 4: صورة العدد 0 بالدالة k

نطبّق اختبار الصفر: كلّ دالة خطية ترفق العدد 0 بالعدد 0.

k(0)=3 × 0 + 1=1
✅النتيجة: معاملات الدوال f و g و h على الترتيب

ثلاث دوال خطية بمعاملات مختلفة، ودالة رابعة تخرج عن التعريف.

15 ; 0 ; −√3
لا تحكم على دالة من شكلها الأوّل: اكتبها أوّلا على شكل جداء عدد في x إن أمكن. القسمة على عدد هي ضرب في مقلوبه، وهذا وحده يكشف معاملات كثيرة.

طريقة 2: كيف نحسب صورة عدد، وكيف نجد عددا صورته معلومة؟

الاتّجاهان لا يُخلطان. من العدد إلى الصورة: تعويض وضرب. ومن الصورة إلى العدد: معادلة تُحلّ بالقسمة على المعامل.

مثال 2: من العدد إلى الصورة، ومن الصورة إلى العدد

نعتبر الدالة الخطية f التي معاملها العدد ⁦−2⁩.

🎯المطلوب: احسب صورتي العددين 3 و ⁦−5⁩ بالدالة f، ثمّ عيّن العدد الذي صورته 7.

📌المعطى: الدالة f

نكتب صيغة الدالة انطلاقا من معاملها.

f(x) = −2x
🔹الخطوة 1: صورة العدد 3

نعوّض x بالعدد 3 ونضرب.

f(3)=−2 × 3=−6
🔹الخطوة 2: صورة العدد ⁦−5⁩

نعوّض x بالعدد ⁦−5⁩، والجداء هنا موجب لأنّ العاملين سالبان.

f(−5)=−2 × (−5)=10
🔹الخطوة 3: معادلة العدد الذي صورته 7

ننتقل إلى الاتّجاه الثاني: الصورة معلومة والعدد مجهول، فنكتب معادلة.

−2x = 7
🔹الخطوة 4: حلّ المعادلة

نقسم الطرفين على المعامل ⁦−2⁩، والكسر الناتج غير قابل للاختزال.

x = −72
✅النتيجة: الصورتان والعدد المطلوب

صورتان محسوبتان، وعدد واحد وُجد انطلاقا من صورته.

f(3) = −6 ; f(−5) = 10 ; x = −72
راقب الإشارة في كلّ تعويض: جداء عددين سالبين موجب. ونصف تلاميذ الامتحان يخسرون هذه النقطة لا لجهلهم بالدالة، بل لنسيانهم قاعدة الإشارات.

طريقة 3: كيف نعيّن دالة خطية انطلاقا من عدد وصورته؟

ابدأ دائما بكتابة الصيغة العامّة، ثمّ طبّق دستور المعامل، ثمّ أعد كتابة الصيغة بالمعامل الذي وجدته. ثلاث خطوات، بهذا الترتيب.

مثال 3: تعيين دالة خطية من عدد وصورته

نعلم أنّ f دالة خطية، وأنّ صورة العدد ⁦−4⁩ بها هي الكسر الذي بسطه 3 ومقامه 5.

🎯المطلوب: حدّد معامل الدالة f، ثمّ اكتب صيغتها.

📌المعطى: صورة العدد ⁦−4⁩

نكتب المعطى بلغة الصور.

f(−4) = 35
🔹الخطوة 1: الصيغة العامّة لدالة خطية

كلّ دالة خطية تُكتب جداء معاملها في العدد.

f(x) = ax
🔹الخطوة 2: دستور المعامل

نطبّق دستور المعامل على العدد ⁦−4⁩، وهو غير معدوم فالقسمة عليه ممكنة.

a = f(−4)−4
🔹الخطوة 3: التعويض

نعوّض الصورة بقيمتها.

a = 35−4
🔹الخطوة 4: حساب المعامل

القسمة على عدد هي الضرب في مقلوبه، ثمّ نضرب البسطين والمقامين.

a=(35) × (−14)=−320
✅النتيجة: صيغة الدالة f

نعيد كتابة الصيغة بالمعامل الذي وجدناه، ونتحقّق منها على المعطى.

f(x) = (−320)x
تحقّق دائما من صيغتك على المعطى نفسه: أعد حساب صورة العدد ⁦−4⁩ بالصيغة التي وجدتها، فإن لم تعد إلى الصورة المعطاة فالخطأ في المعامل، لا في التعويض.

