مدرستي
Mathematics🎓 baccalaureate goal

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الخواص الجبرية للوغاريتم و حل معادلات و متراجحات لوغاريتمية

🔊 The teacher reads for you
اللوغاريتم النيبيري عُرّف بالتكامل، لا بالجداء و لا بالقسمة — و مع ذلك فإنّ أشهر استعمالاته في الحساب العددي هو تحويل جداء طويل إلى مجموع بسيط. فكيف ننتقل من جداء داخل اللوغاريتم إلى مجموع خارجه؟ و كيف نستعمل هذا التحويل لحلّ معادلات و متراجحات تحتوي لوغاريتمات؟

الجواب في جملة: اللوغاريتم يحوّل الجداء إلى مجموع. من هذه الخاصّية الواحدة تُشتقّ كلّ الخواص الأخرى: القسمة تصير طرحا، القوّة تصير ضربا في الأسّ، و الجذر يصير قسمة على 2. و حين يظهر مجموع لوغاريتمات في معادلة أو متراجحة، فالطريق معاكس تماما: نجمعه أوّلا في لوغاريتم واحد بتحويل المجموع إلى جداء، ثمّ نوظّف خاصّية التساوي أو الترتيب.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • توظيف الخاصّية الأساسية ⁦ln(ab) = ln(a) + ln(b)⁩ لتحويل جداء إلى مجموع
  • استنتاج و توظيف نتائج هذه الخاصّية: لوغاريتم المقلوب، لوغاريتم خارج القسمة، لوغاريتم قوّة، و لوغاريتم جذر
  • تحديد مجموعة تعريف معادلة أو متراجحة لوغاريتمية قبل أيّ تحويل
  • حلّ معادلة أو متراجحة تحتوي مجموع لوغاريتمات، بتحويلها إلى جداء واحد
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف دالّة اللوغاريتم النيبيري، و أنّها متزايدة تماما على ⁦]0;+∞[⁩
  • الخاصّيتان المميّزتان: تساوي لوغاريتمين يكافئ تساوي العددين، و ترتيبهما يكافئ ترتيب العددين
  • حلّ معادلة و متراجحة من الدرجة الثانية بواسطة المميّز
  • دراسة إشارة عبارة من الدرجة الأولى أو الثانية

1. الخاصّية الأساسية

الخاصّية الأساسية للوغاريتم
ln(a×b) = ln(a) + ln(b)
aعدد حقيقي موجب تماماbعدد حقيقي موجب تماما

نعتبر a عددا موجبا تماما، و الدالّة f المعرّفة على ⁦]0;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = ln(a×x) − ln(x)⁩.

مشتقّة الدالّة المساعدة

نشتقّ ⁦ln(a×x)⁩ بتوظيف مشتقّة الدالّة المركّبة، ثمّ نطرح مشتقّة ⁦ln(x)⁩.

f′(x)=a×(1a×x) − 1x
تبسيط المشتقّة

نبسّط الحدّ الأوّل: ⁦a×(1/(a×x))⁩ يساوي ⁦1/x⁩.

f′(x)=1x − 1x=0

دالّة مشتقّتها معدومة على مجال هي دالّة ثابتة على هذا المجال.

قيمة الثابت

نحسب قيمة الدالّة الثابتة f عند نقطة واحدة سهلة، لأنّ ⁦ln(1)=0⁩.

f(1)=ln(a) − ln(1)=ln(a)
✅الخلاصة

نأخذ ⁦x = b⁩ في المساواة الأخيرة، فنحصل على الخاصّية المطلوبة.

f(x) = ln(a) ⟹ ln(a×x) − ln(x) = ln(a) ⟹ ln(a×x) = ln(a) + ln(x)
⭐ هذا البرهان نمط يتكرّر في هذا الدرس: نبني دالّة مساعدة، نبيّن أنّ مشتقّتها معدومة فهي ثابتة، ثمّ نحسب قيمة الثابت عند نقطة واحدة سهلة (غالبا 1، لأنّ ⁦ln(1)=0⁩).

