الدوران — المضلعات المنتظمة — الزوايا — الهندسة في الفضاء › الدوران-المضلعات المنتظمة- الزوايا
الدوران
- تعريف الدوران و ذكر عناصره الثلاثة
- التمييز بين الاتجاه الموجب و الاتجاه السالب
- إنشاء صورة نقطة بدوران معلوم المركز و الزاوية و الاتجاه
- إنشاء صورة قطعة و نصف مستقيم و مستقيم و دائرة بدوران
- توظيف خواص الدوران في حساب أطوال و أقياس زوايا دون قياس
- رسم دائرة بالمدور و نقل طول بالمدور
- قيس زاوية و إنشاء زاوية معلومة القيس بالمنقلة
- معنى التناظر المحوري و التناظر المركزي
معارف — الدوران: تعريفه و عناصره الثلاثة
تحويل شكل بالدوران الذي مركزه النقطة O هو إدارته حول هذه النقطة، مع المحافظة على نفس البعد بين كل جزء من الشكل و النقطة O، في اتجاه معيّن و بزاوية محدّدة. فالنقطة O وحدها لا تتحرّك، و كل ما سواها ينزلق على دائرة مركزها O.
و لا يكتمل تعريف دوران إلا بثلاثة عناصر معا: إذا نقص واحد منها لم نعرف أين تقع الصورة.
- المركز: النقطة التي ندور حولها، و هي وحدها التي لا تتغيّر
- الزاوية: قيس الإدارة، و هو نفسه لكل نقاط الشكل
- الاتجاه: موجب أو سالب، و هو الذي يقرّر إلى أي جهة ندير
طريقة 1: كيف نعيّن عناصر دوران في وضعية ملموسة؟
ابحث أولا عن النقطة التي لم تتحرّك: هي المركز. ثم عن جزء الدورة الذي قُطع: منه تخرج الزاوية. ثم قارن جهة الحركة بجهة عقارب الساعة: منها يخرج الاتجاه.
على قرص ساعة، انتقل عقرب الدقائق من الرقم 12 إلى الرقم 3، و مسمار العقرب مثبّت في النقطة O مركز القرص.
🎯المطلوب: عيّن مركز الدوران و زاويته و اتجاهه.
النقطة الوحيدة التي لم تتحرّك هي مسمار العقرب، أي مركز القرص.
من التدريجة 12 إلى التدريجة 3 ثلاث تدريجات من أصل اثنتي عشرة، أي ربع الدورة.
الدورة الكاملة قيسها 360 درجة، و الزاوية المطلوبة ربعها.
و الاتجاه هو اتجاه حركة عقارب الساعة نفسه، فهو الاتجاه السالب.
معارف — اتجاه الدوران: الموجب و السالب
الاتجاه اصطلاح متّفق عليه، لا شيء أكثر، لكنه ضروري: بدونه لا نعرف إلى أي جهة ندير.
- الاتجاه الموجب هو الاتجاه المعاكس لحركة عقارب الساعة
- الاتجاه السالب هو الاتجاه الموافق لحركة عقارب الساعة
طريقة 2: كيف ننشئ صورة نقطة في كل من الاتجاهين؟
ارسم الدائرة التي مركزها O و تمرّ بالنقطة: كل الصور تقع عليها. ثم أنشئ الزاوية المطلوبة انطلاقا من نصف المستقيم الذي يحمل النقطة، مرة في كل جهة.
النقطة A و النقطة O متمايزتان، و البعد بينهما 4 سنتيمترات.
🎯المطلوب: أنشئ صورة النقطة A بالدوران الذي مركزه O و زاويته 70 درجة في الاتجاه الموجب، ثم صورتها بالدوران الذي له نفس المركز و نفس الزاوية في الاتجاه السالب.
كل صورة للنقطة A تبعد عن المركز نفس بعد A، فهي تقع على الدائرة التي مركزها O و نصف قطرها OA: نرسمها أولا بالمدور.
ننشئ بالمنقلة زاوية قيسها 70 درجة انطلاقا من نصف المستقيم [OA)، في الاتجاه المعاكس لحركة عقارب الساعة، و نسمّي A′ نقطة تقاطع ضلعها الثاني مع الدائرة.
نعيد البناء نفسه بنفس القيس، لكن في اتجاه حركة عقارب الساعة، و نسمّي الصورة A″.
النقطتان مختلفتان، و مع ذلك تبعدان نفس البعد عن المركز.
معارف — صورة نقطة بدوران: الشرطان معا
نقول إن النقطة الثانية هي صورة الأولى بالدوران الذي مركزه O و زاويته المعطاة إذا تحقّق شرطان في آن واحد: أن يكون بعدها عن المركز هو نفسه، و أن تكون الزاوية بين النقطة و صورتها، رأسها المركز، هي زاوية الدوران.
