Mathematics🎓 baccalaureate goal

المتتاليات العددية

الاستدلال بالتراجع

🔊 The teacher reads for you

لاحظنا عدديا أنّ مجموع مكعّبات أوّل أعداد طبيعية غير معدومة يساوي دائما مربّع مجموع هذه الأعداد نفسها، و تحقّقنا من ذلك في ثلاث حالات فقط. فهل التحقّق من ثلاث حالات كافٍ لإثبات أنّ خاصية عددية صحيحة مهما كانت قيمة رتبتها، أم توجد طريقة تثبت ذلك مرّة و للأبد؟

المرحلتان اللتان سنعتمدهما ليستا اختراعا رياضيا معقّدا: هما بالضبط ما فعلته حين لاحظت الخاصية أوّل مرّة، ثمّ ما تحتاجه لتضمن أنّها لن تتوقّف أبدا مهما تقدّمت الرتبة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

التعرّف على مبدأ البرهان بالتراجع بمرحلتيه: التحقّق عند الحدّ الأول ثمّ إثبات التوارث من حدّ إلى الذي يليه
تحرير برهان بالتراجع كاملا على خاصية تتعلّق بالقسمة، باتّباع المرحلتين معا
استعمال البرهان بالتراجع لإثبات رتابة متتالية أو كونها محدودة
إدراك أنّ إهمال المرحلة الأولى يُبطل البرهان كلّه، حتّى لو كانت مرحلة التوارث صحيحة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الحساب على الأسس و تحليل عبارات جبرية بسيطة
مفهوم مضاعف عدد صحيح
صيغة مجموع أوّل أعداد طبيعية متتابعة، مكتسب سابق

1. لماذا نحتاج طريقة برهان جديدة؟

نضع، من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم، مجموع الأعداد الطبيعية الأولى من جهة، و مجموع مكعّباتها من جهة أخرى. نتساءل هل مربّع المجموع الأول يساوي دائما المجموع الثاني.

✅النّتيجة: التحقّق من الخاصية في ثلاث حالات

الرتبة	مجموع الأعداد	مجموع المكعّبات	مربّع مجموع الأعداد
1	1	1	1
2	3	9	9
3	6	36	36

العمودان الأخيران متساويان في الأسطر الثلاثة، لكنّ هذا لا يثبت شيئا عن الرتبة رقم 1000.

التحقّق من ثلاث حالات يعطي ثقة، لا برهانا. المطلوب الآن أداة تثبت الخاصية من أجل كلّ رتبة دفعة واحدة.

2. مبدأ البرهان بالتراجع: مرحلتان

🔺 المرحلة الأولى (الأساس): نتحقّق أنّ الخاصية صحيحة عند أصغر رتبة ممكنة
🔺 المرحلة الثانية (التوارث): نفترض أنّ الخاصية صحيحة عند رتبة معيّنة، ثمّ نبرهن أنّها تبقى صحيحة عند الرتبة التي تليها
🔺 الخلاصة: من المرحلتين معا نستنتج أنّ الخاصية صحيحة عند كلّ رتبة، بلا استثناء

⚠️ مثال عام على أهمّية المرحلة الأولى: خذ خاصية 'كلّ قوى العدد 3 تقبل القسمة على 5'. مرحلة التوارث وحدها صحيحة، لأنّه إذا كانت قوّة من قوى 3 مضاعفة لـ5 فإنّ ضربها في 3 يعطي مضاعفا لـ5 أيضا. و مع ذلك فالخاصية خاطئة عند كلّ رتبة، لأنّ القوّة صفر تساوي 1 و هي ليست مضاعفة لـ5: المرحلة الأولى تفشل من البداية، فيسقط البرهان كلّه رغم صحّة مرحلة التوارث.

3. أربعة أمثلة تطبيقية

مثال 1: إثبات التوارث على خاصية عددية

نضع، من أجل كلّ عدد طبيعي غير معدوم n، مجموع الأعداد ⁦αₙ=1+2+…+n⁩ و مجموع المكعّبات ⁦βₙ=1³+2³+…+n³⁩. رأينا أنّ الخاصية ⁦βₙ=αₙ²⁩ صحيحة عند الرتب 1 و 2 و 3.

🎯المطلوب: بفرض أنّ الخاصية صحيحة عند رتبة معيّنة n، أثبت أنّها تبقى صحيحة عند الرتبة ⁦n+1⁩.

🔹المرحلة 1: التحقّق عند أصغر رتبة

1² = 1

🔹المرحلة 2 – الفرضية

نفترض أنّ الخاصية صحيحة عند رتبة معيّنة n، أي أنّ مجموع المكعّبات يساوي مربّع مجموع الأعداد عند هذه الرتبة بالذات: هذا هو كلّ ما تسمح لنا الفرضية باستعماله.