طريقة 4: كيف نقرأ معامل دالة خطية على تمثيلها البياني؟

اقرأ على المستقيم نقطة واحدة إحداثياها عددان صحيحان، تجنّبا للتقريب. ثمّ طبّق دستور المعامل على فاصلة هذه النقطة وترتيبتها.

مثال 4: قراءة معامل دالة خطية على الرسم

مستقيم رُسم في معلم متعامد ومتجانس، وهو التمثيل البياني لدالة خطية f. النقطة A منه، وإحداثياها عددان صحيحان.

🎯المطلوب: عيّن معامل الدالة f انطلاقا من الرسم، ثمّ اكتب صيغتها وأحسب صورة العدد 4.

📌المعطى: إحداثيا النقطة A

النقطة A تنتمي إلى المستقيم، فترتيبتها هي صورة فاصلتها.

A(2 ; 3)
🔹الخطوة 1: ترتيبة A هي صورة فاصلتها

نترجم انتماء النقطة إلى التمثيل البياني بلغة الصور.

f(2) = 3
🔹الخطوة 2: دستور المعامل

نطبّق دستور المعامل على الفاصلة 2، وهي غير معدومة.

a = f(2)2
🔹الخطوة 3: قيمة المعامل

نعوّض بالعددين المقروءين على الرسم.

a = 32
🔹الخطوة 4: صيغة الدالة

نعيد كتابة الصيغة بهذا المعامل.

f(x) = (32)x
🔹الخطوة 5: صورة العدد 4

نعوّض x بالعدد 4 في الصيغة، ونبسّط الجداء.

f(4)=(32) × 4=6
✅النتيجة: المعامل وصورة العدد 4

معامل مقروء على الرسم، وصيغة مكتوبة، وصورة محسوبة دون العودة إلى الرسم.

a = 32 ; f(4) = 6
لا تقرأ أبدا نقطة إحداثياها بين تدريجين: اختر على المستقيم نقطة تقع بالضبط على تقاطع خطّي الشبكة. القراءة التقريبية تعطي معاملا تقريبيا، والجواب يصير خاطئا.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في أسئلة من نوع: «احسب صورة العدد 3 بالدالة f»، و«عيّن العدد الذي صورته ⁦−6⁩»، و«عيّن الدالة الخطية انطلاقا من عدد وصورته»، و«مثّلها بيانيّا». ثلاثة عناصر جاهزة: ① الشكل: ⁦f(x) = ax⁩، و a معاملها ؛ الصورة بالتعويض والضرب، والعدد الذي صورته y يُوجد بحلّ المعادلة ⁦ax = y⁩ ② التعيين: عدد غير معدوم وصورته يكفيان: ⁦a = f(x)/x⁩ ③ التمثيل: مستقيم يشمل دائما مبدأ المعلم، فنقطة أخرى واحدة تكفي لرسمه، وترتيبة كلّ نقطة منه صورة فاصلتها. ⛔ والخطأ الشائع: عدّ دالة فيها حدّ ثابت خطيّة ؛ ⁦ax + b⁩ مع b غير معدوم ليست خطيّة، والاختبار الأبسط: الدالة الخطية ترفق العدد 0 بالعدد 0. وخطأ ثانٍ: الخلط بين «صورة عدد» و«العدد الذي صورته معلومة» ؛ الأوّل ضرب، والثاني حلّ معادلة.
خلاصة: الدالة الخطية ترفق كلّ عدد x بالعدد ax، حيث a عدد ثابت يسمّى معاملها، وتُكتب ⁦f(x) = ax⁩. صورة عدد تُحسب بالتعويض والضرب، والعدد الذي صورته معلومة يُوجد بحلّ معادلة من الدرجة الأولى. ويكفي عدد واحد غير معدوم وصورته لتعيين المعامل بقسمة الصورة على العدد. أمّا التمثيل البياني فهو مستقيم يشمل دائما مبدأ المعلم، فنقطة أخرى واحدة تكفي لرسمه، وترتيبة كلّ نقطة منه هي صورة فاصلتها.

Page 1/9

© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net