الأعداد والحساب › Z القسمة في
قابلية القسمة و القسمة الإقليدية في ℤ
الجواب هو الباقي. الأسابيع الكاملة لا تغيّر اليوم مهما كثرت: ما يقرّر اليوم هو ما يفضل بعدها، أي باقي قسمة عدد الأيّام على 7. و هذا الفصل كلّه مبنيّ على هذه الفكرة الواحدة: القسمة في ℤ لا تعطي عددا عشريّا، بل تعطي ثنائية: حاصلا و باقيا — و متى انعدم الباقي قلنا إنّ القسمة ممكنة.
- البرهان على أنّ عددا صحيحا يقسم عددا صحيحا آخر انطلاقا من التعريف
- توظيف الخواص الأربع لقابلية القسمة في ℤ
- تعيين الأعداد الصحيحة التي تحقّق علاقة قابلية قسمة
- كتابة القسمة الإقليدية لعدد صحيح على عدد طبيعي غير معدوم و تعيين الحاصل و الباقي
- الحساب في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية و قواعد الإشارة
- النشر و التحليل إلى جداء عوامل من الدرجة الأولى
1. قابلية القسمة في ℤ: التعريف
ليكن a و b عددين صحيحين، مع a غير معدوم. نقول إنّ العدد a يقسم العدد b إذا وُجد عدد صحيح k حيث b = ka. و نقول كذلك إنّ a قاسم للعدد b، أو إنّ b مضاعف للعدد a.
⭐ لاحظ ما لا يحتويه التعريف: لا كسور و لا أعداد عشرية. للبرهان على قابلية القسمة لا نقسم، بل نُظهر عاملا صحيحا. هذه هي كلّ الحركة، و ستعيدها في كلّ تمرين من هذا الباب.
جداء عددين سالبين موجب: فالقواسم السالبة موجودة تماما مثل الموجبة، و نسيانها هو أوّل سبب لضياع الحلول في هذا الباب.
2. الخواص الأربع
الخواص الأربع الموالية ليست قائمة تُحفظ: هي أدوات النقل. كلّ واحدة منها تأخذك من قابلية قسمة معلومة إلى قابلية قسمة جديدة، دون أن تحسب شيئا.
البرهان في سطرين: من a | b نكتب b = ka، و من b | c نكتب c = k'b. بالتعويض c = k'(ka) = (kk')a، و العدد kk' صحيح، إذن a يقسم c.
من b = ka نضرب الطرفين في m فنجد mb = (mk)a، و العدد mk صحيح. هذه الخاصية هي التي تسمح بضرب عبارة في عدد لتصير قابلة للمقارنة بأخرى.
من b = ka نضرب في m فنجد mb = k(ma)، فالعامل الصحيح هنا هو k نفسه. لاحظ الفرق عن الخاصية 2: هناك يتضخّم المضاعف وحده، و هنا يتضخّم الطرفان معا.
⭐ من b = ka و c = k'a نجد mb + nc = (mk + nk')a. هذه هي أقوى أداة في الباب كلّه: كلّ قاسم مشترك لعددين يقسم كلّ تركيب خطّي لهما — و منها يأتي الفرق، و المجموع، و كلّ الحيل التي تُرجع مسألة صعبة إلى قواسم عدد صغير.
3. القسمة الإقليدية في ℤ
القسمة في ℤ ليست قسمة الأعداد العشرية: نتيجتها ليست عددا واحدا بل ثنائية، حاصل و باقي. و المبرهنة الموالية تقول شيئين معا: هذه الثنائية توجد دائما، و هي وحيدة.
⭐ الشرط 0 ≤ r < b ليس زينة: هو الذي يجعل الثنائية وحيدة. بدونه يمكن كتابة العدد بألف طريقة. و بفضله صار للباقي معنى، و صارت القسمة الإقليدية أداة تصنيف.
البرهان يقرأ الفكرة على محور الأعداد: العدد a إمّا مضاعف للعدد b، و إمّا محصور بين مضاعفين متتاليين له. ففي كلّ الحالات يوجد عدد صحيح وحيد q يحقّق ما يلي.
بطرح qb من الأطراف الثلاثة نجد 0 ≤ a − qb < b. نضع r = a − qb فنحصل على a = bq + r مع 0 ≤ r < b بالضبط: البرهان لم يفعل شيئا سوى تسمية المسافة التي تفصل a عن المضاعف الذي يسبقه.
⭐ الحاصل سالب، لكنّ الباقي موجب دائما. الخطأ الشائع هو كتابة −65 = 7 × (−9) − 2 و تسمية −2 باقيا: العدد −2 ليس باقيا لأنّه ليس محصورا بين 0 و 7. ⛔ الباقي لا يكون سالبا أبدا.
و يمكن تمديد المفهوم إلى قاسم صحيح غير معدوم كيفي: نكتب عندئذ a = bq + r مع حصر الباقي بالقيمة المطلقة للقاسم.
نبحث في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ℤ.