β_n = α_n²

🔹المرحلة 2 – الخطوة 1: تعريف الحدّ الموالي

الحدّ الموالي لمجموع المكعّبات يُضاف إليه مكعّب الرتبة الجديدة فقط.

β_n+1 = β_n + (n+1)³

🔹المرحلة 2 – الخطوة 2: التعويض بالفرضية

نستعمل الفرضية لنستبدل مجموع المكعّبات بمربّع مجموع الأعداد.

β_n+1 = α_n² + (n+1)³

🔹المرحلة 2 – الخطوة 3: مربّع المجموع الجديد

مجموع الأعداد عند الرتبة الجديدة يساوي المجموع القديم زائد الرتبة الجديدة، فنطوّر مربّعه.

α_n+1²=(α_n + (n+1))²=α_n² + 2 α_n (n+1) + (n+1)²

🔹المرحلة 2 – الخطوة 4: الصيغة المعروفة للمجموع

نستعمل هنا صيغة معروفة سابقا لمجموع أعداد طبيعية متتابعة.

α_n = n(n+1)2

🔹المرحلة 2 – الخطوة 5: التعويض في المربّع

α_n+1²=α_n² + 2 × (n(n+1)2) × (n+1) + (n+1)²

🔹المرحلة 2 – الخطوة 6: تبسيط الحدّ الأوسط

α_n+1²=α_n² + n(n+1)² + (n+1)²

🔹المرحلة 2 – الخطوة 7: وضع ⁦(n+1)²⁩ عاملا مشتركا

α_n+1²=α_n² + (n+1)²(n + 1)

🔹المرحلة 2 – الخطوة 8: تبسيط الأسّ

α_n+1² = α_n² + (n+1)³

✅الخلاصة

هذا بالضبط ما وجدناه لمجموع المكعّبات عند الرتبة الجديدة في الخطوة 2، إذن الخاصية تنتقل من رتبة إلى التي تليها.

β_n+1 = α_n+1²

⭐ لاحظ الحيلة المتكرّرة في كلّ برهان بالتراجع: نُدخل الفرضية في وسط حساب يبدو مختلفا تماما، حتّى تظهر و تُستعمل صراحة.

مثال 2: القسمة على 3 بالتراجع

نعتبر، من أجل كلّ عدد طبيعي n، العدد ⁦n³−n⁩.

🎯المطلوب: برهن بالتراجع أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي n، العدد ⁦n³−n⁩ مضاعف للعدد 3.

🔹المرحلة 1: التحقّق عند أصغر رتبة

0³ − 0=0=3 × 0

🔹المرحلة 2 – الفرضية

نفترض أنّ الخاصية صحيحة عند رتبة n، أي أنّ الفرق مضاعف للعدد 3، فنكتبه على هذا الشكل.

n³ − n = 3 k

🔹المرحلة 2 – الخطوة 1: كتابة n³ بدلالة k

n³ = 3 k + n

🔹المرحلة 2 – الخطوة 2: نشر الفرق عند الرتبة الموالية

نبرهن أنّ الخاصية تنتقل إلى الرتبة الموالية، فننشر أوّلا.

(n+1)³ − (n+1)=n³ + 3n² + 3n + 1 − n − 1

🔹المرحلة 2 – الخطوة 3: تبسيط

(n+1)³ − (n+1)=n³ + 3n² + 2n

🔹المرحلة 2 – الخطوة 4: التعويض بالفرضية

نستبدل n³ بالعبارة التي أعطتها الفرضية بالذات.

(n+1)³ − (n+1)=(3k + n) + 3n² + 2n

🔹المرحلة 2 – الخطوة 5: تبسيط

(n+1)³ − (n+1)=3k + 3n² + 3n

🔹المرحلة 2 – الخطوة 6: وضع 3 عاملا مشتركا

(n+1)³ − (n+1)=3(k + n² + n)

✅الخلاصة

العدد بين القوسين مجموع أعداد طبيعية فهو طبيعي، إذن العبارة كلّها مضاعف للعدد 3.

(n+1)³ − (n+1)=3(k + n² + n)

⭐ الحيلة الوحيدة في هذا البرهان هي استبدال n³ بالعبارة التي تعطيها الفرضية بالذات — هذا ما يجعل الفرضية تظهر و تُستعمل صراحة.

مثال 3: رتابة متتالية بالتراجع

⁦(uₙ)⁩ متتالية معرّفة بحدّها الأول ⁦u₀=4⁩ و علاقة تراجع تعطي كلّ حدّ بضرب نصف الحدّ الذي قبله ثمّ طرح 1.

🎯المطلوب: برهن بالتراجع أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متناقصة.