طريقة 3: كيف نستنتج طولا و زاوية من الشرطين؟
اقرأ الشرطين كمعطيين لا كتعريف: الأول يعطيك طولا مجانا، و الثاني يعطيك زاوية مجانا. و من طولين متساويين ينطلق كل استدلال على مثلث متساوي الساقين.
النقطة M′ هي صورة النقطة M بالدوران الذي مركزه O و زاويته 72 درجة، و لدينا OM يساوي 5 سنتيمترات.
🎯المطلوب: احسب الطول OM′، ثم بيّن أن المثلث OMM′ متساوي الساقين و احسب قيسي زاويتي قاعدته.
الشرط الأول في تعريف صورة نقطة بدوران يعطي تساوي البعدين عن المركز.
و بما أن OM يساوي 5 سنتيمترات، فالطول المطلوب هو نفسه.
الضلعان [OM] و [OM′] لهما نفس الطول، فالمثلث متساوي الساقين و رأسه الرئيسي هو O.
مجموع قياسات زوايا مثلث يساوي 180 درجة، و زاويتا القاعدة في مثلث متساوي الساقين متقايستان: نطرح زاوية الرأس ثم نقسم الباقي على اثنين.
و نجمع ما وجدناه.
معارف — خواص الدوران الأربع
الدوران ينقل الشكل دون أن يشوّهه، و هذا يُكتب في أربع خواص. كل واحدة منها تعفيك من قياس: ما كان معروفا على الشكل يبقى معروفا على صورته.
- الدوران يحافظ على المسافات: البعد بين نقطتين هو نفسه بين صورتيهما
- الدوران يحافظ على أقياس الزوايا: صورة زاوية هي زاوية تقايسها
- الدوران يحافظ على استقامية النقاط: صور نقط في استقامية هي نقط في استقامية
- الدوران يحافظ على طبيعة الأشكال: صورة الدائرة دائرة، و صورة المثلث مثلث
طريقة 4: كيف نحسب طولا أو زاوية على الصورة دون رسمها؟
لا ترسم الصورة و لا تقس عليها: اقرأ ما هو معلوم على الشكل الأصلي، ثم انقله إلى صورته بالخاصية المناسبة. المسافة تنتقل بالخاصية الأولى، و الزاوية بالخاصية الثانية.
المثلث ABC فيه AB يساوي 4 سنتيمترات و BC يساوي 6 سنتيمترات و الزاوية ABC قيسها 50 درجة. ننشئ صورته بالدوران الذي مركزه O و زاويته 80 درجة في الاتجاه الموجب.
🎯المطلوب: احسب A′B′ و B′C′ و قيس الزاوية A′B′C′ دون أن ترسم الصورة و دون أن تقيس شيئا.
الدوران يحافظ على المسافات، فالبعد بين الصورتين هو البعد بين النقطتين.
و نعيد نفس القراءة على الضلع الثاني.
الدوران يحافظ على أقياس الزوايا، فصورة الزاوية زاوية تقايسها.
و نجمع النتائج الثلاث.
معارف — صور الأشكال المألوفة بدوران
من الخاصيتين الأخيرتين تنجرّ صور الأشكال التي تعرفها: ما دامت الاستقامية محفوظة و طبيعة الشكل محفوظة، فإن كل شكل يعطي شكلا من نوعه، و بنفس القياسات.
| الشكل الأصلي | صورته بدوران | ما يبقى محفوظا |
|---|---|---|
| نقطة | نقطة | بعدها عن المركز |
| قطعة مستقيم | قطعة مستقيم | طولها |
| نصف مستقيم | نصف مستقيم | استقاميته |
| مستقيم | مستقيم | استقاميته |
| دائرة | دائرة | نصف قطرها |
| زاوية | زاوية | قيسها |
طريقة 5: كيف ننشئ صورة دائرة بدوران؟
لا تدوّر الدائرة نقطة نقطة: الدائرة يحدّدها مركزها و نصف قطرها. أنشئ صورة المركز وحدها، ثم ارسم دائرة بنفس نصف القطر.
الدائرة مركزها I و نصف قطرها 3 سنتيمترات، و النقطة O تبعد عن I بخمسة سنتيمترات.
🎯المطلوب: أنشئ صورة هذه الدائرة بالدوران الذي مركزه O و زاويته 90 درجة في الاتجاه الموجب.
نبدأ بصورة المركز: بعدها عن O هو بعد I عن O نفسه.
و ننشئ الزاوية المطلوبة عند O، من نصف المستقيم [OI)، في الاتجاه الموجب، فنحصل على الموضع الدقيق للنقطة I′.
الدوران يحافظ على المسافات و على طبيعة الأشكال، فالصورة دائرة لها نفس نصف القطر.
فنرسم بالمدور الدائرة التي مركزها I′ و نصف قطرها 3 سنتيمترات.
Page 1/11
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net