الأعداد والحساب (تابع) › مبرهنة بيزو - مبرهنة غوص
مبرهنة بيزو
الأداة هي مبرهنة بيزو، و قوّتها كلّها في أنّها تكافؤ، لا شرط في اتّجاه واحد. فهي تقول إنّ كون عددين أوّليين فيما بينهما و وجود علاقة خطّية بينهما تساوي 1 هما الشيء نفسه، مكتوبا بصورتين. و لهذا تُستعمل في الاتّجاهين: نجد العلاقة فنستنتج الأوّلية فيما بينهما، أو نعلم الأوّلية فيما بينهما فنضمن وجود العلاقة.
- البرهان على أنّ عددين أوّليان فيما بينهما بإيجاد علاقة خطّية تساوي 1
- استنتاج وجود معاملين صحيحين من كون عددين أوّليين فيما بينهما
- تعيين معاملين صحيحين بخوارزمية إقليدس ثمّ الصعود فيها
- البرهان على أنّ عددا أوّليا أوّلي مع كلّ عدد لا يقسمه
- البرهان على أنّ عددا أوّليا مع عددين هو أوّلي مع جدائهما
- القاسم المشترك الأكبر لعددين و خوارزمية إقليدس
- قابلية القسمة في ℤ و خاصية التركيب الخطّي
1. المبرهنة
ليكن a و b عددين صحيحين. نقول إنّهما أوّليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1، أي إذا لم يكن لهما أيّ قاسم مشترك سوى 1 و −1.
⭐ لاحظ أنّ u و v صحيحان، لا طبيعيّان: إشارتاهما حرّتان، و في أغلب التمارين يكون أحدهما سالبا. من بحث عن معاملين موجبين لم يجد شيئا في الأغلب.
2. برهان المبرهنة
الاتّجاه المباشر. نفترض أنّ a و b أوّليان فيما بينهما، فأحدهما على الأقلّ غير معدوم؛ نأخذ a غير معدوم. و نعتبر مجموعة كلّ الأعداد التي تُكتب تركيبا خطّيا للعددين a و b.
المجموعة E ليست خالية: العدد a عنصر منها (بأخذ u = 1 و v = 0)، و كذلك −a (بأخذ u = −1 و v = 0). و أحد العددين a و −a موجب تماما، فـ E تحتوي على عدد موجب تماما على الأقلّ. نسمّي m أصغر عناصر E الموجبة تماما، و نكتب المعاملين اللذين يعطيانه.
نجري الآن القسمة الإقليدية للعدد a على العدد m، ثمّ نعوّض قيمة m فيها.
⭐ هذه هي الخطوة الحاسمة: الباقي r مكتوب هو أيضا تركيبا خطّيا للعددين a و b، فهو عنصر من E. و مع ذلك هو أصغر تماما من m، و m أصغر عناصر E الموجبة تماما. فلا مخرج إلّا أن يكون r معدوما.
و منه a = m q، أي أنّ m يقسم a. و بالطريقة نفسها بالضبط، بالقسمة الإقليدية للعدد b على m، نبرهن أنّ m يقسم b. فـ m قاسم مشترك للعددين، و هما أوّليان فيما بينهما، إذن m = 1. و بالتعويض نجد المطلوب.
الاتّجاه العكسي، و هو أقصر بكثير. نفترض وجود عددين صحيحين u و v حيث a u + b v = 1، و نضع d قاسمهما المشترك الأكبر. فـ d يقسم a و يقسم b، إذن يقسم كلّ تركيب خطّي لهما بخاصية التركيب الخطّي، و منها هذا التركيب بالذات.
3. المعاملان ليسا وحيدين
الثنائية (u ; v) ليست وحيدة أبدا: متى وُجدت واحدة وُجدت ما لا نهاية له منها. و مثال العددين 3 و 2 يُظهر ذلك في سطرين.
انشر الطرف الأيسر: 3 + 6k − 2 − 6k = 1، فالحدّان اللذان يحملان k يحذف أحدهما الآخر مهما كان k. و هذا هو السبب: نضيف إلى المعامل الأوّل مضاعفا للعدد الثاني و نطرح من الثاني المضاعف الموافق، فلا يتغيّر التركيب.
4. الخواص الثلاث
الخاصية الأولى هي تعميم المبرهنة من 1 إلى القاسم المشترك الأكبر كيفما كان، و هي التي تُستعمل في المعادلات التي طرفها الثاني ليس 1.
البرهان. نكتب a = d×a' و b = d×b' حيث a' و b' أوّليان فيما بينهما. فحسب مبرهنة بيزو يوجد عددان صحيحان u و v حيث a'u + b'v = 1، و يكفي ضرب الطرفين في d.