2. النتائج المشتقّة من الخاصّية الأساسية

✅نتيجة: لوغاريتم المقلوب

بما أنّ ⁦a×(1/a)=1⁩، فإنّ ⁦ln(a×(1/a)) = ln(1) = 0⁩، أي ⁦ln(a) + ln(1/a) = 0⁩.

ln(1a) = − ln(a)
✅نتيجة: لوغاريتم خارج القسمة

نكتب ⁦a/b = a×(1/b)⁩، ثمّ نوظّف الخاصّية الأساسية و نتيجة المقلوب معا.

ln(ab) = ln(a) − ln(b)
✅نتيجة: لوغاريتم قوّة بأسّ طبيعي

بالتراجع: القاعدة صحيحة عند ⁦n=0⁩ لأنّ ⁦ln(a⁰)=ln(1)=0⁩، و إن صحّت عند الرتبة n فإنّ ⁦ln(an⁺¹) = ln(an×a)⁩، أي ⁦ln(an) + ln(a)⁩، أي ⁦n×ln(a) + ln(a)⁩، أي ⁦(n+1)×ln(a)⁩.

ln(an) = n × ln(a)
nعدد طبيعي

و تمتدّ هذه النتيجة إلى كلّ عدد صحيح نسبي n، موجبا كان أو سالبا: فإن كان n سالبا، فإنّ ⁦−n⁩ عدد طبيعي، و نكتب an بدلالته.

حالة الأسّ السالب

⁦−n⁩ عدد طبيعي بما أنّ n سالب، فنوظّف نتيجة المقلوب ثمّ حالة الأسّ الطبيعي.

ln(an)=ln(1a−n)=− ln(a−n)=−(−n) × ln(a)=n × ln(a)
✅نتيجة: لوغاريتم الجذر التربيعي

نكتب ⁦ln(a) = ln((√a)²) = 2×ln(√a)⁩ بتطبيق حالة الأسّ الطبيعي عند ⁦n=2⁩، ثمّ نقسم الطرفين على 2.

ln(√a) = (12) × ln(a)
مثال 1: اختزال عبارة لوغاريتمية بواسطة الخواص الجبرية

a و b عددان حقيقيان موجبان تماما.

🎯المطلوب: اختزل كتابة العبارة ⁦ln(a²/√b)⁩ بدلالة ⁦ln(a)⁩ و ⁦ln(b)⁩.

📌المعطى
ln(a²√b)
🔹الخطوة 1: تحويل القسمة إلى فرق

نحوّل القسمة داخل اللوغاريتم إلى فرق، بتوظيف نتيجة القسمة.

ln(a²√b) = ln(a²) − ln(√b)
🔹الخطوة 2: تبسيط حدّ القوّة

نطبّق نتيجة القوّة على الحدّ الأوّل.

ln(a²) = 2×ln(a)
🔹الخطوة 3: تبسيط حدّ الجذر

و نتيجة الجذر على الحدّ الثاني.

ln(√b) = (12)×ln(b)
✅النّتيجة

نعوّض الحدّين المبسّطين في الفرق.

ln(a²√b)=2×ln(a) − (12)×ln(b)
⭐ رتّب استعمال الخواص بدل تطبيقها كلّها دفعة واحدة: القسمة أوّلا إلى فرق، ثمّ كلّ حدّ من الحدّين على حدة بخاصّيته الخاصّة به — القوّة أو الجذر.

3. حلّ معادلات و متراجحات تتضمّن لوغاريتمات

حين يظهر مجموع لوغاريتمات في معادلة أو متراجحة، فإنّ الطريق يمرّ عبر الخاصّية الأساسية بالاتّجاه المعاكس: نجمع المجموع في لوغاريتم واحد، ثمّ نوظّف خاصّية التساوي أو الترتيب.

⭐ الكتابة ⁦ln(a) + ln(b)⁩ تفرض ⁦a>0⁩ و ⁦b>0⁩ على حدة، بينما الكتابة ⁦ln(a×b)⁩ تفرض فقط أنّ جداءهما موجب — أي يمكن أن يكونا سالبين معا. و لهذا يجب تعيين مجموعة التعريف قبل أيّ تحويل، لا بعده.
مثال 2: حلّ معادلة و متراجحة بتوظيف الخاصّيتين المميّزتين مباشرة

نريد حلّ المعادلة ⁦ln(x² − 1) = ln(x + 5)⁩ و المتراجحة ⁦ln(x² − 1) < ln(x + 5)⁩.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف المعادلة و المتراجحة، ثمّ حلّهما.

الشرط الأوّل
x² − 1 > 0
الشرط الثاني
x + 5 > 0
🔹الخطوة 1: حلّ الشرط الأوّل

نحلّ الشرط الأوّل، فرق مربّعين.

x² − 1 > 0 ⟺ x ∈ ]−∞;−1[ ∪ ]1;+∞[
🔹الخطوة 2: حلّ الشرط الثاني
x + 5 > 0 ⟺ x > −5
مجموعة التعريف

نأخذ تقاطع الشرطين، فنحصل على مجموعة التعريف المشتركة للمعادلة و المتراجحة معا.