🔹المرحلة 1 – المعطى

u₀ = 4

🔹المرحلة 1 – التحقّق

u₁=(12) × 4 − 1=1

🔹المرحلة 1 – الخلاصة

الحدّ الثاني أصغر من الحدّ الأول، فالخاصية صحيحة عند أصغر رتبة.

u₁ ≤ u₀

🔹المرحلة 2 – الفرضية

نفترض أنّ الخاصية صحيحة عند رتبة n، أي أنّ الحدّ يتناقص عندها، و نبرهن أنّها تنتقل إلى الرتبة الموالية.

u_n+1 ≤ u_n

🔹المرحلة 2 – الخطوة 1: تطبيق العلاقة على المتباينة

نضرب طرفي المتباينة في ⁦1/2⁩، و هو عدد موجب فلا يتغيّر اتّجاهها، ثمّ نطرح 1 من الطرفين.

(12) u_n+1 − 1 ≤ (12) u_n − 1

🔹المرحلة 2 – الخطوة 2: التعرّف على الحدود الموالية

الطرفان هما بالضبط الحدّان الموالي و الذي يليه، بحكم علاقة التراجع نفسها.

u_n+2 ≤ u_n+1

✅الخلاصة

u_n+2 ≤ u_n+1

⭐ لأنّ ⁦1/2⁩ عدد موجب، ضرب طرفي متباينة فيه لا يقلب اتّجاهها؛ لو كان العامل سالبا لوجب قلب الإشارة.

مثال 4: متتالية محدودة من الأسفل بالتراجع

نأخذ المتتالية نفسها المستعملة في المثال الثالث، بحدّها الأول ⁦u₀=4⁩.

🎯المطلوب: برهن بالتراجع أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ محدودة من الأسفل بالعدد ⁦−2⁩.

🔹المرحلة 1: المعطى

u₀ = 4

🔹المرحلة 1 – الخلاصة

العدد ⁦−2⁩ أصغر من 4، فالخاصية صحيحة عند أصغر رتبة.

u₀ ≥ −2

🔹المرحلة 2 – الفرضية

نفترض أنّ الخاصية صحيحة عند رتبة n، و نبرهن أنّها تنتقل إلى الرتبة الموالية.

u_n ≥ −2

🔹المرحلة 2 – الخطوة 1: تطبيق العلاقة على المتباينة

نضرب طرفي المتباينة في ⁦1/2⁩ الموجب، ثمّ نطرح 1 من الطرفين.

(12) u_n − 1 ≥ (12) × (−2) − 1

🔹المرحلة 2 – الخطوة 2: تبسيط الطرف الأيمن

(12) × (−2) − 1=−2

✅الخلاصة

u_n+1 ≥ −2

⭐ من الخاصيتين معا (متناقصة و محدودة من الأسفل) تخرج نتيجة أقوى ستراها لاحقا: كلّ متتالية متناقصة و محدودة من الأسفل متقاربة.

صفّ من قطع الدومينو تتساقط الواحدة بعد الأخرى: القطعة الأولى تسقط بفعل التحقّق المباشر، ثمّ كلّ قطعة تسقط لأنّ التي قبلها سقطت. — المرحلة الأولى تُسقط أوّل قطعة، و المرحلة الثانية تضمن أنّ سقوط أيّ قطعة يسحب التي تليها إلى ما لا نهاية.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في سؤال صريح: «برهن بالتراجع أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي n …»، والخاصّية قد تتعلّق بقابلية القسمة، أو برتابة متتالية، أو بكونها محدودة. جهّز ثلاثة عناصر: ① المرحلة الأولى: تحقّق من صحّة الخاصّية عند أصغر رتبة، واكتب ذلك في سطر مستقلّ ؛ ② مرحلة التوارث: افترض صحّتها عند رتبة معيّنة n، ثمّ أثبت أنّها تنتقل إلى الرتبة ⁦n + 1⁩ مستعملا هذا الافتراض صراحة ؛ ③ الخاتمة: جملة تجمع المرحلتين وتعلن صحّة الخاصّية من أجل كلّ عدد طبيعي. ⚠️ الخطأ الشائع: إغفال المرحلة الأولى، وهي ليست شكلية: خاصّية «كلّ قوى العدد 3 تقبل القسمة على 5» توارثها صحيح، وهي خاطئة عند كلّ رتبة لأنّ القوّة صفر تساوي 1. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الاكتفاء بالتحقّق من حالات قليلة، فهو لا يثبت الخاصّية من أجل كلّ رتبة.

الخلاصة: للبرهان بالتراجع على خاصية من أجل كلّ عدد طبيعي مرحلتان لا غنى عن أيّ منهما: التحقّق من صحّة الخاصية عند أصغر رتبة، ثمّ افتراض صحّتها عند رتبة معيّنة و إثبات أنّها تنتقل إلى الرتبة الموالية. إغفال المرحلة الأولى يُبطل البرهان كلّه، حتّى لو كانت مرحلة التوارث صحيحة.

Page 1/7