⭐ نسمّي d = PGCD(a ; p). بما أنّ p أوّلي فقواسمه الموجبة هي 1 و p وحدهما، و d أحدهما. و لو كان d = p لكان p يقسم a — لأنّ d يقسم a دائما بحكم كونه قاسما مشتركا — و هذا يناقض فرضية المبرهنة. فلم يبقَ إلّا d = 1.
و صيغتها بالكلمات: العدد الأوّلي أوّلي مع كلّ عدد لا يقسمه. فالعدد 7 أوّلي مع كلّ عدد ليس من مضاعفاته؛ و هذا يفسّر لماذا تكون الأعداد الأولية مريحة جدّا في التمارين.
البرهان بضرب علاقتَي بيزو طرفا في طرف. من الفرضيتين توجد أعداد صحيحة u و v و u' و v' حيث a u + b v = 1 و a u' + c v' = 1. نضرب المساواتين ثمّ نجمع كلّ ما يحمل a في قوس واحد.
⭐ الحدود الثلاثة الأولى كلّها تحمل العامل a فنخرجه، و الحدّ الأخير يحمل الجداء b×c. فصارت المساواة علاقة بيزو بين العددين a و b×c بالضبط، و المبرهنة في اتّجاهها العكسي تعطي النتيجة.
ليكن n عددا طبيعيا، و العددان A = 4n − 3 و B = 5n − 4.
🎯المطلوب: أثبت أنّ العددين A و B أوّليان فيما بينهما.
نبحث عن تركيب خطّي للعبارتين يحذف n. معامل n هو 4 في الأولى و 5 في الثانية، فنضرب الأولى في 5 و الثانية في 4.
نعوّض العبارتين.
ننشر الطرفين بحذر مع الإشارات.
فيحذف الحدّان اللذان يحملان n و يبقى عدد ثابت.
و هذه علاقة بيزو بين A و B بالضبط، بالمعاملين 5 و −4.
نبحث عن عددين صحيحين u و v يحقّقان 135u + 55v = 5.
🎯المطلوب: عيّن عددين صحيحين u و v حيث 135u + 55v = 5.
ننزل في خوارزمية إقليدس إلى غاية باقٍ معدوم.
نعيد على القاسم و الباقي.
ثمّ مرّة أخيرة، و هنا ينعدم الباقي.
فآخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر، و هو 5 — و هو بالضبط الطرف الثاني للمعادلة المطلوبة، فالمسألة ممكنة.
نصعد الآن في الخوارزمية: نعزل الباقي 5 من القسمة الثانية.
و نعزل الباقي 25 من القسمة الأولى.
نعوّض الثاني في الأوّل، فيختفي 25 و لا يبقى إلّا 135 و 55.
ننشر و نجمع الحدود المتشابهة.
فنقرأ المعاملين، و نتحقّق بحساب التركيب: −270 + 275 = 5.
ليكن n عددا صحيحا. نعتبر العبارات n + 1 و 2n + 3 و 3n + 4.
🎯المطلوب: أثبت أنّ n + 1 و 6n² + 17n + 12 أوّليان فيما بينهما.
نبحث عن تركيب خطّي بسيط للعبارتين الأوليين: معامل n هو 1 و 2، فنضرب الأولى في 2.
فهي علاقة بيزو بين العبارتين.
نعيد الحركة مع العبارة الثالثة: معامل n فيها 3، فنضرب الأولى في 3.
فهي علاقة بيزو ثانية.
ننشر جداء العبارتين لنتعرّف على العبارة المطلوبة.
و نجمع الحدّين المتشابهين.
العبارة n + 1 أوّلية مع كلّ من العاملين، فهي أوّلية مع جدائهما بالخاصية 3.
نبحث عن عددين صحيحين u و v يحقّقان 4u + 6v = 1.
🎯المطلوب: بيّن أنّه لا توجد أيّ ثنائية (u ; v) من الأعداد الصحيحة تحقّق 4u + 6v = 1.
نحسب القاسم المشترك الأكبر للمعاملين.
العدد 2 يقسم 4 و يقسم 6، فهو يقسم كلّ تركيب خطّي لهما بخاصية التركيب الخطّي.
أي أنّ الطرف الأيسر زوجيّ مهما كان u و مهما كان v.
و الطرف الأيمن فردي، فلا يمكن أن يتساوى الطرفان.
و بالمقابل، المعادلة نفسها بالطرف 2 لها حلّ، لأنّ 2 هو القاسم المشترك الأكبر.
فالمعادلة الأولى مستحيلة، و الثانية ممكنة.
Page 1/9
© Madrassati — a lesson written by Madrassati · madrassati.net