D = ]−5;−1[ ∪ ]1;+∞[
🔹الخطوة 3: تحويل المعادلة

على مجموعة التعريف، نوظّف خاصّية التساوي.

ln(x² − 1) = ln(x + 5) ⟺ x² − 1 = x + 5
🔹الخطوة 4: الشكل القانوني للمعادلة
x² − x − 6 = 0
🔹الخطوة 5: حلّا المعادلة المساعدة
S₀ = {−2 ; 3}
✅النّتيجة: حلّ المعادلة

نتحقّق من انتماء الحلّين إلى مجموعة التعريف: ⁦−2⁩ ينتمي إلى ⁦]−5;−1[⁩، و3 ينتمي إلى ⁦]1;+∞[⁩، فكلاهما مقبول.

S = {−2 ; 3}
🔹الخطوة 6: تحويل المتراجحة

أمّا المتراجحة، فنوظّف خاصّية الترتيب هذه المرّة.

ln(x² − 1) < ln(x + 5) ⟺ x² − 1 < x + 5
🔹الخطوة 7: الشكل القانوني للمتراجحة
x² − x − 6 < 0
🔹الخطوة 8: حلّ المتراجحة المساعدة

بما أنّ جذري هذا الحدّ هما ⁦−2⁩ و3، فهو سالب بينهما.

x² − x − 6 < 0 ⟺ x ∈ ]−2;3[
✅النّتيجة: حلّ المتراجحة

نأخذ تقاطع هذا الحلّ مع مجموعة التعريف D.

S = ]−2;−1[ ∪ ]1;3[
⭐⭐ لا شيء يُحوَّل قبل تعيين مجموعة التعريف — هذا هو الفخّ الأشهر في معادلات و متراجحات اللوغاريتم: من يبدأ بتحويل المعادلة إلى شكلها الجبري دون التحقّق من موجبيّة الطرفين، قد يقبل حلولا خارج مجال التعريف.
مثال 3: حلّ معادلة و متراجحة بتحويل مجموع لوغاريتمات إلى جداء

نريد حلّ المعادلة ⁦ln(x+2) + ln(x+3) = ln(6)⁩ و المتراجحة ⁦ln(x+2) + ln(x+3) ≤ ln(6)⁩.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف المعادلة و المتراجحة، ثمّ حلّهما.

الشرط الأوّل
x + 2 > 0
الشرط الثاني
x + 3 > 0
مجموعة التعريف

نأخذ تقاطع الشرطين.

D = ]−2;+∞[
🔹الخطوة 1: تحويل المجموع إلى جداء

نحوّل المجموع في الطرف الأيسر إلى جداء واحد، بتوظيف الخاصّية الأساسية بالاتّجاه المعاكس.

ln(x+2) + ln(x+3)=ln((x+2)(x+3))
🔹الخطوة 2: توظيف خاصّية التساوي

الطرفان الآن لوغاريتمان لعددين، فنوظّف خاصّية التساوي.

ln((x+2)(x+3)) = ln(6) ⟺ (x+2)(x+3) = 6
🔹الخطوة 3: نشر الجداء
(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6
🔹الخطوة 4: الشكل القانوني للمعادلة
x² + 5x + 6 = 6 ⟺ x² + 5x = 0
🔹الخطوة 5: تحليل الطرف الأيسر
x² + 5x = x×(x + 5)
🔹الخطوة 6: حلّا المعادلة
x×(x + 5) = 0 ⟺ x ∈ {−5 ; 0}
✅النّتيجة: حلّ المعادلة

نتحقّق من انتماء الحلّين إلى مجموعة التعريف: 0 ينتمي إلى ⁦]−2;+∞[⁩، أمّا ⁦−5⁩ فلا ينتمي إليها.

S = {0}
🔹الخطوة 7: توظيف خاصّية الترتيب

أمّا المتراجحة، فتصير بعد نفس التحويل، بتوظيف خاصّية الترتيب.

ln((x+2)(x+3)) ≤ ln(6) ⟺ (x+2)(x+3) ≤ 6
🔹الخطوة 8: الشكل القانوني للمتراجحة
x² + 5x ≤ 0
🔹الخطوة 9: حلّ المتراجحة

جذرا ⁦x×(x+5)⁩ هما 0 و⁦−5⁩، فالجداء سالب أو معدوم بينهما.

x² + 5x ≤ 0 ⟺ x ∈ [−5;0]
✅النّتيجة: حلّ المتراجحة

نأخذ تقاطع هذا الحلّ مع مجموعة التعريف.

