Mathematics🎓 baccalaureate goal

المتتاليات العددية

المتتاليات ⁦(u(n))⁩ حيث ⁦u(n+1) = a·u(n) + b⁩: دراسة التقارب

🔊 The teacher reads for you

إذا كانت متتالية من الشكل ⁦uₙ₊₁ = a×uₙ + b⁩ تنمذج رصيدا بنكيا أو عدد سكان مدينة، فإنّ السؤال العملي الحقيقي ليس فقط هل تتزايد أم تتناقص، بل: أين تستقرّ في النهاية، أو هل تنفجر بلا حدود. كيف نُثبت تقارب متتالية من الشكل ⁦uₙ₊₁ = a×uₙ + b⁩، وكيف نحسب نهايتها بدلالة a وb؟

و المتتالية ⁦uₙ₊₁ = a×uₙ + b⁩ ليست حسابية و ليست هندسية، فلا تنطبق عليها أيّ من العبارتين المعروفتين للحدّ العامّ. و الحيلة التي تحلّ المسألة كلّها هي أن نزيح المتتالية بمقدار ثابت جيّد الاختيار، فتصير هندسية.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تبني متتالية مساعدة هندسية ⁦vₙ = uₙ − b/(1 − a)⁩ لدراسة تقارب ⁦(uₙ)⁩
تعبّر عن الحدّ العامّ uₙ بدلالة n انطلاقا من vₙ
تحدّد نهاية ⁦(uₙ)⁩ حسب موقع a من الفترة ⁦]−1;1[⁩
تتعرّف على الحالات التي لا تكون فيها المتتالية متقاربة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

المتتالية الهندسية وعبارة حدّها العامّ
نهاية qⁿ عند +∞ حسب قيمة q
النقطة الصامدة لدالة تآلفية

1. المتتالية المساعدة

نبحث أوّلا عن النقطة الصامدة للدالة التآلفية ⁦f(x) = a x + b⁩، أي العدد ℓ الذي يحقّق ⁦ℓ = a×ℓ + b⁩. و بحلّ هذه المعادلة نجد ⁦ℓ = b/(1 − a)⁩، و هذا ممكن كلّما كان ⁦a ≠ 1⁩. ثمّ نضع ⁦vₙ = uₙ − ℓ⁩. و بحساب ⁦vₙ₊₁⁩ نجد ⁦vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − ℓ = a×uₙ + b − ℓ⁩، و بما أنّ ⁦ℓ = a×ℓ + b⁩ فإنّ ⁦vₙ₊₁ = a×(uₙ − ℓ) = a×vₙ⁩. ⟸ فالمتتالية ⁦(vₙ)⁩ هندسية أساسها a، و هي المتتالية المساعدة.

مثال 1: بناء المتتالية المساعدة الهندسية

⁦(uₙ)⁩ متتالية تحقّق ⁦uₙ₊₁ = a×uₙ + b⁩ من أجل كلّ عدد طبيعي n، حيث ⁦a ≠ 1⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المتتالية ⁦(vₙ)⁩ المعرّفة بـ ⁦vₙ = uₙ − b/(1−a)⁩ متتالية هندسية.

📌المعطى

u_n+1 = a u_n + b ; a ≠ 1

🔹الخطوة 1: تعريف المتتالية المساعدة

نُعرّف متتالية جديدة vₙ بطرح النقطة الصامدة ⁦b/(1−a)⁩ من كلّ حدّ.

v_n=u_n − b1 − a

🔹الخطوة 2: الحدّ الموالي

نكتب الحدّ الموالي لـ v بتعويض العلاقة التراجعية لـ u.

v_n+1=a u_n + b − b1 − a

🔹الخطوة 3: إخراج العامل المشترك

نضع ⁦b/(1−a)⁩ عاملا مشتركا بعد وضع a عاملا مشتركا في الحدّين الأوّلين.

v_n+1=a (u_n − b1 − a)

✅النّتيجة

v_n+1 = a v_n

⭐ الحيلة الوحيدة هنا هي طرح نفس العدد الثابت ⁦b/(1−a)⁩ من كلّ حدّ. هذا العدد ليس عشوائيا: هو بالضبط النقطة الصامدة للدالة ⁦f(x) = ax + b⁩.

