الدوران — المضلعات المنتظمة — الزوايا — الهندسة في الفضاء › الهندسة في الفضاء
المقاطع المستوية للمجسمات المألوفة
- تعريف المقطع المستوي لمجسم وتسميته
- استعمال التعامد والتوازي في الفضاء لتبرير مقطع
- تحديد طبيعة مقطع متوازي المستطيلات وأسطوانة ومخروط وهرم
- تحديد طبيعة مقطع كرة أو جلة بمستو، وحساب نصف قطره
- نظرية فيثاغورس في مثلث قائم
- حساب مساحة مستطيل ومساحة قرص
- معنى التوازي والتعامد بين مستقيمين في المستوي
معارف — المقطع المستوي، وأداتان من الفضاء
تقاطع مستو مع مجسم يسمى مقطعا مستويا لهذا المجسم. فالمقطع ليس شيئا نضيفه إلى المجسم، بل هو ما يشترك فيه المجسم والمستوي: السطح الذي يظهر لنا عند القطع.
ويحتاج هذا الدرس إلى أداتين من هندسة الفضاء. الأولى: إذا كان مستقيم عموديا على مستو، فإنه يعامد كل مستقيم محتوى في هذا المستوي، مهما كان اتجاهه.
والثانية: نقول عن مستقيمين في الفضاء إنهما متوازيان إذا كانا محتويين في مستو واحد ولم يلتقيا. فالتوازي في الفضاء يشترط شرطين لا شرطا واحدا.
معارف — مقطع متوازي المستطيلات
إذا كان المستوي القاطع موازيا لأحد أوجه متوازي المستطيلات، فإن المقطع مستطيل له بعدا ذلك الوجه نفسهما: لا يتغير شيء إلا موضع المستطيل داخل المجسم.
وإذا كان المستوي موازيا لأحد حروف المجسم، فإن المقطع مستطيل كذلك، لكن الذي نعرفه عنه بالتأكيد هو أحد بعديه فقط: ذلك الحرف.
وفي الحالتين، ما دام المقطع مستطيلا فمساحته جداء بعديه، كأي مستطيل.
معارف — مقطع الأسطوانة
إذا قطعنا أسطوانة دورانية بمستو مواز لقاعدتها، كان المقطع قرصا من طبيعة القاعدة نفسها ونصف قطرها نفسه: كأننا نسخنا القاعدة وحركناها إلى أعلى.
وإذا قطعناها بمستو مواز لمحورها، كان المقطع مستطيلا أحد بعديه ارتفاع الأسطوانة. أما البعد الآخر فيتوقف على موضع المستوي، ولا نعرفه إلا في حالة واحدة: إذا كان المستوي يحتوي المحور، فإنه يقطع القاعدة على قطر كامل، فيكون البعد الآخر هو القطر.
معارف — مقطع الهرم والمخروط بمستو مواز للقاعدة
مقطع هرم بمستو مواز لقاعدته سطح له طبيعة القاعدة نفسها: إن كانت القاعدة مربعا كان المقطع مربعا، وإن كانت مثلثا كان مثلثا. الطبيعة لا تتغير، وحدها الأبعاد تصغر.
ومقطع مخروط دوراني بمستو مواز لقاعدته قرص مصغر لقاعدته الدائرية: نصف قطره أصغر من نصف قطر القاعدة، وكلما اقترب المستوي من الرأس صغر المقطع أكثر.
معارف — مقطع الكرة والجلة: أربع حالات
هنا كل شيء يتوقف على بعد واحد: البعد بين مركز الكرة والمستوي، ونرمز إليه بالطول OH حيث H هو المسقط العمودي للمركز على المستوي. وبمقارنة هذا البعد بنصف القطر نحصل على أربع حالات لا خامسة لها.
في هذه الحالة يكون المقطع دائرة مركزها H. ولحساب نصف قطرها نأخذ نقطة M من هذه الدائرة: المستقيم الواصل بين المركز والمسقط عمودي على المستوي، والقطعة الواصلة بين المسقط والنقطة محتواة في المستوي، فالمثلث الذي رؤوسه O و H و M قائم في H، وتعطينا نظرية فيثاغورس نصف قطر المقطع.
عندئذ يكون المقطع دائرة لها مركز الكرة نفسه ونصف قطرها نفسه، وهي أكبر مقطع ممكن. أما مقطع الجلة بالمستوي نفسه فهو قرص، لأن الجلة ممتلئة والكرة سطح.
هنا لا يبقى من المشترك بين الكرة والمستوي إلا نقطة واحدة هي المسقط H نفسه، وتسمى نقطة تماس الكرة بالمستوي.
وأخيرا، إذا كان المسقط خارج الكرة فلا توجد أي نقطة مشتركة بين الكرة والمستوي: لا مقطع أصلا.
| البعد بين المركز والمستوي | موقع المستوي | طبيعة المقطع |
|---|---|---|
| 0 < OH < R | يقطع الكرة | دائرة مركزها H ونصف قطرها HM أصغر من R |
| OH = 0 | يمر بمركز الكرة | دائرة لها مركز الكرة ونصف قطرها R |
| OH = R | مماس للكرة | نقطة واحدة هي H، تسمى نقطة التماس |
| OH > R | لا يلتقي الكرة | لا توجد أي نقطة مشتركة |
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نثبت تعامد مستقيمين في الفضاء؟
لا تحاول قياس الزاوية على الرسم: ابحث عن مستقيم عمودي على مستو، ثم تأكد أن المستقيم الثاني محتوى في ذلك المستوي. عندئذ يكون التعامد نتيجة، لا ملاحظة.