S = ]−2;0]
⭐ لاحظ أنّ الخاصّية الأساسية استُعملت هنا بالاتّجاه المعاكس لاتّجاه تعلّمها: بدل تفكيك لوغاريتم جداء إلى مجموع، جمعنا مجموع لوغاريتمين في لوغاريتم جداء واحد — و هذا بالضبط ما تحتاجه كلّ معادلة من هذا الشكل.
مثال 4: نموّ سكّاني بنسبة مئوية سنويّة

بلغ عدد سكّان بلد عشرة ملايين نسمة في بداية سنة معيّنة، و يرتفع هذا العدد سنويّا بنسبة ⁦5%⁩.

🎯المطلوب: عيّن أصغر عدد من السنوات يتضاعف بعده عدد السكّان.

📌المعطى: عدد السكّان بعد n سنة

بعد n سنة، يُضرب العدد الابتدائي في ⁦(1+5/100)⁩ بمقدار n مرّة.

10⁷ × (1,05)n
🔹الخطوة 1: الشرط المطلوب

نبحث عن أصغر عدد طبيعي n يجعل هذا العدد أكبر من أو يساوي ضعف العدد الابتدائي.

10⁷ × (1,05)n ≥ 2 × 10⁷
🔹الخطوة 2: تبسيط الشرط

العدد 10⁷ مشترك في الطرفين فيُختصر.

(1,05)n ≥ 2
🔹الخطوة 3: توظيف اللوغاريتم على الطرفين

الدالّة ln متزايدة تماما، فتطبيقها على طرفين موجبين لا يغيّر اتّجاه المتراجحة.

(1,05)n ≥ 2 ⟺ ln((1,05)n) ≥ ln(2)
🔹الخطوة 4: تطبيق نتيجة القوّة

نوظّف نتيجة القوّة على الطرف الأيسر.

ln((1,05)n) = n × ln(1,05)
🔹الخطوة 5: المتراجحة بعد التبسيط
n × ln(1,05) ≥ ln(2)
🔹الخطوة 6: عزل n

بما أنّ 1,05 أكبر من 1 فإنّ ⁦ln(1,05)⁩ موجب تماما، فقسمة الطرفين عليه لا تغيّر اتّجاه المتراجحة.

n ≥ ln(2)ln(1,05)
🔹الخطوة 7: القيمة التقريبية
ln(2)ln(1,05) ≈ 14,21
✅النّتيجة

أصغر عدد طبيعي أكبر من أو يساوي 14,21 هو 15.

n = 15
⭐ تحويل متراجحة أُسّية إلى متراجحة عادية هو بالضبط نفع اللوغاريتم هنا: تطبيقه على طرفي متراجحة موجبين لا يغيّر اتّجاهها لأنّه متزايد تماما، ثمّ نتيجة القوّة تُنزل الأسّ n ليصبح معاملا، فتصير المتراجحة من الدرجة الأولى في n.
المنحنى يقطع خطّ الضعف بين السنتين الرابعة عشرة و الخامسة عشرة، فالسنة الخامسة عشرة هي أوّل سنة كاملة يتجاوز فيها السكّان الضعف: هذا ما تثبته المتراجحة.
⛔ في الباكالوريا، الخطأ الأشيع هو تحويل مجموع لوغاريتمين إلى لوغاريتم جداء دون التحقّق أوّلا من أنّ الحدّين موجبان كلّ على حدة — فإن أُهمل هذا الشرط، قد تُقبل حلول خارج مجموعة التعريف. و في مسائل النموّ (سكّاني أو ماليّ)، تذكّر أنّ تطبيق اللوغاريتم على طرفي متراجحة أُسّية (موجبين) لا يغيّر اتّجاهها أبدا؛ أمّا القسمة بعد ذلك على ⁦ln(q)⁩ فتعكسه إذا كان ⁦0 < q < 1⁩، لأنّ ⁦ln(q) < 0⁩.
الخلاصة: الخاصّية الأساسية ⁦ln(a×b) = ln(a) + ln(b)⁩ تحوّل الجداء إلى مجموع، و منها تُشتقّ ثلاث نتائج: لوغاريتم المقلوب يقلب الإشارة، لوغاريتم القسمة يصير فرقا، و لوغاريتم القوّة يصير ضربا في الأسّ — و الجذر حالة خاصّة منها، بأسّ ⁦1/2⁩. و لحلّ معادلة أو متراجحة تحتوي مجموع لوغاريتمات: نعيّن مجموعة التعريف أوّلا (كلّ حدّ موجب على حدة)، ثمّ نجمع المجموع في لوغاريتم واحد بالخاصّية الأساسية، ثمّ نوظّف خاصّية التساوي أو الترتيب على الجداء الناتج.

Page 1/8

© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net