إذن ⁦(vₙ)⁩ متتالية هندسية أساسها a وحدّها الأوّل ⁦v₀ = u₀ − b/(1−a)⁩. ومنه نستنتج الحدّ العامّ لـ vₙ ثمّ لـ uₙ:

الحدّ العامّ لـ vₙ

v_n = v₀ × aⁿ

✅استنتاج الحدّ العامّ لـ uₙ

u_n=v₀ × aⁿ + b1 − a

2. النهاية حسب قيمة a

✅النّتيجة: نهاية ⁦(uₙ)⁩ حسب قيمة a

حالة a	نهاية ⁦(uₙ)⁩
⁦−1 < a < 1⁩	⁦b/(1 − a)⁩ — نهاية منتهية
⁦a > 1⁩	+∞ أو −∞ (حسب إشارة v₀)؛ ثابتة إذا كان ⁦v₀ = 0⁩
⁦a ≤ −1⁩	ليس لها نهاية، إلّا إذا كان ⁦v₀ = 0⁩ (ثابتة)

إذن، ما لم يكن الحدّ الأوّل هو النقطة الصامدة نفسها، ⁦(uₙ)⁩ متقاربة فقط عندما ⁦−1 < a < 1⁩، ونهايتها عندئذ ⁦b/(1−a)⁩ — وهي بالضبط النقطة الصامدة للدالة f. في الحالتين الأخريين، ⁦(uₙ)⁩ غير متقاربة.

مثال 2: متتالية ثابتة، حالة خاصّة من التقارب

المتتالية ⁦(uₙ)⁩ معرّفة بـ ⁦u₀ = 3⁩ و⁦uₙ₊₁ = (1/3)uₙ + 2⁩.

🎯المطلوب: هل المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة؟

📌المعطى

u₀ = 3 ; a = 13 ; b = 2

🔹الخطوة 1: النقطة الصامدة

نحسب النقطة الصامدة ⁦b/(1−a)⁩ للمقارنة بـ u₀.

b1 − a=21 − 13=3

✅النّتيجة

u₀ يساوي النقطة الصامدة نفسها، فحدود المتتالية لا تتغيّر أبدا.

u₀ = 3 = b1 − a ⟹ (∀n∈ℕ) u_n = 3

عندما يكون الحدّ الأوّل هو النقطة الصامدة نفسها، تكون المتتالية ثابتة، وهي حالة خاصّة (وأبسط) من التقارب: نهايتها هي قيمتها الثابتة نفسها.

إذن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة نحو 3، وهذا يطابق تماما ⁦b/(1−a) = 3⁩.

مثال 3: تقارب نحو نهاية منتهية

المتتالية ⁦(uₙ)⁩ معرّفة بـ ⁦u₀ = 2⁩ و⁦uₙ₊₁ = (1/3)uₙ + 2⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المتتالية ⁦(vₙ)⁩ المعرّفة بـ ⁦vₙ = uₙ − 3⁩ هندسية، ثمّ استنتج نهاية ⁦(uₙ)⁩.

📌المعطى

u₀ = 2 ; a = 13 ; b = 2

🔹الخطوة 1: عبارة ⁦vₙ₊₁⁩

نضع ⁦vₙ = uₙ − 3⁩، حيث ⁦3 = b/(1−a)⁩ هي النقطة الصامدة.

v_n+1=u_n+1 − 3=(13) u_n − 1

🔹الخطوة 2: التبسيط

نُخرج ⁦1/3⁩ عاملا مشتركا لنُظهر ⁦uₙ − 3⁩.

v_n+1=(13)(u_n − 3)=(13) v_n

🔹الخطوة 3: الحدّ العامّ لـ vₙ

⁦(vₙ)⁩ إذن هندسية أساسها ⁦1/3⁩، وحدّها الأوّل ⁦v₀ = u₀ − 3⁩.

v_n = −(13)ⁿ

🔹الخطوة 4: استنتاج uₙ

نستنتج عبارة uₙ بإضافة 3 إلى vₙ.

u_n=−(13)ⁿ + 3

✅النّتيجة

الأساس ⁦1/3⁩ محصور بين ⁦−1⁩ و1، فقوّته تؤول إلى الصفر.

lim_n→+∞ u_n = 3

لاحظ أنّ النهاية 3 هي نفسها النقطة الصامدة ⁦b/(1−a)⁩ في المثال السابق: هذا ليس صدفة، فكلّ متتالية من هذا الشكل تتقارب — عندما تتقارب — نحو نقطتها الصامدة بالضبط.