متوازي مستطيلات، حرفه [AE] عمودي على مستوي قاعدته (P)، والنقطة B نقطة أخرى من مستوي القاعدة.
🎯المطلوب: بيّن أن المستقيم (AE) عمودي على المستقيم (AB).
المعطى يقول إن الحرف عمودي على المستوي كله، لا على مستقيم واحد منه.
النقطتان A و B كلتاهما من مستوي القاعدة، والمستقيم الذي يشدهما محتوى فيه.
المستقيم العمودي على مستو يعامد كل مستقيم محتوى في هذا المستوي، والمستقيم (AB) واحد من هذه المستقيمات.
طريقة 2: كيف نحسب مساحة مقطع متوازي المستطيلات؟
ابدأ بتحديد ما يوازيه المستوي: وجها أم حرفا. إن كان وجها فبعدا المقطع معلومان مباشرة، وهما بعدا ذلك الوجه، ثم تحسب مساحة مستطيل كالعادة.
متوازي مستطيلات أبعاده 8 سم و5 سم و3 سم. يقطعه مستو مواز للوجه الذي بعداه 8 سم و5 سم.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة المقطع وأحسب مساحته.
المستوي مواز لوجه، فالمقطع مستطيل له بعدا ذلك الوجه نفسهما، ولا دخل للبعد الثالث.
طريقة 3: كيف نحسب مساحة مقطع أسطوانة؟
اسأل نفسك: هل المستوي مواز للقاعدة أم للمحور؟ في الأولى تحسب مساحة قرص، وفي الثانية مساحة مستطيل. الدستور يتغير بتغير طبيعة المقطع، لا بتغير الأسطوانة.
أسطوانة دورانية نصف قطر قاعدتها 3 سم وارتفاعها 10 سم. نقطعها مرة بمستو مواز لقاعدتها، ومرة بمستو يحتوي محورها.
🎯المطلوب: احسب مساحة كل من المقطعين، بأخذ 3,14 قيمة مقربة للعدد π.
المستوي الأول مواز للقاعدة، فالمقطع قرص له نصف قطر القاعدة نفسه.
المستوي الثاني يحتوي المحور، فهو يقطع القاعدة على قطر كامل: بعدا المستطيل هما الارتفاع والقطر.
طريقة 4: كيف نقارن مقطع مخروط بقاعدته؟
المقطع الموازي للقاعدة قرص مصغر لها. فإذا عُرف نصف قطره، حسبت مساحته ومساحة القاعدة بالدستور نفسه، ثم قسمت إحداهما على الأخرى: العدد π يُختزل ولا يبقى إلا نسبة العددين.
مخروط دوراني نصف قطر قاعدته 6 سم. قطعناه بمستو مواز لقاعدته فتحصلنا على قرص نصف قطره 2 سم.
🎯المطلوب: احسب مساحة المقطع ومساحة القاعدة، ثم قارن بينهما.
المستوي مواز للقاعدة، فالمقطع قرص مصغر لها: الطبيعة لم تتغير، وحده نصف القطر صغر.
نقسم مساحة القاعدة على مساحة المقطع، فيُختزل العدد π من البسط والمقام ولا يبقى إلا نسبة العددين.
حاصل القسمة يساوي 9، ومعنى ذلك أن مساحة القاعدة تساوي 9 أضعاف مساحة المقطع.
طريقة 5: كيف نحسب نصف قطر مقطع كرة؟
ابدأ بالمثلث: المركز، والمسقط العمودي، ونقطة من دائرة المقطع. هذا المثلث قائم في المسقط دائما، ووتره هو نصف قطر الكرة. ثم طبّق نظرية فيثاغورس.
الكرة (K) مركزها O ونصف قطرها 10 سم، ويقطعها المستوي (P). النقطة H هي المسقط العمودي للمركز على هذا المستوي، والبعد OH يساوي 6 سم. النقطة M من دائرة المقطع.
🎯المطلوب: احسب نصف قطر دائرة المقطع.
القطعة [OH] عمودية على المستوي، والقطعة [HM] محتواة فيه، فالزاوية بينهما قائمة.
الوتر في هذا المثلث هو [OM]، وهو نصف قطر الكرة لأن M نقطة من الكرة.
نطرح مربع البعد من مربع نصف القطر لنحصل على مربع نصف قطر المقطع.
طريقة 6: كيف نميّز الحالات الأربع بمقارنة واحدة؟
قارن بعد المستوي عن المركز بنصف القطر، ولا تفعل شيئا آخر قبل ذلك: هذه المقارنة وحدها تقول لك إن كان المقطع دائرة كبرى، أو دائرة أصغر، أو نقطة، أو لا شيء.
كرة مركزها O ونصف قطرها 13 سم. أربعة مستويات تبعد عن المركز على الترتيب بـ 0 سم و5 سم و13 سم و20 سم، والنقطة M نقطة من المقطع حين يوجد.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة المقطع في كل حالة، وأحسب نصف قطره حين يكون دائرة.
المستوي الأول يمر بالمركز نفسه، فالمقطع دائرة كبرى: نصف قطرها نصف قطر الكرة.
المستوي الثاني بعده أصغر من نصف القطر، فالمقطع دائرة، ونصف قطرها بفيثاغورس.
المستوي الثالث بعده يساوي نصف القطر تماما: لا يبقى إلا نقطة تماس واحدة.
والمستوي الرابع بعده أكبر من نصف القطر: لا توجد نقطة مشتركة أصلا.
Page 1/12
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net