🎯المطلوب: عيّن الأعداد الصحيحة n حيث 11 يقسم n + 5.
العدد 11 يقسم العبارة معناه وجود عدد صحيح k يحقّق المساواة.
نعزل n في المساواة، و لا شيء آخر يُفعل.
نتحقّق بقيمة واحدة لنطمئنّ إلى الاتّجاه.
فالحلول ليست عددا منتهيا من القيم، بل عائلة كاملة موصوفة بالوسيط k.
نبقى في ℤ، لكنّ الأدوار انقلبت: العبارة صارت هي القاسم و العدد المعلوم هو المقسوم.
🎯المطلوب: عيّن الأعداد الصحيحة n حيث 3n + 5 يقسم 8.
العدد 8 معلوم و هو المقسوم، فنسرد قواسمه كلّها، الموجبة و السالبة.
العبارة قاسم للعدد 8، إذن هي واحد من هذه الأعداد الثمانية.
نطرح 5 من كلّ حالة.
نحتفظ بمضاعفات 3 وحدها، لأنّ 3n مضاعف للعدد 3 دائما.
و القيم الأربع الأخرى ترفض، فليس لها حلّ في ℤ.
فنقرأ قيم n في الحالات المقبولة.
هنا العبارتان مجهولتان معا: لا القاسم معلوم و لا المضاعف. الحيلة هي إرجاع المسألة إلى عدد ثابت.
🎯المطلوب: عيّن الأعداد الصحيحة n حيث 3n + 8 يقسم n + 6.
لا يمكن سرد قواسم عبارة متغيّرة، فنبني تركيبا خطّيا يُخرج المجهول. نضرب أوّلا بالخاصية 2.
ثمّ نطرح بالخاصية 4: العبارة تقسم نفسها، فتقسم الفرق.
و ها قد صرنا في وضع المثال السابق: عبارة تقسم عددا معلوما.
نساوي بين العبارة و كلّ قاسم، ثمّ نطرح 8.
نحتفظ بمضاعفات 3 وحدها.
نعوّض القيم الأربع، بالترتيب، في العبارتين.
و نتحقّق عكسيا من كلّ قيمة: القسمة محقّقة في الحالات الأربع، و في الأولى لأنّ كلّ عدد غير معدوم يقسم 0.
فالقيم الأربع كلّها مقبولة.
ليكن n عددا صحيحا، و ليكن العددان الصحيحان a = 5n − 2 و b = 2n + 3.
🎯المطلوب: أثبت أنّ كلّ قاسم مشترك للعددين a و b يقسم العدد 19.
نسمّي قاسما مشتركا كيفيّا، دون أن نحاول تعيينه.
بالخاصية 4، يقسم d كلّ تركيب خطّي للعددين، فنختار المعاملين اللذين يحذفان n.
ننشر التركيب بالعبارتين المعطاتين.
فيختفي الحدّ الذي يحمل n و يبقى عدد ثابت.
نبحث عن كلّ ثنائية (a ; b) من الأعداد الصحيحة تحقّق المعادلة 4a² − b² = 15. المعادلة تحمل مجهولين و معادلة واحدة، فلا تُحلّ بالطرق المعتادة.
🎯المطلوب: عيّن الأعداد الصحيحة a و b حيث 4a² − b² = 15.
العبارة فرق مربّعين، فنحلّلها إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى.
العبارتان عددان صحيحان جداؤهما 15، إذن كلّ واحدة منهما قاسم للعدد 15.
العددان a و b يظهران بمربّعيهما فقط، فيمكن البحث عن الحلول الموجبة ثمّ استرجاع الباقي بتغيير الإشارات (و الحالتان a = 0 أو b = 0 لا تعطيان حلّا: −b² = 15 و 4a² = 15 مستحيلتان في ℤ). و الجداء 15 موجب و 2a + b > 0، فالعامل 2a − b موجب أيضا، و هو الأصغر لأنّ b > 0.
نسرد القواسم الموجبة للعدد 15 و نأخذ الأزواج المرتّبة التي جداؤها 15.
النظام الأوّل: نجمع المعادلتين فيختفي b، ثمّ نعوّض a في الأولى.
و النظام الثاني بالطريقة نفسها.
و نتحقّق من الحلّين الموجبين في المعادلة الأصلية.
فنحصل على ثماني ثنائيات.
ليكن a عددا صحيحا، و باقي قسمته على 10 هو 6.
🎯المطلوب: أوجد باقي قسمة العدد a على 5، ثمّ باقي قسمته على 2.
نترجم المعطى إلى كتابة إقليدية.
لقسمة a على 5 نبحث عن كتابة من الصيغة الإقليدية بقاسم 5، فنفصل 5 عن 6.
و نتحقّق من شرط الحصر، و هو الذي يجعل الباقي باقيا.
لقسمة a على 2 نُخرج العامل 2 من الطرفين.
و الباقي معدوم، إذن 2 يقسم a.
فالباقيان مقروءان من الكتابتين مباشرة.
Page 1/10
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net