إذن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة نحو العدد 3.

مثال 4: نهاية غير منتهية

رصيد بنكي uₙ (بالدينار) يُحقّق ⁦uₙ₊₁ = 1,05×uₙ − 1500⁩ بحدّ أوّل ⁦u₀ = 10000⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ غير متقاربة، وعيّن نهايتها.

📌المعطى

u₀ = 10000 ; a = 1,05 ; b = −1500

🔹الخطوة 1: عبارة ⁦vₙ₊₁⁩

نضع ⁦vₙ = uₙ − 30000⁩، حيث ⁦30000 = b/(1−a)⁩ هي النقطة الصامدة.

v_n+1=u_n+1 − 30000=1,05 u_n − 31500

🔹الخطوة 2: التبسيط

v_n+1=1,05 (u_n − 30000)=1,05 v_n

🔹الخطوة 3: الحدّ الأوّل لـ vₙ

⁦(vₙ)⁩ هندسية أساسها 1,05، وحدّها الأوّل ⁦v₀ = u₀ − 30000⁩.

v₀=10000 − 30000=−20000

🔹الخطوة 4: الحدّ العامّ لـ uₙ

u_n = −20000 × (1,05)ⁿ + 30000

✅النّتيجة

الأساس 1,05 أكبر من واحد، فقوّته تؤول إلى +∞، والعامل ⁦−20000⁩ سالب.

lim_n→+∞ u_n = −∞

⭐ الأساس هنا أكبر من واحد، فالمتتالية المساعدة ⁦(vₙ)⁩ تنفجر بلا حدود، ولا ينفع معها أيّ استقرار: الرصيد ينهار لأنّ السحب الثابت 1500 يفوق في النهاية ما تُنتجه الفائدة.

المتتالية ⁦(uₙ)⁩ غير متقاربة: نهايتها −∞ (نهاية غير منتهية). وللتأكّد من مسار الحساب، نتحقّق من الحدّ الثامن بالطريقتين معا — بالعلاقة التراجعية مباشرة، وبالصيغة المغلقة أعلاه:

✅النّتيجة: الطريقتان تتّفقان على القيمة نفسها

طريقة الحساب	قيمة u₈
بالعلاقة التراجعية، حدّا بعد حدّ من u₀	450,89
بالصيغة المغلقة ⁦−20000×(1,05)⁸ + 30000⁩	450,89

⭐ اتّفاق الطريقتين هو أقوى تحقّق ذاتي متاح: خطأ حسابي نادرا ما يتكرّر بالشكل نفسه في مسارين مستقلّين.

⭐ كلّما شككت في نتيجة عددية على متتالية من هذا الشكل، احسبها بالطريقتين معا — بالعلاقة التراجعية مباشرة، وبالصيغة المغلقة ⁦uₙ = v₀aⁿ + b/(1−a)⁩ — وقارن. هذا ما يكشف أيّ خطأ حساب قبل أن يصل إلى النتيجة النهائية.

في البكالوريا، عندما يُطلب منك نهاية متتالية من هذا الشكل، لا تُخمّن: ابنِ المتتالية المساعدة الهندسية، تحقّق من أساسها بالمقارنة مع ⁦−1⁩ و1، ثمّ استنتج النهاية من الصيغة المغلقة. القفز مباشرة إلى «النهاية هي ⁦b/(1−a)⁩» دون التحقّق من ⁦−1<a<1⁩ خطأ شائع يُنقّص النقطة.

الخلاصة: نضع ⁦vₙ = uₙ − b/(1−a)⁩ لنحصل على متتالية هندسية أساسها a. فإذا كان ⁦−1 < a < 1⁩، فإنّ ⁦(uₙ)⁩ متقاربة نحو نهايتها المنتهية ⁦b/(1−a)⁩ — نقطتها الصامدة بالضبط. وإذا كان ⁦a > 1⁩ أو ⁦a ≤ −1⁩ فإنّ ⁦(uₙ)⁩ غير متقاربة، إلّا إذا كان حدّها الأوّل هو النقطة الصامدة نفسها: متتالية ثابتة.

Page 1/6